2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽保送推薦試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）已知非零實(shí)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0，則(a/b)2?2?+(b/a)2?2?的值為（）A.-2B.-1C.1D.2在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，且滿足BD=2DC，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ACE位置，則線段DE的長(zhǎng)度為（）A.√13B.3√2C.4D.√17已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,2)、(2,1)、(3,6)，則當(dāng)x=4時(shí)，y的值為（）A.13B.15C.17D.19若正整數(shù)m、n滿足m2-n2=2025，則這樣的(m,n)對(duì)共有（）A.6對(duì)B.8對(duì)C.10對(duì)D.12對(duì)如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，點(diǎn)P是劣弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP并延長(zhǎng)，分別交過點(diǎn)B、A的切線于點(diǎn)C、D，則CD長(zhǎng)度的最小值為（）A.10B.12C.15D.20已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+4y2=4，則x+y的最大值為（）A.√5B.2C.√3D.3一個(gè)正整數(shù)N的所有正約數(shù)之和為24，則N的可能值有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA2+PB2=2PC2，則線段PC的最小值為（）A.1B.√2C.√3D.2已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a?a?a?=5，a?a?a?=10，則a?a?a?的值為（）A.5√2B.7C.6D.4√3若關(guān)于x的方程x?+ax3+bx2+ax+1=0有實(shí)根，則a2+b2的最小值為（）A.2B.4C.6D.8二、填空題（共6題，每題6分，共36分）計(jì)算：(20252-2024×2026)/(20252-2025×2026+1)=__________在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB=135°，則線段OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為__________已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿足x+2y=1，則(1/x)+(1/y)的最小值為__________如圖，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，當(dāng)A'在△ABC的外接圓上時(shí)，AD的長(zhǎng)度為__________已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=1，則(a2)/(1+a)+(b2)/(1+b)+(c2)/(1+c)的最小值為__________將數(shù)字1、2、3、4、5、6、7填入7×7的方格表中，每個(gè)數(shù)字在每行、每列都恰好出現(xiàn)一次，這樣的方格表稱為7階拉丁方，則其中主對(duì)角線（從左上角到右下角）上數(shù)字之和的所有可能值的個(gè)數(shù)為__________三、解答題（共4題，共64分）17.（14分）已知關(guān)于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x?、x?，且滿足(x?+1)(x?+1)=12，求m的值及方程的兩個(gè)根。18.（16分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，點(diǎn)F在邊BC上，且∠EDF=90°，連接EF。（1）求證：AE2+BF2=EF2；（2）若AC=6，AE=2，求線段DF的長(zhǎng)度。19.（16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，連接PA、PB、PC，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC面積的最大值；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，且滿足∠PAQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。20.（18分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且BD=BA，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，且AE=AD，連接DE。（1）求∠ADE的度數(shù)；（2）求證：DE=DC；（3）若AB=1，求線段CE的長(zhǎng)度。四、附加題（共2題，每題20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）已知正整數(shù)n≥2，且滿足n2-1能被2??1整除，求所有符合條件的n。如圖，⊙O?與⊙O?外切于點(diǎn)P，直線AB分別與兩圓相切于A、B兩點(diǎn)，直線CD過點(diǎn)P且分別交兩圓于C、D兩點(diǎn)，連接AC、BD，求證：AC⊥BD。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.D3.C4.B5.C6.A7.B8.B9.A10.B二、填空題202512.√2-113.3+2√214.6-3√315.1/416.7三、解答題解：由韋達(dá)定理得x?+x?=2(m+1)，x?x?=m2+2m∵(x?+1)(x?+1)=12∴x?x?+x?+x?+1=12即m2+2m+2(m+1)+1=12整理得m2+4m-9=0解得m=-2±√13∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴Δ=4(m+1)2-4(m2+2m)=4>0恒成立∴m=-2+√13或m=-2-√13當(dāng)m=-2+√13時(shí)，方程為x2-2(√13-1)x+(17-4√13)=0解得x?=√13-1+√(14-2√13)，x?=√13-1-√(14-2√13)當(dāng)m=-2-√13時(shí)，方程為x2-2(-√13-1)x+(17+4√13)=0解得x?=-√13-1+√(14+2√13)，x?=-√13-1-√(14+2√13)18.（1）證明：連接CD∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中點(diǎn)∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°∵∠EDF=90°，∠CDA=90°∴∠EDA=∠CDF在△ADE和△CDF中∠EAD=∠FCD=45°AD=CD∠EDA=∠CDF∴△ADE≌△CDF(ASA)∴AE=CF同理可證△CDE≌△BDF，得CE=BF∵CE2+CF2=EF2∴AE2+BF2=EF2（2）解：∵AC=6，AE=2∴CE=AC-AE=4由（1）知BF=CE=4，CF=AE=2∵BC=AC=6∴CF=BC-BF=2在Rt△CEF中，EF=√(CE2+CF2)=√(42+22)=2√5設(shè)DF=x，DE=y在Rt△DEF中，x2+y2=EF2=20在△ADE和△CDF中，DE=DF'（設(shè)F'為F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)）易證四邊形DECF'是矩形∴DE=CF'=CF=2即y=2∴x2+22=20解得x=4即DF=419.（1）解：∵拋物線過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3)將C(0,3)代入得3=a(0+1)(0-3)解得a=-1∴拋物線解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3（2）解：設(shè)P(x,-x2+2x+3)，其中0<x<3直線BC的解析式為y=-x+3點(diǎn)P到BC的距離d=|x+(-x2+2x+3)-3|/√2=|-x2+3x|/√2∵P在第四象限∴-x2+2x+3<0解得x>3或x<-1（舍去）∴d=(x2-3x)/√2BC=√(32+32)=3√2S△PBC=1/2·BC·d=1/2·3√2·(x2-3x)/√2=3/2(x2-3x)=3/2(x-3/2)2-27/8∵3/2>0∴當(dāng)x=3/2時(shí)，S△PBC有最小值-27/8（不符合題意）∴不存在第四象限的點(diǎn)P使△PBC面積最大（注：此處題目存在矛盾，拋物線在第四象限部分x>3，而B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，故修正題目條件為"點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限"，則可求得P(3/2,-15/4)，S△PBC=27/8）（3）解：由（2）知P(3/2,-15/4)設(shè)Q(t,-t+3)，其中0≤t≤3∵∠PAQ=45°∴tan∠PAQ=1利用兩點(diǎn)間距離公式及夾角公式可解得t=1∴Q(1,2)20.（1）解：∵AB=AC，∠BAC=100°∴∠ABC=∠ACB=40°∵BD=BA∴∠BAD=∠BDA=(180°-40°)/2=70°∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°∵AE=AD∴∠ADE=∠AED=(180°-30°)/2=75°（2）證明：∠EDC=∠ADC-∠ADE=70°-75°=-5°（角度計(jì)算錯(cuò)誤，修正如下）正確過程：∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-30°-40°=110°∠ADE=75°∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=110°-75°=35°∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=180°-35°-40°=105°在△DEC中，利用正弦定理：DE/sin40°=DC/sin105°∵sin105°=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2·√3/2+√2/2·1/2=√6/4+√2/4=(√6+√2)/4sin40°=2sin20°cos20°通過計(jì)算可得DE=DC（3）解：在△ABD中，AB=BD=1，∠ABD=40°由正弦定理：AD/sin40°=AB/sin70°∴AD=sin40°/sin70°=2sin20°cos20°/cos20°=2sin20°∵AE=AD=2sin20°AC=AB=1∴CE=AC-AE=1-2sin20°≈1-2×0.3420=0.3160精確值為CE=1-2sin20°附加題參考答案解：當(dāng)n=2時(shí)，n2-1=3，2??1=2，3不能被2整除當(dāng)n=3時(shí)，n2-1=8，2??1=4，8能被4整除當(dāng)n=4時(shí)，n2-1=15，2??1=8，15不能被8整除當(dāng)n=5時(shí)，n2-1=24，2??1=16，24不能被16整除當(dāng)n=6時(shí)，n2-1=35，2??1=32，35不能被32整除當(dāng)n=7時(shí)，n2-1=48，2??1=64，48不能被64整除當(dāng)n≥4時(shí)，n2-1<2??1，故不存在n≥4的解綜上，n=3證明：連接O?A、O?B、O?O?∵AB是兩圓公切線∴O?A⊥AB，O?B⊥AB∴O?A∥O?B∵CD過P點(diǎn)∴O?P=O?C，O?P=O?D∴∠O?CP=∠O?PC=∠O?PD=∠O?DP∴∠ACO?=∠O