高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一?單選題1.直線的傾斜角是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】直線為，傾斜角，，故選．2.已知向量，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得：故選：B.3.在的二項(xiàng)展開式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的項(xiàng)數(shù)是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】在二項(xiàng)式的展開式中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.因?yàn)樵诘亩?xiàng)展開式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以為偶數(shù)，且中間項(xiàng)為第項(xiàng)，即，解得.因二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)數(shù)為，則展開式的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選：A.4.直線與直線平行，則實(shí)數(shù)值為（）A.1 B.1或 C. D.或2【答案】A【解析】由題設(shè)，則，所以或，當(dāng)時(shí)，為，為，所以兩直線重合，不符；當(dāng)時(shí)，直線分別為、，即兩線平行，符合；故選：A.5.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（）A.12 B.24 C.30 D.36【答案】C【解析】因?yàn)槊糠N顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，所以只有五種涂法:每種涂法中分配顏色有種方法，故不同的涂色方案的種數(shù)是，選C．6.已知圓：，圓：，其中，若兩圓外切，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，則，半徑r1=1，圓，則，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，即，則點(diǎn)在以1,0為圓心，半徑為3的圓上，即在圓上，令，則k表示過點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，則該直線一定過點(diǎn)，且與圓有公共點(diǎn)，由題意作圖，由圖可知該直線斜率一定存在(若斜率不存在，則直線與圓相離)，設(shè)該直線方程為，即為，圓心1,0到直線的距離為d，則，解得，即的取值范圍是.故選：C.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方形的中心，且PQ與平面所成角的正弦值是，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，取正方形的中心，連接，由Q是正方形的中心，得平面，則是PQ與平面所成的角，則，而，于是，，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選：A.8.過雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，漸近線方程為.因?yàn)?，所以直線的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二?多選題9.下列說法命題正確的是（）A.已知，則在上的投影向量為B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則D.若向量（是不共面的向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】A：由題設(shè)在上的投影向量為，對(duì)；B：由，則或，錯(cuò)；C：點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，根據(jù)空間向量共面的推論知：，則，對(duì)；D：令在基底下坐標(biāo)為，由題意，所以，可得，即在基底下的坐標(biāo)為，對(duì)；故選：ACD.10.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)在線段上，若，且為原點(diǎn)則下列說法正確的是（）A.B.以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C.直線斜率為D.【答案】ABD【解析】由題意，不妨設(shè)在第一象限，分別過作垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為，作圖如下：對(duì)于A，由圖可知，AF=AD在中，由，則，易知，在中，，由，則為線段的中點(diǎn)，即在中，，所以，故A正確；對(duì)于B，由A易知，由，則，即，所以以為直徑的圓的半徑，在直角梯形中，中位線的長(zhǎng)度為，則以為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離，故B正確；對(duì)于C，由A可得，則直線的傾斜角為，即斜率為，當(dāng)在第四象限時(shí)，同理可得斜率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：ABD.11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)距離之積等于定值的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，已知點(diǎn)Px0,y0是雙紐線上一點(diǎn)，下列關(guān)于雙紐線的說法正確的是（A.的最大值為 B.雙紐線是中心對(duì)稱圖形C. D.到距離之和的最小值為2c【答案】BCD【解析】B選項(xiàng)，由題意得雙紐線的軌跡方程為，將換成，把換成得，即，故雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確；C選項(xiàng)，，其中，又Px0,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，C正確；D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；A選項(xiàng)，當(dāng)重合時(shí)，，當(dāng)不重合時(shí)，，兩邊平方得，在中，由余弦定理得①，即②，式子①②聯(lián)立得，，當(dāng)落在軸上（除原點(diǎn)）時(shí)，等號(hào)成立，故，的最大值為，A錯(cuò)誤.故選：BCD.三?填空題12.在多項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為32，則______.【答案】【解析】，中含的系數(shù)為，中含的系數(shù)為，所以中的系數(shù)為，所以，得.13.已知橢圓和雙曲線焦點(diǎn)相同，是它們的公共焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的交點(diǎn)，橢圓和雙曲線的離心率分別為和，若，則__________.【答案】【解析】設(shè)橢圓相關(guān)參數(shù)為，雙曲線相關(guān)參數(shù)為，，則，則，且，則，所以，且，又，則，所以，則，即，所以.14.已知曲線上任意一點(diǎn)，都有的和為定值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】曲線，故曲線C的大致圖象：其中，，，雙曲線的圖象無限接近于漸近線，因?yàn)闉槎ㄖ担詾槎ㄖ?，其中，分別表示曲線上的點(diǎn)到直線和直線距離，當(dāng)其僅當(dāng)曲線上的點(diǎn)在兩條平行線之間時(shí)有定值，如圖：所以直線為曲線的切線或在曲線下方，由圖可知最多只有一個(gè)解，即最多有一個(gè)負(fù)數(shù)解，需滿足直線在y軸上截距，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解為，符合題意；所以時(shí)，結(jié)合，解得，故可得.四?解答題15.（1）已知（為正整數(shù)）.展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64①求該式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和；②求該式的展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；③求該式的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).（2）現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？①老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；②4名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端；③2名老師之間必須有男女學(xué)生各1人.解：（1）由，可得，①令得，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729；②的通項(xiàng)為，，所以當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)為展開式中的無理項(xiàng)，所以共有3個(gè)無理項(xiàng)；③由②及題意，知，解得，則，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為；（2）①由題意，老師、男女學(xué)生在對(duì)應(yīng)位置上作全排列，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，有種不同的站法.②先排老師和女學(xué)生共有種站法，再排男學(xué)生甲有種站法，最后排剩余的3名男學(xué)生有種站法，所以共有種不同的站法③先任選男女學(xué)生各一名站兩位老師中間，有種站法，兩位老師的站法有種，再將一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的站法.16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.（3）求點(diǎn)F到平面的距離.（1）證明：不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則所以設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，則，令，則，即，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）解：因?yàn)椋矫娴囊粋€(gè)法向量，所以F到平面的距離為.17.已知雙曲線的離心率為2，實(shí)軸的左?右頂點(diǎn)分別為，虛軸的上?下頂點(diǎn)分別為，且四邊形的面積為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與交于兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由雙曲線的幾何性質(zhì)可知，四邊形是菱形，且，四邊形的面積為，①又離心率，②聯(lián)立①②可得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，線段中點(diǎn)，聯(lián)立消去整理可得，，即且①，...，②，又③，由①②③得或，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.如圖，，，點(diǎn)、在平面的同側(cè)，，，，平面平面，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).（1）證明：因?yàn)?，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)椋士山⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系.在四邊形中，因?yàn)椋?，，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以A0,0,0，，D0,1,0，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，即，故取，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，兩邊同時(shí)平方得，解得，或（舍去），所以，所以.19.已知和為橢圓：上兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值.解：（1）由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓的離心率為.（2）（i）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)，，過點(diǎn)的直線為，與聯(lián)立得：.恒成立.所以，，，得，所以，直線的方程為：.（ii）由（i）可知，，直線的方程為，令，得，直線方程為，令，得，記以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，由圓的弦長(zhǎng)公式可知，，所以，為定值.遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）一?單選題1.直線的傾斜角是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】直線為，傾斜角，，故選．2.已知向量，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得：故選：B.3.在的二項(xiàng)展開式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的項(xiàng)數(shù)是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】在二項(xiàng)式的展開式中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.因?yàn)樵诘亩?xiàng)展開式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以為偶數(shù)，且中間項(xiàng)為第項(xiàng)，即，解得.因二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)數(shù)為，則展開式的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選：A.4.直線與直線平行，則實(shí)數(shù)值為（）A.1 B.1或 C. D.或2【答案】A【解析】由題設(shè)，則，所以或，當(dāng)時(shí)，為，為，所以兩直線重合，不符；當(dāng)時(shí)，直線分別為、，即兩線平行，符合；故選：A.5.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（）A.12 B.24 C.30 D.36【答案】C【解析】因?yàn)槊糠N顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，所以只有五種涂法:每種涂法中分配顏色有種方法，故不同的涂色方案的種數(shù)是，選C．6.已知圓：，圓：，其中，若兩圓外切，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，則，半徑r1=1，圓，則，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，即，則點(diǎn)在以1,0為圓心，半徑為3的圓上，即在圓上，令，則k表示過點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，則該直線一定過點(diǎn)，且與圓有公共點(diǎn)，由題意作圖，由圖可知該直線斜率一定存在(若斜率不存在，則直線與圓相離)，設(shè)該直線方程為，即為，圓心1,0到直線的距離為d，則，解得，即的取值范圍是.故選：C.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方形的中心，且PQ與平面所成角的正弦值是，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，取正方形的中心，連接，由Q是正方形的中心，得平面，則是PQ與平面所成的角，則，而，于是，，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，其面積為.故選：A.8.過雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，漸近線方程為.因?yàn)?，所以直線的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二?多選題9.下列說法命題正確的是（）A.已知，則在上的投影向量為B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知三棱錐，點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則D.若向量（是不共面的向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】A：由題設(shè)在上的投影向量為，對(duì)；B：由，則或，錯(cuò)；C：點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，根據(jù)空間向量共面的推論知：，則，對(duì)；D：令在基底下坐標(biāo)為，由題意，所以，可得，即在基底下的坐標(biāo)為，對(duì)；故選：ACD.10.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)在線段上，若，且為原點(diǎn)則下列說法正確的是（）A.B.以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切C.直線斜率為D.【答案】ABD【解析】由題意，不妨設(shè)在第一象限，分別過作垂直于準(zhǔn)線，垂足分別為，作圖如下：對(duì)于A，由圖可知，AF=AD在中，由，則，易知，在中，，由，則為線段的中點(diǎn)，即在中，，所以，故A正確；對(duì)于B，由A易知，由，則，即，所以以為直徑的圓的半徑，在直角梯形中，中位線的長(zhǎng)度為，則以為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離，故B正確；對(duì)于C，由A可得，則直線的傾斜角為，即斜率為，當(dāng)在第四象限時(shí)，同理可得斜率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：ABD.11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)距離之積等于定值的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，已知點(diǎn)Px0,y0是雙紐線上一點(diǎn)，下列關(guān)于雙紐線的說法正確的是（A.的最大值為 B.雙紐線是中心對(duì)稱圖形C. D.到距離之和的最小值為2c【答案】BCD【解析】B選項(xiàng)，由題意得雙紐線的軌跡方程為，將換成，把換成得，即，故雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確；C選項(xiàng)，，其中，又Px0,故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，C正確；D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；A選項(xiàng)，當(dāng)重合時(shí)，，當(dāng)不重合時(shí)，，兩邊平方得，在中，由余弦定理得①，即②，式子①②聯(lián)立得，，當(dāng)落在軸上（除原點(diǎn)）時(shí)，等號(hào)成立，故，的最大值為，A錯(cuò)誤.故選：BCD.三?填空題12.在多項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為32，則______.【答案】【解析】，中含的系數(shù)為，中含的系數(shù)為，所以中的系數(shù)為，所以，得.13.已知橢圓和雙曲線焦點(diǎn)相同，是它們的公共焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的交點(diǎn)，橢圓和雙曲線的離心率分別為和，若，則__________.【答案】【解析】設(shè)橢圓相關(guān)參數(shù)為，雙曲線相關(guān)參數(shù)為，，則，則，且，則，所以，且，又，則，所以，則，即，所以.14.已知曲線上任意一點(diǎn)，都有的和為定值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】曲線，故曲線C的大致圖象：其中，，，雙曲線的圖象無限接近于漸近線，因?yàn)闉槎ㄖ担詾槎ㄖ?，其中，分別表示曲線上的點(diǎn)到直線和直線距離，當(dāng)其僅當(dāng)曲線上的點(diǎn)在兩條平行線之間時(shí)有定值，如圖：所以直線為曲線的切線或在曲線下方，由圖可知最多只有一個(gè)解，即最多有一個(gè)負(fù)數(shù)解，需滿足直線在y軸上截距，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解為，符合題意；所以時(shí)，結(jié)合，解得，故可得.四?解答題15.（1）已知（為正整數(shù)）.展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64①求該式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和；②求該式的展開式中無理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；③求該式的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).（2）現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？①老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；②4名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端；③2名老師之間必須有男女學(xué)生各1人.解：（1）由，可得，①令得，所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729；②的通項(xiàng)為，，所以當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)為展開式中的無理項(xiàng)，所以共有3個(gè)無理項(xiàng)；③由②及題意，知，解得，則，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為；（2）①由題意，老師、男女學(xué)生在對(duì)應(yīng)位置上作全排列，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，有種不同的站法.②先排老師和女學(xué)生共有種站法，再排男學(xué)生甲有種站法，最后排剩余的3名男學(xué)生有種站法，所以共有種不同的站法③先任選男女學(xué)生各一名站兩位老師中間，有種站法，兩位老師的站法有種，再將一男學(xué)生一女學(xué)生兩位老師進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)人進(jìn)行全排列有種，所以共有種不同的站法.16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.（3）求點(diǎn)F到平面的距離.（1）證明：不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則所以設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）解：設(shè)是平面的一個(gè)法