第01講二次根式一．二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”稱為二次根號②a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；學(xué)習(xí)要求：理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．二．二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．學(xué)習(xí)要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題．【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．三、二次根式的性質(zhì)①≥0；a≥0（雙重非負(fù)性）．②性質(zhì)1：；a拓展到實數(shù)范圍內(nèi)：＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）③性質(zhì)2：（）2＝a（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．題型講解題型1：二次根式的概念1．下列各式一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．下列各式中，是二次根式的有（

）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型2：二次根式有意義的條件4．若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．若二次根式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．式子有意義的條件是（

）A． B． C． D．且題型3：二次根式的性質(zhì)17．的化簡結(jié)果是（

）A． B．2 C． D．48．用一個x的值來說明“”是錯誤的，則x的值可以是．題型4：二次根式的性質(zhì)29．________．10．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．511．計算的結(jié)果為．12．下列各式成立的是（

）．A． B． C． D．13．已知，那么a應(yīng)滿足什么條件（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)任何實數(shù)題型5：化簡二次根式14．計算：

15．計算：．題型6：根據(jù)二次根式的化簡結(jié)果求參數(shù)范圍16．若，則b滿足的條件是()17．若，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型7：由參數(shù)范圍化簡二次根式18．若，化簡二次根式．19．當(dāng)時，代數(shù)式的值是．20．當(dāng)時，化簡的結(jié)果是．題型8：由數(shù)軸確定參數(shù)范圍，從而化簡二次根式21．如圖，數(shù)軸上點、表示的數(shù)分別為、，化簡：．

22．如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，化簡：．題型9：二次根式非負(fù)性的代數(shù)應(yīng)用23．已知，則x+y的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．524．已知是有理數(shù)，且，則化簡的結(jié)果為．25．已知則的值為（

）A． B． C． D．12題型10：由二次根式的值確定參數(shù)（含最值問題）26．已知二次根式的值為4，則．27．已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為（

）A．4 B．6 C．7 D．1428．已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．8題型11：二次根式的幾何應(yīng)用（挖掘幾何中的隱含條件）29．閱讀下面的解題過程體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題：化簡：解：隱含條件，解得：∴，∴原式【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，隱含的條件是：x______．（2）按照上面的解法，試化簡．【類比遷移】（3）已知a，b，c為的三邊長．化簡：．30．閱讀理解：我們解決某些數(shù)學(xué)題的時候，經(jīng)常會遇到題目中的條件比較含糊，它們常常巧妙地隱蔽在題設(shè)的背后，不易被發(fā)現(xiàn)和運用，導(dǎo)致我們解題受阻，因此，挖掘題設(shè)中的隱含條件，應(yīng)該成為我們必備的一種能力．請閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件，并依次解決所給的問題．化簡：解：由題意可知隱含條件解得：，∴，∴．啟發(fā)應(yīng)用：（1）按照上面的解法，化簡：；類比遷移：（2）已知的三邊長分別為，，，請求出的周長．（用含有的代數(shù)式表示，結(jié)果要求化簡）拓展延伸：（3）若，請直接寫出的取值范圍．課堂測一、單選題1．下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．若有意義，則的取值范圍是（

）A．≤ B．≥ C．﹥0 D．<-13．二次根式的值是（

）A．8 B． C．64 D．8或4．下列運算中，正確的是（

）A． B． C． D．5．已知二次根式的值為4，那么x的值是（

）A．4 B．16 C． D．6．下列各式中，正確的數(shù)有幾個（

）①=，②=a，③=，④=x-2A．1 B．2 C．3 D．47．已知=0，則x為（

）A．x>3 B．x<－3 C．x=－3 D．x的值不能確定8．若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．x<9．若a、b、c為三角形的三條邊，則+|b-a-c|=(

).A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c10．當(dāng)時，______．A．0 B．6 C． D．二、填空題11．當(dāng)x時，有意義；當(dāng)x時，有意義．12．化簡：＝．13．若，則．14．化簡．15．當(dāng)m＝時，二次根式取到最小值．16．已知與互為相反數(shù)，則的值為．17．若，其中a，b均為整數(shù)，則．18．觀察下列各式的規(guī)律：①；②；③若，則．三、解答題19．下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?，，,(x>0)，，-，，(x≥0，y≥0).20．求下列二次根式中字母x的取值范圍．(1)．(2)．(3)．(4)．21．計算下列各式；（1）

（2）

（3）

（4）（5）

（6）

（7）22．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．23．若實數(shù)a，b，c滿足|a-|+=+．（1）求a，b，c；（2）若滿足上式的a，c為等腰三角形的兩邊，求這個等腰三角形的周長．24．當(dāng)時，求的值．如圖是小亮和小芳的解答過程：(1)______的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確運用二次根式的性質(zhì)：______；(3)當(dāng)時，求的值．25．已知三條邊的長度分別是，，，記的周長為．(1)當(dāng)時，的周長__________（請直接寫出答案）．(2)請用含的代數(shù)式表示的周長（結(jié)果要求化簡），并求出的取值范圍．如果一個三角形的三邊長分別為，，，三角形的面積為，則．若為整數(shù)，當(dāng)取得最大值時，請用秦九韶公式求出的面積．

第02講最簡二次根式和同類二次根式一、二次根式的性質(zhì)（續(xù)）①二次根式的性質(zhì)3＝?（a≥0，b≥0）即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.②二次根式的性質(zhì)4＝（a≥0，b＞0）即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.二、二次根式的化簡（續(xù)）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法1．常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合．2．解題方法：（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡．（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果．（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．三、最簡二次根式（1）被開方數(shù)不含有分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.要點：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.四、同類二次根式1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.【規(guī)律方法】(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號外的因式無關(guān).2.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運算中的合并同類項類似)【規(guī)律方法】(1)根號外面的因式就是這個根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.題型講解題型1：最簡二次根式1．下列各式中最簡二次根式是（

）A． B． C． D．2．下列式子為最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．在二次根式，，，，，中，最簡二次根式個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．下列二次根式中，不是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．題型2：符合最簡二次根式的條件5．二次根式因為不符合最簡二次根式的條件：，所以它不是最簡二次根式．6．二次根式因為不符合最簡二次根式的條件：，所以它不是最簡二次根式．題型3：根據(jù)二次根式的性質(zhì)1—性質(zhì)4化簡二次根式為最簡二次根式7．把下列二次根式化為最簡二次根式：(1)；(2)；(3)．8．化簡：(1)；(2)；(3)．9．化簡以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．10．化簡：11．12．將下列式子化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)．題型4：復(fù)合二次根式的化簡13．已知a、b為有理數(shù)，且滿足，則等于（）A． B． C．2 D．414．有這樣一類題目，例如：．請仿照上例化簡下列各式：(1)；(2)．15．已知=7，則+=．16．閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得化簡．例如：∵，∴請你仿照上例解下面問題:(1)(2)(3)當(dāng)時，請化簡：．題型5：根據(jù)復(fù)合二次根式的化簡求參數(shù)范圍17．若，則的取值范圍是．18．若，那么x的取值范圍是．題型6：同類二次根式19．在二次根式中，與是同類二次根式的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．420．下列二次根式中，如果與是同類二次根式，那么這個根式是（

）A． B． C． D．21．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．22．在根式中，同類二次根式有（

）組①和；②和；③和；④和；⑤和A．1 B．2 C．3 D．4題型7：求能與已知二次根式合并的二次根式23．下列根式中能與合并的是（

）A． B． C． D．24．下面能與合并的二次根式的是（

）A． B． C． D．25．在二次根式，，，，中，能與合并的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個26．下列說法正確的是（

）A．與可以合并 B．與可以合并C．與可以合并 D．與可以合并題型8：根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的概念求參數(shù)（含最值問題）27．若二次根式與最簡二次根式能合并，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．328．如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是（

）A．3 B． C．1 D．029．若最簡二次根式與是同類根式，則．30．若最簡二次根式和可以合并，則．31．已知最簡二次根式與，可以合并，則＝．32．如果與是同類二次根式，那么滿足條件的中最小整數(shù)是.33．最簡根式與能是同類根式嗎？若能，求出、的值；若不能，請說明理由.題型9：合并同類二次根式34．計算：35．合并下列各式中的同類二次根式：(1)；(2)；(3)；(4)．課堂測一、單選題1．下列二次根式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．2．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是

（

）A． B． C． D．3．在下列各組根式中，是同類二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和4．下列說法中，正確的是（

）A．被開方數(shù)不同的二次根式一定不是同類二次根式B．只有被開方數(shù)完全相同的二次根式才是同類二次根式C．與是同類二次根式D．與是同類二次根式5．二次根式與是同類二次根式，則x的最小正整數(shù)為（）A． B． C． D．6．如果最簡根式和是同類根式,那么a,b的值是（

）A．a(chǎn)=1，b=2 B．a(chǎn)=1，b=1 C．a(chǎn)=-1，b=2 D．a(chǎn)=2，b=137．下列等式成立的個數(shù)為（

）①.②.

③.④.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．化簡二次根式得（

）A． B． C． D．9．下列四個式子中，與的值相等的是（

）A． B． C． D．10．設(shè)，且x、y、z為有理數(shù)．則xyz＝（

）A． B． C． D．二、填空題11．二次根式、中與是同類二次根式的是．12．在二次根式；；；；；；中是最簡二次根式的是．13．若兩個最簡二次根式，與是同類二次根式，則．14．若最簡二次根式和是同類根式,則使有意義的的取值范圍為.15．將式子﹣（m﹣n）化為最簡二次根式．16．已知，化簡二次根式的正確結(jié)果是17．若，化簡=．18．整數(shù)的取值范圍是，若與是同類二次根式，則三、解答題19．分別求出滿足下列條件的字母a的取值：(1)若最簡二次根式與﹣是同類二次根式；(2)若二次根式與﹣是同類二次根式．20．把下列二次根式化為最簡二次根式：(1)(2)(3)(4)21．化簡：(1)；(2)；(3)．22．把下列各式化成最簡二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．23．如果最簡二次根式與是同類二次根式．(1)求出a的值；(2)若a≤x≤2a，化簡：|x﹣2|+．24．先化簡，再求值：，其中．如圖是小亮和小芳的解答過程．(1)______的解答過程是錯誤的（填“小亮”或“小芳”）；(2)錯誤的解答過程原因在于未能正確地運用二次根式的性質(zhì)：______（請用符號語言表達）；(3)先化簡，再求值：，其中．25．定義：若兩個二次根式、滿足，且是有理數(shù)，則稱與是關(guān)于的共軛二次根式．（1）若與是關(guān)于的共軛二次根式，則；（2）若與是關(guān)于的共軛二次根式，求的值．26．觀察下列各式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，（1）填空：，；（2）計算（寫出計算過程）：；（3）請用含正整數(shù)的代數(shù)式把你們所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來.

第03講二次根式的乘除活動一：計算：（1）×＝，＝；（2）×＝，＝；（3）×＝，＝．你有什么發(fā)現(xiàn)？請與同學(xué)交流．一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根1.法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.【方法規(guī)律】(1)在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).(2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.2.積的算術(shù)平方根（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.【方法規(guī)律】(1)在這個性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號外面.活動二：（1），＝；（2），＝；（3），＝；（4），＝．比較上述各式，你猜想到什么結(jié)論？二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除..【方法規(guī)律】(1)在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號.2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.【方法規(guī)律】運用此性質(zhì)也可以進行二次根式的化簡，運用時仍要注意符號問題.題型講解題型1：二次根式的乘法-數(shù)字型1．計算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．計算：＝_________．題型2：二次根式的乘法-字母型及復(fù)合型3．計算：__________．4．下列計算正確的是(

)A． B．C． D．A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不對5．計算（2）（）的結(jié)果是（

）題型3：二次根式的乘法法則成立的條件6．要使等式成立的x的值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32題型4：二次根式的除法-數(shù)字型7．計算：＝___．8．計算：＝_____．9．計算：÷＝_____．題型5：二次根式除法法則成立的條件10．能使成立的x的取值范圍是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞211．使等式成立的條件時，則的取值范圍為___．12．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序號）．題型6：二次根式的除法-字母型及復(fù)合型13．計算：＝____．14．計算：＝___．15．計算：_________．16．計算：=______

=______17．當(dāng)時，化簡_________________．題型7：二次根式的乘除法-數(shù)字型18．下列運算錯誤的是（

）A． B． C． D．19．計算：＝___．題型8：二次根式的乘除法-字母型及復(fù)合型20．下列結(jié)論中，對于實數(shù)、，成立的個數(shù)有（

）①；

②；

③；

④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個21．計算：（）A． B． C． D．22．計算：（1）（2）（3）（4）（5）．23．計算:（1）;（2）;（3）題型9：二次根式乘除的實際應(yīng)用24．若一個長方體的長為，寬為，高為，則它的體積為_______．25．站在豎直高度的地方，看見的水平距離是，它們近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山頂，那么他看到的水平距離是________.課堂測一、單選題1．下列計算正確的是（

）．A． B． C． D．2．下列各數(shù)中，與的乘積為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．計算=(

)A． B． C． D．4．計算的結(jié)果是（

）．A．60 B．15 C．6 D．355．下列各運算，正確的是（

）A． B．C． D．6．已知長方形的面積為，其中一邊長為，則另一邊長為（

）A． B． C． D．7．若成立．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．式子的值是（

）A．9b B． C． D．9．給出三個算式：①；②；③.其中正確的算式有(

)A．個 B．個 C．個 D．個10．在算式中，你估計哪一個因數(shù)值減小1導(dǎo)致乘積減小最大（

）A． B． C． D．二、填空題11．計算；（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；

（6）．12．計算的結(jié)果是．13．若成立，則x的取值范圍是．14．如果，那么下列各式，①；②；③，④，正確的有．15．設(shè)，，則=(結(jié)果用m，n表示).16．已知：，則．17．我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長為、、，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為，，時，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是．18．當(dāng)時，化簡．三、解答題19．計算：．20．計算：；21．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．22．計算：(1)；(2)．23．化簡：24．小東在學(xué)習(xí)了=后，認(rèn)為=也成立，因此他認(rèn)為一個化簡過程：是正確的．你認(rèn)為他的化簡對嗎？說說理由．25．填空（可用計算器計算）：___________，___________；___________，___________；___________，___________；___________，___________．比較左右兩邊的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用字母表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？26．隨著我國科技不斷進步，航天事業(yè)逐漸進入高速發(fā)展時代．2018年1月9日11點24分，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長征二號丁運載火箭以一箭雙星的方式，成功將高景一號03、04星送入預(yù)定軌道，與同軌道的高景一號01、02星組網(wǎng)運行．這標(biāo)志著我國首個0.5米高分辨率商業(yè)遙感衛(wèi)星星座首期正式建成，實現(xiàn)新年開門紅．二次根式的乘法在生活和高科技領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，在“長征二號”運載火箭中要將某一長方形部件變化成等面積的一個圓形，已知長方形的長是，寬是，則圓的半徑應(yīng)是多少？27．先來看一個有趣的現(xiàn)象：，這里根號里的因數(shù)2經(jīng)過適當(dāng)?shù)难葑儯?竟“跑”到了根號的外面，我們不妨把這種現(xiàn)象稱為“穿墻”，具有這一性質(zhì)的數(shù)還有許多，如：，等等．(1)①請你寫一個有“穿墻”現(xiàn)象的數(shù)；②按此規(guī)律，若（a，b為正整數(shù)），則的值為______；(2)你能只用一個正整數(shù)n（）來表示含有上述規(guī)律的等式嗎？證明你找到的規(guī)律．

第04講二次根式的加減及混合運算1.二次根式的加減二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合并.對于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.即：；【方法規(guī)律】（1）在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則仍然適用.（2）二次根式加減運算的步驟：1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；3)合并同類二次根式.2.分母有理化思考：把代數(shù)式和中分?jǐn)?shù)線下的式子看作分母，前一個分母是根式，后一個分母是整式，這兩個分母之間有什么關(guān)系？怎樣把轉(zhuǎn)化為3b?把的分?jǐn)?shù)線上，下兩式看作兩個數(shù)相除，利用除法的性質(zhì)以及根式乘法的法則可得把分母中的根號化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法：一般是把分子和分母都乘以同一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號。有理化因式思考：利用平方差公式，得兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式。如與互為有理化因式；與也互為有理化因式。4.二次根式的混合運算二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.【方法規(guī)律】(1)二次根式的混合運算順序與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的；(2)在實數(shù)運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；(3)二次根式混合運算的結(jié)果要寫成最簡形式.5.二次根式的比較大小能化簡成同類二次根式的，化簡后比較系數(shù)，系數(shù)大的二次根式就大；不能化簡成同類二次根式的：正數(shù)大于負(fù)數(shù)；同為正數(shù)時，進行平方運算，結(jié)果大的二次根式就大；6．二次根式的應(yīng)用把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．題型講解題型1：二次根式的加減法-數(shù)字型1．的計算結(jié)果是（

）A．5B．C． D．2．化簡：______．3．計算：______．題型2：二次根式的加減法-字母型4．計算：（1）________；

（2）_________．5．計算；（1）________；（2）________．6．計算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是________．7．的值一定是（

）A．正數(shù) B．非正數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．負(fù)數(shù)題型3：二次根式的混合運算-數(shù)字型8．計算：_____________．9．計算：（

）A．4 B．5 C．6 D．810．計算：________．11．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．12．計算：______．13．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．題型4：分母有理化14．計算：______．15．計算：．16．計算：17．化簡：；題型5：有理化因式18．的一個有理化因式是（

）A． B． C． D．19．的有理化因式是（

）A． B． C． D．20．下列式子中，是的有理化因式的是（

）A． B． C． D．21．寫出2﹣n的一個有理化因式：．題型6：分母有理化的代數(shù)應(yīng)用22．式子的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．23．已知則a與b的關(guān)系是(

)A．互為相反數(shù) B．互為倒數(shù) C．相等 D．互為負(fù)倒數(shù)24．甲，乙兩同學(xué)對代數(shù)式(m＞0，n＞0)分別作了如下變形：甲：；乙：．關(guān)于這兩種變形過程的說法正確的是()A．甲，乙都正確 B．甲，乙都不正確C．只有甲正確 D．只有乙正確25．若a＝，b＝2+，則的值為（）A． B． C． D．題型7：二次根式的大小比較26．請用“，，”符號比較大小：__________．27．比較大?。篲_____；化簡：＝______．28．比較大?。海?）_________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．題型8：二次根式的混合運算-字母型及復(fù)合型29．若m，n為有理數(shù)，且，則mn=_____.30．若a、b為有理數(shù)，且，則________，________．31．已知，則（

）A． B． C． D．32．已知：，，則的值為（

）A．5 B．-5 C．25 D．5或-533．已知，，則______．題型9：二次根式的混合運算與分式34．先化簡，再求值：，其中．35．已知，則的值．36．先化簡，再求值：已知a＝，求的值．題型10：復(fù)雜的二次根式混合運算37．計算：．38．計算：(1)；(2)．39．40．計算：（1）；（2）．題型11：二次根式混合運算的代數(shù)、幾何應(yīng)用41．一個長方形的長和寬分別是和，這個長方形的長與寬的和=________．42．解不等式：43．解不等式：；44．如圖是一個簡單的數(shù)值運算程序，若輸入x的值為的小數(shù)部分，則輸出的數(shù)值為_________．45．宋代數(shù)學(xué)家秦九韶，古希臘數(shù)字家海倫在探究三角形面積的求解過程中發(fā)現(xiàn)，若一個三角形的三邊長分別為，，，設(shè)，則這個三角形面積為：，并進行了嚴(yán)格證明，這個公式叫海倫秦九韶公式，當(dāng)，，時，三角形邊上的高等于（

）A． B． C． D．46．若＝2.5，則的值為___