考向39隨機(jī)事件的概率

與古典概型

y經(jīng)典題型啟

經(jīng)典題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

經(jīng)典題型二：頻率與概率

經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件

經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計(jì)算概率

經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題

經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問題

經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問題

經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問題

經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問題

經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

經(jīng)典題型十一：有放回與無放回問題的概率

經(jīng)典題型十二：概率的基本性質(zhì)

（2023?全國?高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

11）2

A-6B-3C￡D.§

答案：D

【解析】從2至8的7個整數(shù)中障機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

故所求概率夕=321--72

故選:D.

（2023?全國?高考真題（文））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率

為.

3

答案：-

【脩析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙,3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率2=而.

故答案為：得.

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率

我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)，常用字母E表示.

我們感興趣的是具畬以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：

（I）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；

（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.

知識點(diǎn)2、樣本空間

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，一

般地，用.C.表示樣本空間，用口表示樣本點(diǎn)，如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有〃個可能結(jié)果幼，g,…，①”,

則稱樣本空間C=｛例,傷，??，◎〃｝為有限樣本空間.

知識點(diǎn)3、隨機(jī)事件、確定事件

（1）一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個隨機(jī)事件都可以用這個試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，

我們將樣本空間。的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅

當(dāng)A中某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.

（2）C作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Q總會發(fā)生，

我們稱Q為必然事件.

（3）空集0不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱為0為不可能事件.

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機(jī)事件的確定事件.

知識點(diǎn)4、事件的關(guān)系與運(yùn)算

①包含關(guān)系：一般地，對于事件A和事件8,如果事件A發(fā)生，則事件8一定發(fā)生，這時(shí)稱事件8包

含事件A（或者稱事件A包含于事件4）,記作52A或者AqB.與兩個集合的包含關(guān)系類比，可用下圖

表不：

不可能事件記作。，任何事件都包含不可能事件.

②相等關(guān)系：一般地，若8二工且稱事件A與事件8相等.與兩個集合的并集類比，可用下圖

表示：

③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件4發(fā)生，則稱此事件為事件4與事件4

的并事件（或和事件），記作AUB（或A+8）.與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件2發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件8

的交事件（或枳事件），記作AC8（或4；）.與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：

_C___Z___H___D_n

知識點(diǎn)5、互斥事件與對立事件

（1）互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件A和事件8不能同時(shí)發(fā)生，即8=0,則稱事件人與事件8互

斥，可用下圖表示：

如果A，4....人中任何兩個都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A，.4”彼此互斥.

（2）對立事件：若事件A和事件8在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個發(fā)生，即AJA=O不發(fā)生,

AT3=0則稱事件A和事件“互為對立事件，事件A的對立事件記為入.

(3)互斥事件與對立事件的關(guān)系

①互斥事件是不可■能同時(shí)發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者

之一必須有一個發(fā)生.

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件,

而“對立”則是“互斥''的充分不必要條件.

知識點(diǎn)6、概率與頻率

(1)頻率：在〃次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)左稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)Z與總次數(shù)〃的比

值七，叫做事件A發(fā)生的頻率.

n

(2)概率：在大量重復(fù)盡心司一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率4總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺

n

動，這時(shí)，就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

(3)概率與頻率的關(guān)系：咐于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率4隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定

n

于概率0(A),因此可以用頻率4來估計(jì)概率夕(A).

n

知識點(diǎn)7、隨機(jī)事件的概率

對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

知識點(diǎn)8、古典概型

(1)定義

一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；

②等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)石是古典概型，樣本空間C包含〃個樣本點(diǎn)，事件A包含其中的&個樣本點(diǎn)，則定義

nn(Q)

知識點(diǎn)9、概率的基本性質(zhì)

(1)對于任意事件A都有：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率為1,即尸(C)=l；不可能事概率為0,即P(0)=O.

(3)概率的加法公式：若事件A與事件5互斥，則尸(AU8)=P(A)+a8).

推廣：一般地，若事件A，…，兒彼此互斥，則事件發(fā)生(即A，&,…，A”中有一個發(fā)生)

的概率等于這〃個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P(A+4+...+4)=P(A)+P(4)+...+P(An).

(4)對立事件的概率：若事件A與事件8互為對立事件，則P(A)=1-P(8),P(8)=1-P(A),且

P(AR)=P(A)+P(B)=\.

(5)概率的單調(diào)性：若AqB,則P(A)WP(8).

(6)若A,8是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個事件，則P(AjA)=P(A)+P(4)-P(AnB).

I、解決古典概型的問題的關(guān)健是：分清基本事件個數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因此要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗(yàn)是否具有等可能性：

(2)本試驗(yàn)的基本事件有多少個：

⑶事件A是什么.

2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件4；

(3)分別求出基本事件的個數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)，〃：

(4)利用公式P(A)=從包卷孽個數(shù)求出事件A的概率.

基本事件的總數(shù)

3、解題方法技巧：

(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和.

②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法.

-經(jīng)--典--題---型練)

經(jīng)典題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

1.(2U23?浙江省桐廬中學(xué)島二階段練習(xí))拋擲?枚質(zhì)地均勻的正方體散于，若事件A=''向.卜.的點(diǎn)數(shù)為3”,

6=”向上的點(diǎn)數(shù)為6"，C="向上的點(diǎn)數(shù)為3或6”，則有()

A.AQBB.CjBC.AV\B=CD.AJB=C

2.(2023?全國?高三專題練習(xí)(文))一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中

任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：

事件4恰有一件次品；

事件&至少有兩件次品；

事件C至少有一件次品；

事件D至多有一件次品.

并給出以下結(jié)論：

①川B=c；②3。是必然事件；③AB=C；?AD=C.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.@?C.①③D.②③

3.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)4="兩

次都擊中飛機(jī)"，8="兩次都沒擊中飛機(jī)"，C=”恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，。="至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，

下列關(guān)系正確的是（）

A.AQDB.800=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

經(jīng)典題型二：頻率與概率

4.（多選題）（2023?全國?高三專題練習(xí)）支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴(yán)重的影響.某醫(yī)

院老年患者治愈率為20%,中年患者治愈率為30%,青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者,

50（］名中年患者，400名青年患者，則（）

A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人

4

B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為同

C.該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%

D.該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，由小到大排列，分成8個小組，如下表所示：

組號12345678

頻數(shù)101314141513129

第3組的頻率和累積頻率分別為（）

??36

A.0.14,0.37B.——?—C.0.03?0.06D.——，—

14271437

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%,乙校成績的優(yōu)

秀率為35%,現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績放到?起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%,乙校參加考試的人

數(shù)占總數(shù)的60%,現(xiàn)從中任取一人學(xué)生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（）

A.0.165B.0.16C.0.32D.0.33

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)定：甲、乙兩人同時(shí)擲骰子，若甲擲兩次骰子的點(diǎn)

數(shù)之和小于6,則甲得一分；若乙擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于〃?，則乙得一分，最先得到10分者獲勝.為確

保游戲的公平性，正整數(shù)〃［的值應(yīng)為（）

A.6B.7C.8D.9

8.（2023?全國?高一專題練習(xí)）某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了了解本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機(jī)抽出的200

名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查中使用了下面兩個問題：

問題一：你的父親陽歷生日日期是不是奇數(shù)？

問題二：你是否經(jīng)常吸煙？

調(diào)查者設(shè)計(jì)了一個隨機(jī)化裝置：一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全?樣的50個白球和50個紅球的袋子，每

個被調(diào)查者隨機(jī)從袋子中摸取1個球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個問題，摸

到紅球的學(xué)牛如實(shí)回答第二個問即回答“星”的人往一個盒子中放一個小石子，回簾，否”的人什么都不要做，

如果一年按365天計(jì)算，且最后盒子中有60個小石子，則可以估計(jì)出該地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比為（）

A.7%B.8%C.9%D.30%

經(jīng)典題型三：互斥事件與對立事件

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）“黑匣子”是飛機(jī)專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個，為駕駛艙語音記

錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進(jìn)行相關(guān)課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記

錄器”，事件A為“至少研究一個黑厘子”，事件。為“至多研究一個黑厘子”，事件Q為“兩個黑厘子都研究”.

則（）

A.A與C是互斥事件B.B與。是對立事件

C.B與C是對立事件D.。與。是互斥事件

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)靶子上的環(huán)數(shù)取1~10這1（）個正整數(shù)，脫靶計(jì)為。環(huán).某人射擊一次，設(shè)

事件人=“中靶"，事件4="擊中環(huán)數(shù)大于5”，事件。="擊中環(huán)數(shù)大于1且小于6"，事件。="擊中環(huán)數(shù)大

于0且小于6”，則下列關(guān)系正確的是（）

A.8與C互斥B.8與C互為對立

C.A與?；閷α.A與?；コ?/p>

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）從I,2,3,4,5,6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，下列兩個事件為對立事件的

是（）

A.“至多有一個是偶數(shù)”和“至多有兩個是偶數(shù)”

B.“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”

C.，，至少有一個是奇數(shù)，，和，，全都是偶數(shù)，，

D.“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”

經(jīng)典題型四：利用互斥事件與對立事件計(jì)算概率

12.（2023?江蘇?南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí)）甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊一次，己知甲命中目標(biāo)的概

率為0.6,乙命中目標(biāo)的概率為0.5,已知目標(biāo)至少被命中1次，則乙命中目標(biāo)的概率為.

13.（2023?湖北?天門市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測）為落實(shí)國務(wù)院提出的“雙減”政策，某校在課后服務(wù)時(shí)

間開展了豐富多彩的興趣小組活動，其中有個課外興趣小組制作了一個正十二面體模型，并在十二個面分

別雕刻了十二生肖的圖案，作為2022年春節(jié)的吉祥物，2個興趣小組各派一名成員將模型隨機(jī)拋出，兩人

都希望能拋出虎的圖案朝上，寓意虎虎生威.2人各拋一次，則在第一人拋出虎的圖案朝上時(shí)，兩人心愿均

能達(dá)成的概率為.

14.（2023?全國-高三專題練習(xí)）產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)過程主要包括進(jìn)貨檢驗(yàn)（IQC）,生產(chǎn)過程檢驗(yàn)（1PQC）,

出貨檢驗(yàn)（OQC）三個環(huán)節(jié).已知某產(chǎn)品/QC單獨(dú)通過率為/PQC單獨(dú)通過率為規(guī)定上一

類檢驗(yàn)不通過則不進(jìn)入卜.一類檢驗(yàn)，未通過可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次（修復(fù)后無需從頭檢驗(yàn)，通過率不變且每

類檢驗(yàn)最多兩次），且各類檢驗(yàn)間相互獨(dú)立.若該產(chǎn)品能進(jìn)入。QC的概率為。，則〃=.

O

15.（2023?湖南長沙?高三階段練習(xí)）已知事件A,5,且P（A）=0.5,P（B）=0.2,如果A與8互斥,令洲=P（網(wǎng);

如果A與8相互獨(dú)立，令〃=P（旃），貝=.

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知某電腦賣家只賣甲、乙兩個品牌的電腦，其中甲品牌的電腦占70%,

甲品牌的電腦中，優(yōu)質(zhì)率為80%；乙品牌的電腦中，優(yōu)質(zhì)率為90%,從該電腦賣家中隨機(jī)購買一臺電腦，

則買到優(yōu)質(zhì)電腦的概率為.

17.（2023?江蘇淮安?一模）集合4=億3},8={1,2,3},從A,8中各任意取一個數(shù)，則這兩個數(shù)之和

等于4的概率是__________.

經(jīng)典題型五：簡單的古典概型問題

18.（2023?云南師大附中高三階段練習(xí)）甲和乙玩紙牌游戲，已知甲手中有2張10,4張3,乙手里有4

張5和6張2,現(xiàn)從兩人手中各隨機(jī)抽取兩張牌并交換給對方，則交換之后甲手中牌的點(diǎn)數(shù)之和大于乙手中

牌的點(diǎn)數(shù)之和的概率為（）

19.（2023?廣西南寧?高三階段練習(xí)（文））設(shè)有5個大小和質(zhì)地相同的小球，其中甲袋中裝有標(biāo)號分別為

1,2的兩個小球，乙袋中裝有標(biāo)號分別為1,2,3的三個小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個小球，則這兩

小球標(biāo)號之和為4的概率為（）

20.（2023?浙江?高三階段練習(xí)）某小組九名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的得分（單位：分）如下：83,84,

86,86,87,88,90,93,96,這九人成績的第70百分位數(shù)是h若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分一

個比太高，另一個比女低的概率為（）

1八7_I、7

A.-B.—C.-D.—

318212

21.（2023?廣西?模擬預(yù)測（理））4個人排成一排，則甲不站兩邊的概率為（）

A.—B.-C.~D.—

4324

經(jīng)典題型六：古典概型與向量的交匯問題

22.（2023?山東淄博?二模）正2022邊形44內(nèi)接于單位圓任取其兩個不同頂點(diǎn)A、4，則

|。4+。&卜1的概率是（）

A竺B”_674673

D.

"2021'2021,20212021

23.（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））已知〃?，〃為整數(shù)，且孫次［1,5］,設(shè)平面向量加,〃）與）=（2,T）的

夾角為。，則乃J的概率為（

)

6

D.

B-25

24.（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知點(diǎn)A（l,0）,在圓爐+y2=］上任取

一點(diǎn)尸，則OVOPwg的概率為（）

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））已知0為sABC內(nèi)的一點(diǎn)，滿足。4+208+（1+4）OC=0,K；.OAB

的面積與AOBC的面積之比為3:1,若在，A8C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自.OAC的概率為（）

A.-B.-C.1D.I

6323

26.（2023?江西?九江市柴桑區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，在aABC中，D,E是AB邊上兩點(diǎn),

8M=2MC，且,小必，AEDW,4AEM,A4CM的面積成等差數(shù)列.若在一A8C內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該

點(diǎn)取自八AEM的概率是（）

A

27.（2023?湖南?高三階段練習(xí)（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為正十邊形A&&…A。的中

心，A在X軸正半軸上，任取不同的兩點(diǎn)4、Aj（其中，1<47<10,且ieN,jeN）,點(diǎn)P滿足

經(jīng)典題型七：古典概型與幾何的交匯問題

28.（2023?石南師大附中高三階段練習(xí)（文））正多面體是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各

個多面角都是全等的多面角.在古希臘已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正多面體有且僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八

面體、正十二面體和正二十面體、如圖，有一個棱長為2的正八面體（每一個面都是正三角形），其六個頂

點(diǎn)都在球。的球面上，在球。內(nèi)任選一個點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正八面體內(nèi)部的概率是（）

E

29.（2023?寧夏?吳忠中學(xué)三模（文））有一個底面圓的半徑為1,高為2的圓柱，點(diǎn)分別為這個圓

柱上底面和下底面的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)GQ的距離都大于1的概率為（）

30.（2023?山西?模擬預(yù)測（文））如圖，棱長為2的正方體A8C?！?4Gs.E,尸分別為棱A比的

中點(diǎn)，過￡,F,用二點(diǎn)作正方體的截面，點(diǎn)，是該截面內(nèi)（工意一點(diǎn)，則點(diǎn)〃在△石廠片內(nèi)的概率為（）

31.（2023?陜西咸陽?二模（理））魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩

個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋''（如圖），通過計(jì)算得知正方體的體積與“牟合方蓋''的

體積之比為3：2.若在該正方體的外接球內(nèi)任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自“牟合方蓋”內(nèi)的概率為（）

A6

A.------

71

32.（2023?吉林?東北師大附中模擬預(yù)測（文））在棱長為4的正方體內(nèi)任取一點(diǎn)，則這個點(diǎn)到該正方體的

中心距離不超過1的概率為（）

33.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在《九章算術(shù)?商功》中，把四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉嚅.

若從鱉席的六條棱中任取兩條棱，則它們互相垂直的概率是A；若從鱉席的六條棱和四個面中取一條棱和

一個面（要求棱不在面上），則它們互相垂直的概率是若從鱉脯的四個面中任取兩個面，則它們互相垂

直的概率是八.則七",2的值分別是（）

A111R111C1￡1n1￡￡

362366623322

34.（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））從正方體的12條棱中任選3條棱，則這3條棱兩兩異面的概率為（）

2八3八4n5

A.—B.—C.—D.—

55555555

經(jīng)典題型八：古典概型與函數(shù)的交匯問題

35.（2023?全國?高二專題練習(xí)）首位數(shù)定理；在力進(jìn)位制中，以數(shù)字，?I）為首位的數(shù)出現(xiàn)的概

率為log〃（〃+l）-log/?,幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個定理.已知某銀行I（）0（X）名

儲戶的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上達(dá)定理，則下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：愴2。0.3010,33*0.4771）

A.存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為g

B.存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%

C.存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率

D.存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%

36.（2023?全國?高三專題練習(xí)（文））設(shè)。是從1、2、3、4中隨機(jī)取出的一個數(shù)，匕是從1、2、3中隨

機(jī)取出的一個數(shù)，構(gòu)成一個基本事件（。,力）.記“這些基本事件中，滿足log',“21”的事件為E,則E發(fā)生的

概率為（）.

A.—；B.■―；C<-；D.一?

121234

37.（2023?廣東?金山中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=〃x+二7（x>l）,若。是從0』,2三個數(shù)中任取一

X-I

個，力是從L2,3,4,5五個數(shù)中任取一個，那么/"）>加恒成立的概率是（）

A.-B.—C.-D.1

51552

38.（2（）23?安徽合肥?一模（文））從事函數(shù)產(chǎn)乙），=_?,J=）,=，，y=/中任意選取2個函數(shù)，

具中一個函數(shù)是奇函數(shù)、另一個函數(shù)是增困數(shù)的概率等「（）

經(jīng)典題型九：古典概型與數(shù)列的交匯問題

39.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某校為推廣籃球運(yùn)動，成立了籃球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員

進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任

意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第〃次觸球

者是甲的概率為匕，則6=（）

A.—B.-C.—D.I

164168

40.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為1,公比為?2,在該數(shù)列的前六項(xiàng)中隨機(jī)抽

取兩項(xiàng)4，%（皿〃GN"）,則的概率為（）

A.-B.—C.-D.—

5432

41.（2023?江西?高三階段練習(xí)（文））現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，

若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是（）

42.（2023?全國?高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關(guān)「兔子繁殖

的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，乂能

生I對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第I個月1對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對

數(shù)是：1,1,2,3,5,8,13,21,…，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是勺=〃2+%-2（〃2

其中q=l,%=1.若從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

673

A.

32021

43.（2023?全國?高三專題練習(xí)）我國占代圖書之一的《周髀算經(jīng)》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、

立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次是一個等差數(shù)列.已

知立春與驚蟄兩個節(jié)氣的日影長分別為11尺和10尺，現(xiàn)在隨機(jī)選出3個節(jié)氣，至少有一個節(jié)氣的日影長

大于9尺的概率為（）

44.（2023?甘肅張掖?高三階段練習(xí)（文））意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題：

已知-對兔子每個月可以生一對兔子，而一對兔子出生后在第二個月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象,

那么兔子對數(shù)依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.......這就是著名的斐波那契數(shù)列，它

的遞推公式是其中，4=1,%=1?若從該數(shù)列的前120項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個

數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

|9?3

A.二B.--C.—D.—

3324

經(jīng)典題型十：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

45.（2023?四川省開江中學(xué)高三開學(xué)考試（理））在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病

患者的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，則（）

A.這種疾病患者的年齡小于?等于30的概率為0.2

B.這種疾病患者的年齡的中位數(shù)小于45歲

C.這種疾病患者的年齡的眾數(shù)為45歲

D.這種疾病患者的平均年齡為48歲

46.（2023?安徽?高三開學(xué)考試）下圖是國家統(tǒng)計(jì)局2022年6月發(fā)布的規(guī)模以上工業(yè)FI均原油產(chǎn)量（單位:

萬噸）的月度走勢情況，現(xiàn)有如下說法：

①2021年5月至2022年5月，規(guī)模以上工業(yè)原油的日均產(chǎn)量的極差為4；

②從2021年5月至2021年12月中隨機(jī)抽取1個月份，月增速超過2.9%的概率為\；

③2022年4月份，規(guī)模以上工業(yè)原油總產(chǎn)量約為1701萬噸:

□11均產(chǎn)域（萬噸）-當(dāng)月增速（%）

A.0B.1C.2D.3

47.（2023?河南?高三開學(xué)考試（理））現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6,7,8,若將這組數(shù)據(jù)隨機(jī)刪去

兩個數(shù)，則剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于5的概率為（）.

48.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某地教育局為了解“雙減”政黃的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)高三年級在校學(xué)生

中抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，

A.所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至2.5小時(shí)之間完成作業(yè)

B.該地高三年級學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)間超過3小時(shí)的概率估計(jì)為35%

C.估計(jì)該地高三年級學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過2.7小時(shí)

D.估計(jì)該地高三年級有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間

經(jīng)典題型十一：有放回與無放回問題的概率

49.（2023?貴州?高三階段練習(xí)：文））從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張,

則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為（）

A.

50.（2023?江蘇南京?高三階段練習(xí)）從分別寫有L2,3,4,5,6的六張卡片中無放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到

的兩張卡片上的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（）

A.-3B.24C.1-1D.-

5535

51.（2023?全國?高三專題練習(xí)）一個袋子中放大小相同的9個小球，其中5個紅色球，4個白色球，若

從中摸出1個球后放回再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為＜,從中摸出1個球后不放回

再摸出1個球，記摸出的2個球都是紅色球的概率為6，則（）

91045

A.6=歷呂B.Pt=-P2C.P1=-P2D.P1=-P2

52.（2023?全國?高三專題練習(xí)（理））不透明袋子里有大小完全相同的1（）只小球，其中4只藍(lán)色6只紅

色，小朋友花花想從袋子里取到一只紅色小球，第一次從袋子里隨機(jī)取出一只小球，卻是藍(lán)色，不放回，

再取第二次.則小朋友花花第二次取到紅色小球的概率是（）

3221

A.-B.—C.-D.—

5533

53.（2023?遼寧沈陽?三模）盒子中有4個球，其中3個白球，1個紅球，現(xiàn)在從盒中隨機(jī)無放回地取球，

每次取出一個，直到取出紅球?yàn)橹?則取出3個球停止的概率為（）

A.-B.—C.-D.—

3468

經(jīng)典題型十二：概率的基本性質(zhì)

54.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）甲、乙去同一家藥店購買一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A,B,

C三種醫(yī)用外科口罩，甲、乙購買A,B,C三種醫(yī)用口罩的概率分別如下：

購買4種醫(yī)用口罩購買B種醫(yī)用口罩購買C種醫(yī)用口罩

甲?0.20.4

乙0.3?0.3

則甲、乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（)

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

55.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件A,8互斥，A,4發(fā)生的概率均不等于0,且&4）=2-%

P（B）=4a-5,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是

A.（U）B.唐）患)>3

C.

56.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知消費(fèi)者購買家用小電器有兩種方式：網(wǎng)上購買和實(shí)體店購買.經(jīng)工

49

商局抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上家用小電器合格率約為二，而實(shí)體店里家用小電器的合格率約為行，工商局12315

電話接到關(guān)于家用小電器不合格的投訴，統(tǒng)計(jì)得知，被投訴的是在網(wǎng)上購買的概率約為75%.那么估計(jì)在

網(wǎng)上購買家用小電器的人約占（）

A.-B.-C.-D.-

5577

57.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)人、B是兩個概率大于0的隨機(jī)事件，則下列論述正確的是（）

A.事件則尸（A）<P（fi）

B.若A和8互斥，則A和3一定相互獨(dú)立

C.若人和8相互獨(dú)立，則人和8一定不互斥

D.P（4）+P（B）<1

58.（2023?全國?高三專題練習(xí)（文））甲、乙兩人比賽下中國象棋，若甲獲勝的概率是:，下成和棋的概

率是則乙獲勝的概率是（）

A.-B.\C.-D.-

6336

59.（2023?海南?嘉積中學(xué)高三階段練習(xí)）下列敘述錯誤的是（）.

A.若事件A發(fā)生的概率為P（A）,則0WP（A）G

B.互斥事件不一定是對立事件，但是對立事件一定是互斥事件

C.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的

D.5張獎券中有一張有獎，甲先抽，乙后抽，則乙與甲中獎的可能性相同

60.（2023?福建?莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）有一道數(shù)學(xué)難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲、乙能解決的概率都是:，

丙能解決的概率是：，若3人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決該難題，則該難題得到解決的概率為一.

1.（2023?全國?高考真題（文））從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到

的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

UB.-3JC-5口D-3

2.（2023?全國?？颊骖}（文））將3個1和2個（）隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

3.（2023?全國?高考真題（理））將3個I和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）

A.0.3B.0.5C.0.6D,0.8

4.（2023?山東?高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間救室中的任意?間聽課，則恰好全都進(jìn)入同

一間教室的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

25162532

5.（2023?全國?高考真題（文））設(shè)。為正方形/WCO的中心，在O,A,B,C,。中任取3點(diǎn)，則取到的3

點(diǎn)共線的概率為（）

6.（2023?全國?高考真題（理））從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的概率為.

7.（2023?江蘇?高考真題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的

概率是.

8.[2023?天津?高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為:和假定兩球是否落入盒子互不影響,

則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.

經(jīng)典題型一：隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算

1.答案：D

【解析】對于A：事件A="向上的點(diǎn)數(shù)為3"發(fā)生，事件8="向上的點(diǎn)數(shù)為6”一定不發(fā)生，故選項(xiàng)A不正

確；

對于B：事件C=”向上的點(diǎn)數(shù)為3或6”發(fā)生，事件向上的點(diǎn)數(shù)為6”不一定發(fā)生，但事件8="向上的點(diǎn)

數(shù)為6”發(fā)生，事件。=”向上的點(diǎn)數(shù)為3或6”一定發(fā)生，所以B=C,故選項(xiàng)B不正確；

對于C：”件A和事件〃不能同時(shí)發(fā)生，A6=0,故選項(xiàng)C不正確；

對于D：事件A=”向上的點(diǎn)數(shù)為3”或事件4="向上的點(diǎn)數(shù)為6"發(fā)生，則事件。=”向上的點(diǎn)數(shù)為3或6”發(fā)

生，故選項(xiàng)D正確；

故選：D

2.答案：A

【解析】解析：事件AIJB：至少有一件次品,即事件C,所以①正確：事件4一5=0,③不正確；

事件4。：至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了所有情況,所以②正確；

事件從一。：恰有一件次品，即事件人所以④不正確.

故選：A

3.答案：ABC

【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī).'指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊

中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中.故AG。，AUC=￡>.故A、C正確；

因?yàn)槭录?,。為互斥事件，所以80。=0.故B正確：

對于D：4"兩個飛機(jī)都擊中或者都沒擊中“，為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.

故選：ABC.

經(jīng)典題型二：頻率與概率

4.答案：ABC

【解析】對于A,由分層抽樣可得，老年患者應(yīng)抽取30x要…=%人,正確；

600+500+400

4004

對于B,青年患者所占的頻率為“八二““、='，正確；

600+500+40015

…一干……」600x20%+500x30%+400x40%C…

對于C,平均治愈率為--------如500+400--------"28.7%,正確；

對于D,由C知錯誤.

故選：ABC.

5.答案：A

【解析】由表可知，第3組的頻率為痣=0.14,累積頻率為10+1：川4=037。

100I(X)

故選：A

6.答案：D

【解析】由題意得：將兩所學(xué)校的成績放到一起，從中任取一個學(xué)生成績，

取到優(yōu)秀成績的概率為30%X40%+35%X60%=0.33,

故選：D

7.答案：C

【解析］對于甲，擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為2,3,4,5時(shí)，甲能夠得一分，

則由對稱性可知，擲兩次的假了?生點(diǎn)數(shù)之和為12,11,10,9分別與擲兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為2,3,4,5對應(yīng)的概率

相等，

???為確保游戲的公平性，需〃?=8,此時(shí)甲乙得分概率相等.

故選:C.

8.答案：C

【解析】因?yàn)橐粋€裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和5()個紅球的袋子中，隨機(jī)摸出1個球，

摸到白球和紅球的概率都為因此，這200人中，回答了第一個問題的有100人，而一年365天中，陽

歷為奇數(shù)的有186天，所以對第一個問題回答“是”的概率為瞿H0.51,所以這100個回答第一個問題的學(xué)