高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)研究：幾何知識(shí)（1）：立體幾何第一節(jié):三視圖與直觀圖解:第一步畫正視圖四面體ABCD即為三視圖的空間幾何體，已知最長(zhǎng)棱AD評(píng):三線法的核心原理:“平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)在空間里是一條線,平面內(nèi)的一條線在空間里是一個(gè)面”.三線法的具體做法:“先找到正視圖的幾個(gè)交點(diǎn),依次在正方體(長(zhǎng)方體)中引出線,按此步驟在側(cè)視圖與俯視圖上重復(fù),尋找三線的交點(diǎn),將其交點(diǎn)連線即可”.三線法的兩點(diǎn)注意:“①虛線與實(shí)線的交點(diǎn)也需要作出;②還原完幾何體后需要驗(yàn)證,有些題目需要我們舍去點(diǎn)”.【例1:虛線亦畫】網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體積為DA.64B.643C.16D.解:根據(jù)三視圖知幾何體為:三棱錐D?ABC、為棱長(zhǎng)為4的正方體的一部分.直觀圖如圖所示:由正方體的性質(zhì)得CD⊥平面ABC,則該多面體的體積為V=綜上所述,答案選擇:D.注:俯視圖沒(méi)有虛線時(shí),V【例2:需割一角】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.18B.17C.16解:如圖,設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為1則截取部分為三棱錐A?A1又正方體的體積為1,則剩余部分的體積為56,故所求比值為1【例3:弧線不能用】網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為()A.90πB.63πC.42πD.36π法一:由題意,該幾何體是一個(gè)組合體,下半部分是一個(gè)底面半徑為3,高為4的圓柱,其體積V1V2=12×注:穿線法可以解決非弧線類問(wèn)題,如果出現(xiàn)弧線類問(wèn)題,可以依靠圓柱、圓錐、半圓柱、半圓錐求解.【例4】若一四面體的三視圖(正視圖、俯視圖、側(cè)視圖)都是底邊為2、高為2的等腰三角形，則該幾何體的表面積是___.解:三棱錐P?ABC的底面ABC是底邊為2、高為2的等腰三角形;正側(cè)面高為5的等腰三角形;其余兩個(gè)側(cè)面都是底邊為5、高為215體表面積是S【例5】（全國(guó)卷）以圖①為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖,組成某個(gè)三棱錐的三視圖,則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為②⑤或③④.圖(i)圖②圖(3)圖④圖(6)解:觀察正視圖,推出三棱錐的長(zhǎng)為2和高1,②③圖形的高也為1,即可能為該三棱錐的側(cè)視圖,④⑤圖形的長(zhǎng)為2,即可能為該三錐棱的俯視圖,當(dāng)②為側(cè)視圖時(shí),結(jié)合側(cè)視圖中的直線,可以確定該三棱椎的俯視圖為⑤,當(dāng)③為側(cè)視圖時(shí),結(jié)合側(cè)視圖虛線,虛線所在的位置有立體圖形的輪廓線,可以確定該三棱的俯視圖為④.故答案為:②⑤或③④二、斜二測(cè)畫法與直觀圖1.斜二測(cè)畫法①∠x′②平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段變成原來(lái)的一半2.斜二測(cè)畫法面積與原來(lái)圖形面積之比:斜二測(cè)畫法面積=2一、平行與垂直定理【幾何法證明平行】1.線面平行:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行a性質(zhì)定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a2.面面平行:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面(內(nèi)兩條交線)平行,則這兩個(gè)平面平行a?α,b性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行α//β【幾何法證明垂直】1.線面垂直:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直l⊥m性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。a⊥α重要推論:一條直線與一個(gè)平面垂直,這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線。(重要:這是證明線線垂直的重要定理)2.面面垂直:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直l性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直α【向量法證明平行與垂直】（1）設(shè)兩不同直線l1,l2的方向向量分別為a1.線線平行:a//b?l1//2.線線垂直:a⊥b?l（2）若a=1.證明平行:存在實(shí)數(shù)使得a=λb,則2.證明垂直:數(shù)量積相乘得a?b=0(一)幾何法證平行【經(jīng)典例題一:中位線證平行】如圖,四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥面ABCD,E為PD解:設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連結(jié)EO.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中點(diǎn),所以EO//EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以【經(jīng)典例題二:構(gòu)造平行四邊形】如圖,四棱錐P?ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=解:取PA的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF.因?yàn)镋是所以EF//AD,EF=又BC=12AD,所以EF//又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故定理應(yīng)用:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.a方法指導(dǎo):證明平行的兩種最常見(jiàn)方法為“尋找三角形中位線”和“構(gòu)造平行四邊形”.【定理應(yīng)用一:線面平行判定定理】如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PA=PC=3,解:因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形,所以CD//又CD?平面PAB，AB?平面PAB，∴CD∵平面PAB∩平面PCD=l,而CD?平面PCD,線面平行判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.a//b【定理應(yīng)用二:線面平行性質(zhì)定理】已知四棱雉S?ABCD如圖所示,其中△SAB,△SBC均為等邊三角形,二面角A?BS?C為直二面角,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段SD解:因?yàn)锽C//平面SAD,BC?平面ABCD,平面ABCD∩所以BC//AD;因?yàn)椤鱏BC為等邊三角形,且BM=線面平行性質(zhì)定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.符號(hào)語(yǔ)言:a//α,【定理應(yīng)用三:面面平行性質(zhì)定理】（成都一診）四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)E是棱PD上一點(diǎn),PE=3ED,若PF=λPC解:如圖,連解BD,交AC于點(diǎn)O,連接OE,在線段PE取一點(diǎn)G使得GE=連接BG,則BG//OE,又因?yàn)镺E?平面AEC,BG?平面AEC,所以BG//平面AEC,因?yàn)锽F//平面因?yàn)槠矫鍼CD∩平面BGF=GF,平面PCD∩平面所以PFPC=PG面面平行性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行α//β關(guān)于面面平行判斷定理的說(shuō)明:此類題目難度不大,本質(zhì)上是找線線平行或者線面平行,故題目在此處不在列出面面平行判定定理一:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行a?α,b面面平行判定定理二:一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)兩條交線平行,則這兩個(gè)平面平行(二)幾何法證垂直證明思路:無(wú)論是證明線線垂直、線面垂直,還是面面垂直,我們均先證線a面A垂直,如需證線a線b垂直,即寫該線b屬于該面A,所以線a線b垂直;如需證面A面B垂直,即寫該線a屬于該面B,所以面面垂直。證明線面垂直的前提是:找出一條線與一組交線垂直。步驟細(xì)化：第一步判斷類型：三個(gè)類型為線線垂直、線面垂直、面面垂直第二步找出線面：線線垂直、線面垂直前提條件為都需要證明線面垂直第三步目標(biāo)清晰：線面垂直的基礎(chǔ)為證明線線垂直第四步三種思路：線線垂直證法.①代數(shù)型：算出來(lái)；②幾何型：證出來(lái)；③題中給?！窘?jīng)典例題一:線面垂直】如圖,在三棱錐P?ABC中,AB=BC=22解:因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為連結(jié)OB.因?yàn)锳B=BC=且OB⊥AC,OB=由OP⊥OB,OP⊥【經(jīng)典例題二:線線垂直】如圖,三棱柱ABC?A1B1C1中,側(cè)面BB1C1解:連接BC1,則O為B1C與BC又AO⊥平面BB1C1C,所以由于AB?平面ABO,故B【經(jīng)典例題三:面面垂直】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在