2025年下學(xué)期高中STEAM教育數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題5分，共30分）建筑美學(xué)中的幾何應(yīng)用：某科技館穹頂采用半橢球形設(shè)計，其長軸長為60米，短軸長為36米。若以長軸所在直線為x軸，中心為原點建立坐標(biāo)系，則該穹頂截面橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.$\frac{x^2}{3600}+\frac{y^2}{1296}=1$B.$\frac{x^2}{900}+\frac{y^2}{324}=1$C.$\frac{x^2}{60}+\frac{y^2}{36}=1$D.$\frac{x^2}{30}+\frac{y^2}{18}=1$環(huán)境監(jiān)測中的數(shù)據(jù)分析：某環(huán)保小組記錄一周內(nèi)PM2.5濃度（單位：μg/m3）為：52,68,75,62,58,70,55。若采用移動平均法預(yù)測次日濃度（取前3天平均值），則預(yù)測值為（）A.61μg/m3B.63μg/m3C.65μg/m3D.67μg/m3橋梁工程中的三角計算：某斜拉橋的主纜呈拋物線形，兩端固定在距橋面高50米的塔柱上，主纜中點距橋面10米，若以橋面中點為原點，建立豎直平面直角坐標(biāo)系，則主纜所在拋物線的解析式為（）A.$y=\frac{1}{100}x^2+10$B.$y=-\frac{1}{100}x^2+10$C.$y=\frac{1}{100}x^2-10$D.$y=-\frac{1}{100}x^2+50$藝術(shù)設(shè)計中的對稱變換：將函數(shù)$y=\sinx$的圖像繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，所得曲線的方程為（）A.$y=-\cosx$B.$y=\cosx$C.$x=\siny$D.$x=-\cosy$機器人路徑規(guī)劃中的概率問題：某倉庫機器人在矩形區(qū)域（長10米，寬6米）內(nèi)隨機移動，其避障傳感器有效范圍為半徑1米的圓形區(qū)域，則機器人觸發(fā)避障警報的概率為（）A.$\frac{\pi}{60}$B.$\frac{\pi}{30}$C.$\frac{\pi}{15}$D.$\frac{\pi}{10}$新能源技術(shù)中的函數(shù)優(yōu)化：某太陽能電池板輸出功率$P$（單位：W）與光照強度$x$（單位：klx）的關(guān)系為$P=-0.5x^2+4x+10$，則最大功率為（）A.14WB.18WC.22WD.26W二、填空題（每題6分，共24分）城市規(guī)劃中的線性規(guī)劃：某社區(qū)需規(guī)劃A、B兩種綠地，A種每平方米造價120元，B種每平方米造價80元，總面積不超過500平方米，且A種面積不少于B種的$\frac{1}{2}$。若總預(yù)算不超過5萬元，設(shè)A種面積為$x$平方米，B種為$y$平方米，則$x$的取值范圍是________。3D打印中的體積計算：某零件由半球和圓柱組合而成，半球半徑為3cm，圓柱高為8cm，則該零件的體積為________cm3（結(jié)果保留π）。音樂頻譜中的三角函數(shù)：某音叉振動產(chǎn)生的聲波函數(shù)為$y=0.02\sin(880\pit+\frac{\pi}{3})$，其中$t$為時間（單位：s），則該聲波的頻率為________Hz（頻率=周期的倒數(shù)）。密碼學(xué)中的數(shù)論應(yīng)用：采用RSA加密算法時，需選擇兩個質(zhì)數(shù)$p=7$，$q=13$，則公鑰參數(shù)$n=pq$=，歐拉函數(shù)$\phi(n)$=。三、解答題（共96分）11.建筑設(shè)計中的幾何綜合（18分）某文化中心擬建一個由正四棱錐和正方體組合而成的雕塑，正方體棱長為4米，正四棱錐底面與正方體上底面重合，頂點距正方體底面8米。（1）求正四棱錐的側(cè)棱長；（2）若在雕塑表面涂覆反光材料，每平方米造價200元，求總費用；（3）為增強穩(wěn)定性，需在正方體內(nèi)部嵌入一個球，求該球的最大體積。12.疫情防控中的統(tǒng)計建模（20分）某中學(xué)為制定復(fù)學(xué)方案，收集了學(xué)生體溫數(shù)據(jù)（單位：℃），經(jīng)整理得頻率分布直方圖如下（組距0.1℃）：![頻率分布直方圖示意：橫軸為體溫，縱軸為頻率/組距，區(qū)間[36.2,36.3)頻率0.05，[36.3,36.4)0.15，[36.4,36.5)0.30，[36.5,36.6)0.25，[36.6,36.7)0.15，[36.7,36.8]0.10]（1）計算體溫在[36.5,36.7)內(nèi)的學(xué)生占比；（2）若全校共3000名學(xué)生，估計體溫低于36.4℃的人數(shù)；（3）若隨機抽取5名學(xué)生，設(shè)體溫正常（36.3~36.7℃）的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望。13.無人機測繪中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（22分）某無人機在距地面200米的高度拍攝矩形農(nóng)田，相機焦距為50mm（即像距50mm），傳感器尺寸為36mm×24mm（長×寬）。（1）已知農(nóng)田實際長為600米，求對應(yīng)像長（單位：mm）；（2）若拍攝區(qū)域在地面坐標(biāo)系中為A(0,0),B(600,0),C(600,400),D(0,400)，無人機位置為(300,200,200)（x,y,z軸分別為東西、南北、豎直方向），求像平面坐標(biāo)系中A點的坐標(biāo)（以像平面中心為原點，x軸向東，y軸向北）；（3）若農(nóng)田中有一直角三角形地塊，兩直角邊實際長度為300米和400米，求其在像平面上的投影面積（單位：mm2）。14.可持續(xù)發(fā)展中的優(yōu)化問題（20分）某農(nóng)場計劃種植甲、乙兩種作物，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：作物每畝成本（元）每畝產(chǎn)量（kg）市場價格（元/kg）用水量（m3/畝）甲12005003.6200乙18003006.0300農(nóng)場現(xiàn)有資金15萬元，灌溉水源限制為3萬m3，耕地面積不限。（1）設(shè)種植甲、乙作物分別為x,y畝，寫出利潤函數(shù)$L(x,y)$的表達(dá)式；（2）求最大利潤及對應(yīng)的種植方案；（3）若每噸產(chǎn)量需碳排放權(quán)200元，重新計算最大利潤（精確到百元）。15.航天工程中的圓錐曲線應(yīng)用（18分）某衛(wèi)星繞地球做橢圓軌道運動，近地點距地心6700km，遠(yuǎn)地點距地心26700km，地球半徑取6400km。（1）求橢圓軌道的離心率；（2）若衛(wèi)星在近地點速度為8km/s，利用開普勒第二定律（面積速度恒定）求遠(yuǎn)地點速度；（3）當(dāng)衛(wèi)星運行至短軸端點時，求其到地球表面的距離。四、項目式探究題（20分）16.校園雨水花園設(shè)計為解決校園內(nèi)澇問題，學(xué)校擬建造一個雨水花園，需完成以下任務(wù)：（1）地形測繪：用測角儀測得花園邊緣兩點A、B間距離為20米，在A點測得B點的俯角為15°，求A、B兩點的高度差（精確到0.1米）；（2）排水建模：雨水花園蓄水容量$V$（單位：m3）與水深$h$（單位：m）的關(guān)系為$V=0.5h^3+2h^2$，若某次降雨后水深1.2米，求1小時內(nèi)排水量（單位：m3/h）（提示：$\frac{dV}{dt}=3h^2\frac{dh}{dt}+4h\frac{dh}{dt}$，實測$\frac{dh}{dt}=-0.05$m/h）；（3）生態(tài)優(yōu)化：花園中種植水生植物，其存活率$S$與土壤pH值$x$的關(guān)系為$S(x)=-0.1x^2+2.2x-7.8$，求最佳pH值及對應(yīng)存活率。（全卷共150分，考試時間120分鐘）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（另附）：1-6：BCBDAC7.[166.7,250]8.108π9.44010.91,7211.（1）$2\sqrt{17}$米；（2）12800元；（3）$\frac{32}{3}\pi$米312.（1）40%；（2）600人；（3）4.213.（1）30mm；（2）(-18,-12)