2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)與謠言傳播試卷一、選擇題（每題3分，共30分）謠言傳播的數(shù)學(xué)模型中，若某謠言初始傳播人數(shù)為10人，且每天傳播人數(shù)是前一天的2倍，則傳播第5天時(shí)的總?cè)藬?shù)符合以下哪個(gè)函數(shù)關(guān)系？（）A.一次函數(shù)(y=10+2x)B.二次函數(shù)(y=10x^2)C.指數(shù)函數(shù)(y=10×2^x)D.反比例函數(shù)(y=\frac{10}{x})信息熵與謠言可信度：當(dāng)一條謠言包含3個(gè)獨(dú)立真假信息（每個(gè)信息真假概率均為0.5）時(shí)，其信息熵為（）A.0bitB.1.5bitC.2bitD.3bit社交網(wǎng)絡(luò)傳播路徑中，若某班級(jí)40人構(gòu)成無(wú)向圖，每人平均與5人相連，則該圖的邊數(shù)為（）A.40B.100C.200D.無(wú)法計(jì)算謠言衰減系數(shù)：某謠言72小時(shí)后傳播強(qiáng)度衰減為初始值的1/8，若衰減過(guò)程符合指數(shù)規(guī)律(y=y_0e^{-kt})，則衰減系數(shù)(k=)（）A.(\frac{\ln2}{24})B.(\frac{\ln8}{72})C.(\frac{\ln3}{24})D.(\frac{\ln\frac{1}{8}}{72})概率與謠言辨別：已知某平臺(tái)謠言識(shí)別系統(tǒng)準(zhǔn)確率為90%，且平臺(tái)中謠言占比5%。若系統(tǒng)判定某信息為謠言，則其實(shí)際為謠言的概率約為（）A.5%B.32%C.90%D.95%傳播閾值模型：在SIR模型中，若基本再生數(shù)(R_0=1.2)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.謠言會(huì)逐漸消失B.謠言會(huì)持續(xù)傳播C.傳播規(guī)模與初始人數(shù)無(wú)關(guān)D.康復(fù)者會(huì)再次成為易感人群數(shù)據(jù)可視化與謠言誤導(dǎo)：某謠言配圖使用截?cái)郰軸的柱狀圖展示“某產(chǎn)品致癌率”，其主要誤導(dǎo)手段是（）A.樣本量不足B.忽略對(duì)照組C.扭曲數(shù)據(jù)比例D.混淆因果關(guān)系網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：以下哪種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中謠言傳播速度最快？（）A.星型結(jié)構(gòu)B.環(huán)形結(jié)構(gòu)C.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)D.規(guī)則網(wǎng)格結(jié)構(gòu)謠言擴(kuò)散的微積分描述：若謠言傳播速度(v(t)=2t+3)（單位：人/小時(shí)），則0-4小時(shí)內(nèi)累計(jì)傳播人數(shù)為（）A.12人B.20人C.28人D.36人邏輯回歸與謠言預(yù)測(cè)：某模型用邏輯函數(shù)(P(x)=\frac{1}{1+e^{-(0.5x-2)}})預(yù)測(cè)謠言傳播概率，當(dāng)特征值(x=6)時(shí)，傳播概率約為（）A.50%B.73%C.88%D.95%二、填空題（每題4分，共20分）指數(shù)傳播的現(xiàn)實(shí)修正：某謠言在封閉社群中傳播時(shí)，因人數(shù)上限存在，傳播函數(shù)修正為(y=\frac{1000}{1+99e^{-0.5t}})，則該社群的最大可能傳播人數(shù)為______人。貝葉斯公式應(yīng)用：已知“轉(zhuǎn)發(fā)謠言”行為中，80%來(lái)自謠言信息，20%來(lái)自真實(shí)信息；而平臺(tái)中謠言占比10%。若觀察到一條被轉(zhuǎn)發(fā)的信息，其為謠言的概率是______。傳播路徑長(zhǎng)度：在6個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全圖中，任意兩節(jié)點(diǎn)間的最短傳播路徑長(zhǎng)度為______。方差與謠言波動(dòng)性：某謠言連續(xù)5天的傳播量為[12,18,15,21,14]，則其傳播量的方差為______。分形與謠言裂變：若謠言每次傳播時(shí)，每個(gè)傳播者會(huì)將信息分發(fā)給3個(gè)新接觸者，且每輪傳播后有1/3的人停止轉(zhuǎn)發(fā)，則第3輪新增傳播人數(shù)為______。三、解答題（共50分）謠言傳播的指數(shù)模型與控制（12分）某社交平臺(tái)出現(xiàn)“某飲料含致癌物質(zhì)”的謠言，初始傳播人數(shù)為50人，且滿足指數(shù)增長(zhǎng)模型(N(t)=N_0e^{rt})（t為小時(shí)）。（1）若2小時(shí)后傳播人數(shù)達(dá)到200人，求增長(zhǎng)率r；（4分）（2）平臺(tái)在t=5小時(shí)時(shí)啟動(dòng)謠言攔截，使傳播速度降低50%（即新模型(N'(t)=N(5)e^{0.5r(t-5)})），求攔截后3小時(shí)的傳播總?cè)藬?shù)；（4分）（3）若要將最終傳播人數(shù)控制在1000人以內(nèi)，應(yīng)在幾小時(shí)內(nèi)啟動(dòng)攔截？（4分）網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渑c傳播路徑分析（13分）某初中班級(jí)30名學(xué)生的社交關(guān)系可用鄰接矩陣表示，其中A同學(xué)與B、C、D三位同學(xué)相連，B同學(xué)與A、E相連，C同學(xué)與A、F、G相連，其余同學(xué)互不相連。（1）畫出該網(wǎng)絡(luò)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖；（3分）（2）計(jì)算A同學(xué)的度中心性與介數(shù)中心性；（4分）（3）若A同學(xué)發(fā)布一條謠言，每個(gè)相連節(jié)點(diǎn)在1小時(shí)后轉(zhuǎn)發(fā)，且轉(zhuǎn)發(fā)后不再二次傳播，求謠言傳播至第3小時(shí)的覆蓋人數(shù)。（6分）謠言數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（12分）以下是某謠言在一周內(nèi)的每日傳播量數(shù)據(jù)（單位：次）：[5,12,31,89,205,420,380]（1）繪制該數(shù)據(jù)的折線圖，并指出傳播峰值出現(xiàn)的時(shí)間；（3分）（2）用最小二乘法擬合前5天數(shù)據(jù)的指數(shù)函數(shù)(y=ae^{bt})（t=1,2,3,4,5），計(jì)算a和b的近似值（保留兩位小數(shù)）；（5分）（3）分析第6-7天傳播量下降的可能數(shù)學(xué)原因。（4分）謠言防控的優(yōu)化模型（13分）某市教育局需通過(guò)官方賬號(hào)發(fā)布辟謠信息，已知每條辟謠信息的傳播效果(E)與發(fā)布時(shí)間(t)（小時(shí)）的關(guān)系為(E(t)=-t^2+12t+10)，而謠言傳播強(qiáng)度(S(t)=20e^{0.3t})。（1）求辟謠效果的最大值及對(duì)應(yīng)時(shí)間；（4分）（2）若定義防控效率(K=\frac{E(t)}{S(t)})，求(t=4)時(shí)的防控效率；（3分）（3）為使辟謠效果超過(guò)謠言強(qiáng)度，求發(fā)布辟謠信息的有效時(shí)間區(qū)間（精確到0.1小時(shí)）。（6分）四、開放探究題（共20分）數(shù)學(xué)建模與謠言治理結(jié)合本學(xué)期所學(xué)知識(shí)，完成以下任務(wù)：（1）設(shè)計(jì)一個(gè)包含“傳播者-質(zhì)疑者-免疫者”三類人群的謠言傳播模型（需定義參數(shù)及微分方程組）；（8分）（2）用該模型分析“提高質(zhì)疑者比例”與“降低傳播率”兩種防控手段的效果差異；（6分）（3）舉例說(shuō)明如何用概率統(tǒng)計(jì)方法辨別網(wǎng)絡(luò)謠言中的“數(shù)據(jù)造假”現(xiàn)象。（6分）試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：本題目融合指數(shù)