2025年下學期初中數學建模意識啟蒙試卷一、選擇題（每題3分，共10題）數學建模的核心步驟是（）A.直接套用公式計算B.將實際問題轉化為數學問題C.僅使用復雜的數學符號D.忽略問題中的數據下列生活場景中，適合用“方程模型”解決的是（）A.描述學校操場的形狀B.計算購物時的折扣金額C.預測未來5年的人口數量D.分析班級同學的身高分布在建立數學模型時，“假設”的主要作用是（）A.使問題更復雜B.簡化實際問題，突出關鍵因素C.忽略所有數據D.直接得出結論某商店將進價為80元的商品按100元出售，利潤率為（）A.20%B.25%C.80%D.125%下列屬于“優(yōu)化模型”的是（）A.用數軸表示溫度變化B.設計最省材料的包裝盒尺寸C.統(tǒng)計班級同學的興趣愛好D.用扇形圖展示各科成績占比數學建模中的“數據收集”不包括（）A.測量教室的長度B.記錄一周的氣溫C.編造虛假數據D.調查同學的上學方式用一元一次方程解決“行程問題”時，核心等量關系是（）A.路程=速度×時間B.總價=單價×數量C.利潤=售價-進價D.增長率=（新值-舊值）/舊值下列問題中，適合用“圖形模型”直觀分析的是（）A.計算家庭每月電費B.比較不同手機套餐的性價比C.確定校園內最短的散步路線D.預測某商品的銷量變化在模型檢驗時，若計算結果與實際情況差距較大，可能的原因是（）A.假設不合理B.計算過程正確C.數據過于準確D.模型太簡單數學建模的最終目的是（）A.獲得數學公式B.解決實際問題C.參加數學競賽D.提高計算速度二、填空題（每題4分，共5題）某班級計劃購買一批筆記本，若每本5元，購買x本的總價為y元，則y與x的函數關系式為______。在“雞兔同籠”問題中，若共有頭35個、腳94只，設雞有x只，兔有y只，可列方程組為______。一個長方形花園的周長為20米，若長比寬多2米，則花園的面積為______平方米。某超市促銷活動規(guī)定：購物滿200元減30元。小明購買了總價280元的商品，實際支付金額為______元。用層次分析法分析“周末活動選擇”時，需要將目標分解為______、______、______等層次（至少填3個）。三、解答題（每題15分，共4題）1.校園飲水問題背景：某校為保障學生飲水，計劃在教學樓安裝直飲水機。已知直飲水機有兩種型號：A型：單價1200元，每天維護費5元，可滿足50人飲水需求；B型：單價2000元，每天維護費8元，可滿足100人飲水需求。該校某教學樓有學生300人，預計使用時間為1年（按200天計算）。問題：（1）分別計算僅安裝A型或僅安裝B型飲水機的總費用（總費用=購買費+維護費）；（2）若混合安裝兩種型號，如何搭配能使總費用最低？解析：（1）僅安裝A型：需滿足300人需求，A型每臺供50人，故需300÷50=6臺。總費用=6×1200+200×5×6=7200+6000=13200元。僅安裝B型：需300÷100=3臺?？傎M用=3×2000+200×8×3=6000+4800=10800元。（2）混合安裝：設安裝A型x臺，B型y臺，滿足50x+100y≥300（化簡為x+2y≥6）?？傎M用=1200x+2000y+200(5x+8y)=1200x+2000y+1000x+1600y=2200x+3600y。通過枚舉法嘗試：x=0，y=3（費用10800元）；x=2，y=2（50×2+100×2=300人，費用2200×2+3600×2=4400+7200=11600元）；x=4，y=1（50×4+100×1=300人，費用2200×4+3600×1=8800+3600=12400元）。結論：僅安裝3臺B型時總費用最低，為10800元。2.社區(qū)垃圾分類問題背景：某社區(qū)為提高垃圾分類率，計劃開展宣傳活動。已知：若不宣傳，居民垃圾分類率為20%；每投入100元宣傳費，可使垃圾分類率提高5%（最高提升至80%）；社區(qū)共有居民1000戶，每戶每月產生垃圾10千克，分類垃圾處理費為0.5元/千克，未分類垃圾處理費為1.5元/千克。問題：（1）計算不宣傳時，社區(qū)每月的垃圾處理總費用；（2）若投入x元宣傳費（x為100的整數倍），求每月垃圾處理總費用y與x的函數關系；（3）投入多少宣傳費能使每月垃圾處理總費用最低？解析：（1）不宣傳時：分類垃圾量=1000戶×10千克×20%=2000千克，費用=2000×0.5=1000元；未分類垃圾量=1000×10-2000=8000千克，費用=8000×1.5=12000元；總費用=1000+12000=13000元。（2）投入x元宣傳費：垃圾分類率=20%+(x/100)×5%=0.2+0.05x/100=0.2+0.0005x（x≤1200元，此時分類率達80%）。分類垃圾量=1000×10×(0.2+0.0005x)=2000+5x千克；未分類垃圾量=10000-(2000+5x)=8000-5x千克；總費用y=(2000+5x)×0.5+(8000-5x)×1.5=1000+2.5x+12000-7.5x=13000-5x（x≤1200）。（3）費用最低：y=13000-5x是減函數，x越大，y越小。當x=1200元時，分類率達80%，y=13000-5×1200=7000元。結論：投入1200元宣傳費，總費用最低為7000元。3.校園綠化規(guī)劃問題背景：學校計劃在一塊長20米、寬10米的矩形空地上種植草坪和花卉。要求：草坪面積不小于空地面積的50%；花卉區(qū)域為正方形，邊長為a米（a為整數）；草坪和花卉區(qū)域不重疊，且覆蓋整塊空地。問題：（1）求空地的總面積；（2）寫出草坪面積y（平方米）與花卉區(qū)域邊長a（米）的函數關系式；（3）求出a的可能取值，并計算對應的草坪面積。解析：（1）總面積：20×10=200平方米。（2）函數關系式：花卉面積=a2，草坪面積y=200-a2。由草坪面積≥50%×200=100平方米，得200-a2≥100→a2≤100→a≤10（a為正整數，且花卉區(qū)域需在矩形內，故a≤10）。（3）a的可能取值及草坪面積：a可取1至10的整數，對應的y=200-a2：a=1時，y=199平方米；a=2時，y=196平方米；...a=10時，y=200-100=100平方米。4.運動健康問題背景：小明為減肥制定運動計劃，已知：跑步時，每消耗1千卡熱量需要跑0.01千米；跳繩時，每消耗1千卡熱量需要跳20次；小明每天計劃消耗300千卡熱量，且跑步時間不超過30分鐘（跑步速度為5千米/小時）。問題：（1）若小明每天只跑步，至少需要跑多少千米？（2）若小明跑步x千米，跳繩y次，寫出x與y的等量關系；（3）若小明每天跑步2千米，還需要跳繩多少次才能完成計劃？解析：（1）僅跑步時：需消耗300千卡，每0.01千米消耗1千卡，故跑步距離=300×0.01=3千米。（2）等量關系：跑步消耗熱量=x/0.01=100x千卡；跳繩消耗熱量=y/20千卡；總熱量：100x+y/20=300→2000x+y=6000→y=6000-2000x。（3）跑步2千米時：y=6000-2000×2=2000次。結論：還需跳繩2000次。四、開放探究題（20分）背景：某中學計劃舉辦“校園文化節(jié)”，需設計活動方案，包括節(jié)目安排、場地布置、預算分配等。任務：（1）列出至少3個需要用數學建模解決的實際問題；（2）選擇其中1個問題，寫出建模的基本步驟（問題分析、假設、模型建立、求解思路）。示例解答：（1）需解決的問題：如何分配不同類型節(jié)目（歌曲、舞蹈、小品）的時長，使參與人數最多？怎樣設計場地座位，在保證安全的前提下容納最多觀眾？如何分配5000元預算（舞臺布置、獎品、宣傳品），使活動效果最佳？（2）問題：預算分配優(yōu)化問題分析：在總預算5000元內，合理分配舞臺布置（x元）、獎品（y元）、宣傳品（z元），使學生參與度最高。假設：①參與度與預算成正比（如每100元舞臺布置提升20人參與，每100元獎品提升30人參與，每100元宣傳品提升15人參與）；②x+y+z=5000，且x,y,z≥0。模型建立：參與度P=(x/100)×20+(y/100)×30+(z/100)×15=0.2x+0.3y+0.15z。目標：最大化P，約束條件x+y+z=5000。求解思路：因獎品對參與度提升最高，優(yōu)先分配獎品預算。當y=5000元時，P=0.3×5000=1500人，為最優(yōu)方案。參考答案及評分標準一、選擇題（每題3分）1-5：BBBBA6-10：CACAB二、填空題（每題4分）y=5xx+y=35，2x+4y=9424250目標層、準則層、方案層（或具體活動、興趣、時間、費用等）三、解答題（按步驟給分，公式正確得一半分，計算正確得全分）（1）A型13200元，B型10800元（6分）；（2）3臺B型，10800元（9分）。（1）13000元（4分）；（2）y=13000-5x（5分）