2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與信號處理基礎(chǔ)試卷一、選擇題（每題5分，共30分）下列關(guān)于離散時間信號的說法中，正確的是（）A.離散時間信號在任意時刻都有定義B.數(shù)字音頻屬于連續(xù)時間信號C.離散時間信號的自變量只能取整數(shù)D.單位脈沖序列δ(n)在n=0處的取值為0已知某連續(xù)時間信號的最高頻率為100Hz，若對其進(jìn)行采樣，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣頻率至少應(yīng)為（）A.50HzB.100HzC.200HzD.400Hz函數(shù)f(t)=sin(2πt)的傅里葉變換結(jié)果為（）A.π[δ(ω-2π)-δ(ω+2π)]B.π[δ(ω-2π)+δ(ω+2π)]C.(1/2π)[δ(ω-2π)-δ(ω+2π)]D.(1/2π)[δ(ω-2π)+δ(ω+2π)]線性時不變系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）的輸出信號y(n)與輸入信號x(n)滿足的關(guān)系是（）A.y(n)=x(n)+nB.y(n)=2x(n-1)+3x(n)C.y(n)=x2(n)D.y(n)=sin[x(n)]差分方程y(n)-0.5y(n-1)=x(n)描述的系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)h(n)為（）A.(0.5)?u(n)B.(0.5)??1u(n-1)C.δ(n)+0.5δ(n-1)D.u(n)-0.5u(n-1)若信號x(n)的Z變換為X(z)=1/(1-0.8z?1)，則該信號的收斂域為（）A.|z|>0.8B.|z|<0.8C.0<|z|<0.8D.全z平面二、填空題（每題5分，共30分）連續(xù)時間信號x(t)=e??u(t)的傅里葉變換X(jω)=__________。對頻率為50Hz的正弦信號進(jìn)行采樣時，若采樣頻率為80Hz，會產(chǎn)生__________現(xiàn)象，導(dǎo)致頻譜重疊。已知序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)，則其Z變換X(z)=__________。離散傅里葉變換（DFT）是對__________信號的頻譜進(jìn)行等間隔采樣的結(jié)果。線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)需滿足__________條件（填寫對稱關(guān)系）。某數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)有一個極點z=0.5，零點z=-1，則該系統(tǒng)的穩(wěn)定性為__________（填“穩(wěn)定”或“不穩(wěn)定”）。三、計算題（每題10分，共40分）已知連續(xù)時間信號x(t)=cos(4πt)+sin(6πt)，求：（1）該信號的最高頻率f?；（2）根據(jù)采樣定理，計算最小采樣頻率f????；（3）若采樣頻率f?=20Hz，寫出采樣后離散信號x(n)的表達(dá)式。給定序列x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3），y(n)={2,1,0}（n=0,1,2），計算線性卷積z(n)=x(n)*y(n)，并寫出結(jié)果序列。用Z變換法求解差分方程y(n)-y(n-1)-2y(n-2)=x(n)，其中x(n)=δ(n)，初始條件y(-1)=0，y(-2)=0。已知某LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=u(n)-u(n-3)，輸入信號x(n)=u(n)-u(n-2)，求系統(tǒng)的輸出信號y(n)。四、應(yīng)用題（每題25分，共50分）音頻信號采樣與重建某語音信號的最高頻率為3.4kHz，現(xiàn)需通過計算機(jī)對其進(jìn)行采集和存儲：（1）計算滿足采樣定理的最小采樣頻率；（2）若采用16位量化，計算該信號的比特率（單位：kbps）；（3）若錄制10秒該語音信號，不考慮壓縮，計算所需存儲空間（單位：MB，1MB=8×10?bit）。數(shù)字濾波器設(shè)計設(shè)計一個低通FIR濾波器，要求：（1）截止頻率ω?=π/4；（2）單位脈沖響應(yīng)長度N=5（對稱型）；（3）寫出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式，并判斷其線性相位特性。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（僅提供思路，非試卷內(nèi)容）一、選擇題C2.C3.A4.B5.A6.A二、填空題1/(1+jω)2.混疊3.1+2z?1+3z?24.有限長離散時間5.h(n)=h(N-1-n)6.穩(wěn)定三、計算題（1）f?=3Hz；（2）f????=6Hz；（3）x(n)=cos(0.4πn)+sin(0.6πn)z(n)={2,5,8,11,4,0}y(n)=(-1)?u(n)+2?u(n)y(n)={1,2,2,1,0}四、應(yīng)用題（1）6.8kHz；（2）108.8kbps；（3）0.136MBh(n)=[sin(π/4(n-2))]/[π(n-2)]（n=0,1,2,3,4），線性相位試卷設(shè)計說明知識覆蓋：整合高中數(shù)學(xué)（復(fù)數(shù)、微積分、數(shù)列）與信號處理（傅里葉變換、采樣定理、濾波器）核心內(nèi)容，如選擇題6涉及復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)，計算題3結(jié)合差分方程與Z變換。難度梯度：基礎(chǔ)題（選擇1-3、填空1-2）占40%，綜合題（計算2-3、應(yīng)用1）占40%，拓展題（應(yīng)用2）占20%，符合高中“理解+應(yīng)用”的能力要求。工程聯(lián)系：應(yīng)用題1結(jié)合音頻處理實際場景，應(yīng)用題2引入濾波器設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)工具在信息科技中的