2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策應(yīng)用試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在括號內(nèi)。）1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知。若從中抽取容量為n的樣本，要檢驗(yàn)H?:σ2≤σ?2(σ?已知)，應(yīng)選用哪種統(tǒng)計(jì)量？A.Z=(樣本均值-μ)/(σ?/sqrt(n))B.t=(樣本均值-μ)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt(n))C.χ2=[(n-1)*樣本方差]/σ?2D.F=(樣本方差/σ?2)2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤是指：A.H?為真，接受H?B.H?為真，拒絕H?C.H?為假，接受H?D.H?為假，拒絕H?3.對于兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y，若X~N(μ?,σ?2),Y~N(μ?,σ?2)，則X-Y的期望和方差分別是：A.μ?-μ?,σ?2+σ?2B.μ?+μ?,σ?2-σ?2C.μ?-μ?,σ?2-σ?2D.μ?+μ?,σ?2+σ?24.在回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是：A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)5.已知一組樣本數(shù)據(jù)：3,7,5,x,9，其樣本均值是6，則該樣本的樣本方差s2是：A.4B.5C.9D.無法確定6.抽樣調(diào)查中，下列哪種方法屬于概率抽樣？A.整群抽樣B.判斷抽樣C.配額抽樣D.簡單隨機(jī)抽樣7.設(shè)總體X的分布未知，但知道其期望E(X)=μ存在。若用樣本均值X?來估計(jì)μ，稱其為μ的無偏估計(jì)量，這是由以下哪個(gè)定理保證的？A.大數(shù)定律B.中心極限定理C.貝葉斯定理D.獨(dú)立同分布假設(shè)8.在單因素方差分析（ANOVA）中，F(xiàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)H?是：A.各組均值均相等B.至少存在兩組均值不等C.各組方差均相等D.總體方差σ2未知9.對于一組觀測數(shù)據(jù)，其協(xié)方差Cov(X,Y)=10，X的標(biāo)準(zhǔn)差σ?=5，Y的標(biāo)準(zhǔn)差σ<0xE1><0xB5><0xA3>=2，則相關(guān)系數(shù)ρ<0xE2><0x82><0x9B>XY的值是：A.1B.0C.-1D.0.510.已知X~B(n,p)，則E(X)和Var(X)分別是：A.np,p(1-p)B.np,np(1-p)C.p,npD.np(1-p),np二、判斷題（每題1分，共10分。請將“正確”填在括號內(nèi)，將“錯(cuò)誤”填在括號內(nèi)。）1.（）樣本中位數(shù)總是比樣本均值更不易受極端值的影響。2.（）在所有可能的樣本均值中，樣本均值X?是最小方差無偏估計(jì)量。3.（）進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，犯第二類錯(cuò)誤的概率α與犯第一類錯(cuò)誤的概率β之和恒等于1。4.（）如果兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為0，則它們之間一定不存在任何關(guān)系。5.（）方差分析是檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否存在顯著差異的一種統(tǒng)計(jì)方法。6.（）對于正態(tài)分布總體，當(dāng)總體方差未知時(shí)，檢驗(yàn)μ應(yīng)使用t分布。7.（）線性回歸模型中，增加一個(gè)與因變量高度相關(guān)的自變量，一定會增大模型的R2。8.（）分層抽樣是一種非概率抽樣方法。9.（）矩估計(jì)法是利用樣本矩去估計(jì)總體矩的一種常用方法。10.（）指數(shù)平滑法適用于處理具有明顯趨勢和季節(jié)性波動的數(shù)據(jù)。三、簡答題（每題5分，共20分。）1.簡述參數(shù)估計(jì)的兩種基本方法及其主要區(qū)別。2.寫出假設(shè)檢驗(yàn)中，根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值和P值做出決策的規(guī)則。3.解釋什么是多重共線性，并簡述其可能帶來的問題。4.在進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)，常用的平滑方法有哪些？四、計(jì)算題（每題8分，共32分。請寫出必要的計(jì)算步驟。）1.從正態(tài)總體N(μ,42)中隨機(jī)抽取容量為16的樣本，樣本均值為52。求μ的95%置信區(qū)間。（已知σ=2）2.某廠生產(chǎn)的零件長度X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，現(xiàn)從中抽取9個(gè)樣本，測得長度分別為：99.8,100.1,99.7,100.3,100.0,99.9,100.2,100.1,99.6。檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=100（α=0.05）。3.某研究者想探究兩種教學(xué)方法（A和B）對考試成績的影響，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，其中10人采用方法A，10人采用方法B，考試成績（滿分100）如下：方法A：78,82,85,89,90,75,88,79,84,86方法B：81,76,80,83,77,82,79,84,80,81試分析兩種教學(xué)方法下的平均考試成績是否存在顯著差異（α=0.05）。請說明所用的方法并給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。4.根據(jù)以下數(shù)據(jù)，計(jì)算變量X和Y的相關(guān)系數(shù)：X:4,6,8,10,12Y:5,7,10,14,16五、論述題（12分。）某公司銷售部門想知道廣告投入額（萬元）與銷售額（萬元）之間是否存在線性關(guān)系，并希望建立模型來預(yù)測銷售額。他們收集了過去12個(gè)月的廣告投入額和銷售額數(shù)據(jù)。你被要求協(xié)助分析這些數(shù)據(jù)。請闡述你會如何進(jìn)行這一分析？具體需要運(yùn)用哪些統(tǒng)計(jì)方法？并對分析結(jié)果中你需要關(guān)注的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行說明，例如你需要檢驗(yàn)?zāi)男┘僭O(shè)？如何評估模型的擬合效果？以及如何利用模型進(jìn)行預(yù)測，并解釋預(yù)測結(jié)果的含義和潛在的應(yīng)用價(jià)值。試卷答案一、單項(xiàng)選擇題1.C解析：檢驗(yàn)總體方差σ2是否小于等于σ?2，應(yīng)使用χ2分布的統(tǒng)計(jì)量，其分子是樣本方差乘以(n-1)，分母是總體方差σ?2。2.B解析：第一類錯(cuò)誤是指在原假設(shè)H?為真的情況下，錯(cuò)誤地拒絕了H?。3.A解析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，E(X-Y)=E(X)-E(Y)=μ?-μ?；Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)=σ?2+σ?2（因?yàn)閄和Y獨(dú)立）。4.A解析：判定系數(shù)R2表示回歸平方和占總平方和的比例，其取值范圍在0到1之間，R2=0表示回歸無效，R2=1表示完全擬合。5.A解析：樣本均值X?=(3+7+5+x+9)/5=6=>24+x=30=>x=6。樣本方差s2=[(3-6)2+(7-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]/(5-1)=[9+1+1+0+9]/4=20/4=5。6.A解析：整群抽樣是將總體分成若干群，隨機(jī)抽取群，然后調(diào)查被抽中群的所有單位，屬于概率抽樣。判斷抽樣、配額抽樣屬于非概率抽樣。7.A解析：大數(shù)定律指出，樣本均值X?是總體均值μ的弱大數(shù)定律估計(jì)量，即當(dāng)樣本量n趨于無窮時(shí)，X?依概率收斂于μ，保證了無偏性。8.A解析：單因素方差分析檢驗(yàn)的是多個(gè)總體（因素的不同水平）的均值是否相等，其零假設(shè)H?是所有組的均值都相等。9.D解析：相關(guān)系數(shù)ρ<0xE2><0x82><0x9B>XY=Cov(X,Y)/(σ?*σ<0xE1><0xB5><0xA3>)=10/(5*2)=10/10=1。10.B解析：對于二項(xiàng)分布B(n,p)，期望E(X)=np，方差Var(X)=np(1-p)。二、判斷題1.正確解析：中位數(shù)僅取決于數(shù)據(jù)的排序位置，不受極端值影響，而均值是所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，極端值會顯著拉高或拉低均值。2.正確解析：根據(jù)最小方差無偏估計(jì)（MVUE）定理（在正態(tài)總體下，樣本均值X?是總體均值μ的最小方差無偏估計(jì)量）。3.錯(cuò)誤解析：α是犯第一類錯(cuò)誤的概率（棄真錯(cuò)誤概率），β是犯第二類錯(cuò)誤的概率（取偽錯(cuò)誤概率），兩者一般不相等，它們的大小取決于樣本量、參數(shù)值和檢驗(yàn)的臨界值選擇。4.錯(cuò)誤解析：相關(guān)系數(shù)為0表示兩個(gè)變量之間不存在線性關(guān)系，但可能存在非線性關(guān)系。5.正確解析：方差分析（ANOVA）的核心目的就是檢驗(yàn)一個(gè)或多個(gè)分類自變量的不同水平下，對應(yīng)的因變量（多個(gè)總體）的均值是否存在顯著差異。6.正確解析：根據(jù)t檢驗(yàn)的適用條件，當(dāng)總體服從正態(tài)分布但總體方差未知時(shí)，應(yīng)使用t分布來構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。7.錯(cuò)誤解析：增加一個(gè)與因變量高度相關(guān)的自變量，如果該變量與模型中已有的自變量存在共線性，可能會導(dǎo)致R2增大不多甚至不變；如果變量相關(guān)且有助于解釋變異，R2會增大。但“一定增大”是不準(zhǔn)確的。8.錯(cuò)誤解析：整群抽樣是概率抽樣的一種。判斷抽樣、配額抽樣、方便抽樣等屬于非概率抽樣。9.正確解析：矩估計(jì)法是用樣本矩（如樣本均值、樣本方差）去估計(jì)總體矩（如總體期望、總體方差）的方法。10.錯(cuò)誤解析：指數(shù)平滑法（如簡單指數(shù)平滑、霍爾特指數(shù)平滑、溫特斯指數(shù)平滑）主要用于處理具有趨勢或季節(jié)性成分的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，但不適用于處理明顯的非線性關(guān)系。對于非線性趨勢，可能需要使用其他模型如多項(xiàng)式回歸或指數(shù)增長曲線。三、簡答題1.參數(shù)估計(jì)的兩種基本方法是點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。解析思路：點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)具體的統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值X?、樣本方差s2）來估計(jì)未知的總體參數(shù)。區(qū)間估計(jì)是用一個(gè)區(qū)間（置信區(qū)間）來估計(jì)總體參數(shù)，該區(qū)間包含參數(shù)的一個(gè)可能取值范圍，并給出一個(gè)置信水平（如95%）表示區(qū)間估計(jì)的可信程度。2.假設(shè)檢驗(yàn)中，決策規(guī)則是：若P值≤α，則拒絕原假設(shè)H?；若P值>α，則不拒絕原假設(shè)H?。解析思路：P值是在原假設(shè)H?為真的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。將P值與預(yù)設(shè)的顯著性水平α進(jìn)行比較。如果P值非常?。ㄐ∮诨虻扔讦粒?，說明觀測到的結(jié)果在H?成立時(shí)發(fā)生的概率很小，有理由懷疑H?的真實(shí)性，因此拒絕H?。如果P值較大（大于α），說明觀測到的結(jié)果在H?成立時(shí)發(fā)生的概率較大，沒有足夠證據(jù)拒絕H?，因此不拒絕H?。3.多重共線性是指線性回歸模型中，兩個(gè)或多個(gè)自變量之間存在高度線性相關(guān)關(guān)系。解析思路：當(dāng)自變量之間存在共線性時(shí)，會給回歸系數(shù)的估計(jì)帶來困難。雖然系數(shù)估計(jì)量仍是無偏的，但其方差會增大，導(dǎo)致估計(jì)值不穩(wěn)定、精度降低，難以解釋各個(gè)自變量對因變量的獨(dú)立影響。嚴(yán)重時(shí)，甚至可能導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)符號與預(yù)期相反或出現(xiàn)不合理的值。4.在進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)，常用的平滑方法有：簡單指數(shù)平滑、霍爾特線性趨勢平滑、溫特斯季節(jié)性趨勢平滑。解析思路：平滑方法旨在消除時(shí)間序列中的隨機(jī)波動，揭示其潛在的規(guī)律性。簡單指數(shù)平滑適用于沒有趨勢和季節(jié)性的序列?；魻柼胤椒ㄔ诤唵沃笖?shù)平滑的基礎(chǔ)上增加了趨勢項(xiàng)的平滑，適用于具有趨勢的序列。溫特斯方法進(jìn)一步考慮了季節(jié)性影響，適用于同時(shí)具有趨勢和季節(jié)性的序列。四、計(jì)算題1.置信水平1-α=95%，α/2=0.025，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。μ的95%置信區(qū)間為：X?±Z_(α/2)*(σ/√n)=52±1.96*(2/√16)=52±1.96*(2/4)=52±1.96*0.5=52±0.98。置信區(qū)間為：(51.02,52.98)。解析思路：已知總體服從正態(tài)分布且方差σ2已知，使用Z分布構(gòu)建置信區(qū)間。公式為：μ∈[X?-Z_(α/2)*(σ/√n),X?+Z_(α/2)*(σ/√n)]。代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可。2.檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=100vsH?:μ≠100(雙側(cè)檢驗(yàn))，α=0.05。樣本均值X?=(99.8+100.1+99.7+100.3+100.0+99.9+100.2+100.1+99.6)/9≈900.7/9≈100.07。樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈sqrt{[(99.8-100.07)2+(100.1-100.07)2+...+(99.6-100.07)2]/(9-1)}≈sqrt[(0.27+0.03+0.36+0.23+0.07+0.18+0.11+0.03+0.49)/8]≈sqrt(1.85/8)≈sqrt(0.23125)≈0.481。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?-μ?)/(s/√n)=(100.07-100)/(0.481/√9)=0.07/(0.481/3)=0.07/0.1603≈0.436。查t分布表，df=n-1=8，α/2=0.025，得t_(0.025,8)≈2.306。因?yàn)閨t|=0.436<2.306=t_(0.025,8)，所以不拒絕H?。解析思路：總體方差σ2未知，小樣本（n=9），使用t檢驗(yàn)。計(jì)算樣本均值X?和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s。根據(jù)t檢驗(yàn)公式計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值。查t分布表，根據(jù)自由度和顯著性水平α找到臨界值t_(α/2)。比較t統(tǒng)計(jì)量的絕對值與臨界值。若t統(tǒng)計(jì)量的絕對值大于臨界值，則拒絕H?；否則，不拒絕H?。此處t值小于臨界值，故不拒絕原假設(shè)，認(rèn)為沒有足夠證據(jù)表明均值不為100。3.檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ_A=μ_BvsH?:μ_A≠μ_B(雙側(cè)檢驗(yàn))，α=0.05。方法A樣本均值X?_A=(78+82+...+86)/10=840/10=84。方法B樣本均值X?_B=(81+76+...+81)/10=805/10=80.5。樣本方差s_A2=[Σ(X?-X?_A)2]/(n_A-1)=[(78-84)2+...+(86-84)2]/9=[36+4+1+25+16+9+16+25+4+4]/9=140/9≈15.56。s_A=sqrt(15.56)≈3.94。s_B2=[Σ(X?-X?_B)2]/(n_B-1)=[(81-80.5)2+...+(81-80.5)2]/9=[0.25+20.25+0.25+7.29+12.25+0.25+14.41+7.29+0.25+0.25]/9=62.5/9≈6.94。s_B=sqrt(6.94)≈2.63。合并方差估計(jì)量s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)=[(9*15.56)+(9*6.94)]/18=[140.04+62.46]/18=202.5/18≈11.25。s_p=sqrt(11.25)≈3.35。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?_A-X?_B)/(s_p*sqrt(1/n_A+1/n_B))=(84-80.5)/(3.35*sqrt(1/10+1/10))=3.5/(3.35*sqrt(2/10))=3.5/(3.35*sqrt(0.2))=3.5/(3.35*0.4472)≈3.5/1.499≈2.34。查t分布表，df=n_A+n_B-2=18，α/2=0.025，得t_(0.025,18)≈2.101。因?yàn)閨t|=2.34>2.101=t_(0.025,18)，所以拒絕H?。解析思路：這是獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)兩組方差不等，可用Welch方法，但此處按等方差合并計(jì)算）。計(jì)算兩組樣本均值和樣本方差。計(jì)算合并方差估計(jì)量s_p2。使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)公式計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值。查t分布表，根據(jù)自由度和顯著性水平α找到臨界值t_(α/2)。比較t統(tǒng)計(jì)量的絕對值與臨界值。此處t值大于臨界值，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種教學(xué)方法下的平均考試成績存在顯著差異。4.相關(guān)系數(shù)r=Cov(X,Y)/(σ?*σ<0xE1><0xB5><0xA3>)。ΣX=4+6+8+10+12=40。ΣY=5+7+10+14+16=52。ΣXY=4*5+6*7+8*10+10*14+12*16=20+42+80+140+192=484。ΣX2=42+62+82+102+122=16+36+64+100+144=300。ΣY2=52+72+102+142+162=25+49+100+196+256=626。n=5。樣本均值X?=ΣX/n=40/5=8。樣本均值Y?=ΣY/n=52/5=10.4。樣本方差s_X2=[ΣX2-(ΣX)2/n]/(n-1)=[300-(40)2/5]/4=[300-320]/4=-20/4=-5。s_X=sqrt(-5)。這里發(fā)現(xiàn)樣本方差計(jì)算結(jié)果為負(fù)數(shù)，表明計(jì)算過程或數(shù)據(jù)有誤（ΣX2應(yīng)為ΣX_i2）。重新檢查ΣX2計(jì)算：42=16,62=36,82=64,102=100,122=144。ΣX2=16+36+64+100+144=360。修正后s_X2=[360-320]/4=40/4=10。s_X=sqrt(10)。樣本方差s_Y2=[ΣY2-(ΣY)2/n]/(n-1)=[626-(52)2/5]/4=[626-270.4]/4=355.6/4=88.9。s_Y=sqrt(88.9)。Cov(X,Y)=[ΣXY-n*X?*Y?]/(n-1)=[484-5*8*10.4]/4=[484-416]/4=68/4=17。r=17/(sqrt(10)*sqrt(88.9))=17/(sqrt(889))。sqrt(889)≈29.8。r≈17/29.8≈0.57。解析思路：計(jì)算協(xié)方差需要用到ΣXY,ΣX2,ΣY2。先計(jì)算各總和值。然后計(jì)算樣本均值X?,Y?。接著計(jì)算樣本方差s_X2,s_Y2。協(xié)方差Cov(X,Y)=[ΣXY-n*X?*Y?]/(n-1)。最后計(jì)算相關(guān)系數(shù)r=Cov(X,Y)/(s_X*s_Y)。注意檢查方差計(jì)算，本題計(jì)算中ΣX2應(yīng)為360，導(dǎo)致方差為正。五、論述題分析過程：1.數(shù)據(jù)整理與描述：檢查收集到的12個(gè)月廣告投入額（X）和銷售額（Y）數(shù)據(jù)是否完整、準(zhǔn)確。計(jì)算描述性統(tǒng)計(jì)量，如X和Y的均值、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，繪制X和Y的散點(diǎn)圖，初步觀察兩者之間是否存在大致的線性趨勢。2.相關(guān)性檢驗(yàn)：計(jì)算X和Y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r。檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的顯著性（例如，使用t檢驗(yàn)），判斷X和Y之