2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)思想方法整合試題一、函數(shù)與方程思想應(yīng)用（一）函數(shù)性質(zhì)綜合題已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$滿足$f(1)=0$，且對任意實(shí)數(shù)$x$都有$f(x)-x\geq0$，當(dāng)$x\in(0,2)$時(shí)，$f(x)\leq\left(\frac{x+1}{2}\right)^2$。（1）求$f(1)$的值并證明$a>0$；（2）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（3）若方程$f(x)-mx=0$在區(qū)間$(0,2)$內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。（二）方程根的分布問題已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3,&x\leq0\-x^2-2x+3,&x>0\end{cases}$，若關(guān)于$x$的方程$f(x)=k$有四個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍。設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$的圖像與直線$12x+y-1=0$相切于點(diǎn)$(1,-11)$。（1）求$a$、$b$的值；（2）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（3）若方程$f(x)=c$有三個(gè)不同實(shí)根，求$c$的取值范圍。二、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用（一）函數(shù)圖像與性質(zhì)已知函數(shù)$f(x)=|x^2-4x+3|$，（1）畫出函數(shù)$f(x)$的圖像；（2）根據(jù)圖像指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若方程$f(x)=m$有四個(gè)不等實(shí)根，求$m$的取值范圍。設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx(a\inR)$，（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1$、$x_2(x_1<x_2)$，證明：$f(x_2)<-\frac{3}{2}$。（二）解析幾何問題已知圓$C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=25$，直線$l$：$(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m\inR)$。（1）證明：直線$l$與圓$C$恒相交；（2）求直線$l$被圓$C$截得的弦長的最短長度及此時(shí)直線$l$的方程。已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為$2$。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l$：$y=kx+m$與橢圓交于$A$、$B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4}$，求證：$\triangleAOB$的面積為定值。三、分類討論思想應(yīng)用（一）含參數(shù)函數(shù)問題已知函數(shù)$f(x)=ax^3-3x^2+1-\frac{3}{a}(a\neq0)$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(-2,2)$上單調(diào)遞減，求$a$的取值范圍。已知函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{1}{2}ax^2-2x(a\neq0)$。（1）若函數(shù)$f(x)$在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍；（2）若$a=-\frac{1}{2}$，且關(guān)于$x$的方程$f(x)=-\frac{1}{2}x+b$在$[1,4]$上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)$b$的取值范圍。（二）數(shù)列問題已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$S_n=2a_n-n(n\inN^)$。（1）求證：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$；（3）若對任意$n\inN^$，不等式$k(S_n+n+2)\geq2^n-1$恒成立，求實(shí)數(shù)$k$的最小值。四、轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用（一）函數(shù)與不等式問題已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\inR)$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若對任意$x\geq0$，都有$f(x)\geq0$，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（3）求證：對任意正整數(shù)$n$，都有$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\inR)$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)$x_1$、$x_2(x_1<x_2)$，求證：$x_1+x_2>2a$。（二）立體幾何問題如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是邊長為$2$的正方形，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=2$，$E$為$PD$的中點(diǎn)。（1）求證：$PB\parallel$平面$AEC$；（2）求二面角$E-AC-D$的大小；（3）在線段$BC$上是否存在一點(diǎn)$F$，使得點(diǎn)$A$到平面$PEF$的距離為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出$BF$的長；若不存在，說明理由。如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$、$E$分別為$AB$、$BB_1$的中點(diǎn)。（1）求證：$CE\perpA_1D$；（2）求異面直線$CE$與$AC_1$所成角的余弦值；（3）求二面角$A_1-AC-E$的大小。五、綜合應(yīng)用問題已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+2a+4$的定義域?yàn)?R$，值域?yàn)?[1,+\infty)$。（1）求實(shí)數(shù)$a$的值；（2）若關(guān)于$x$的方程$f(x)=|x-1|+b$有四個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)$b$的取值范圍；（3）設(shè)$g(x)=f(x)-|x-1|$，若存在$x\inR$，使得$g(x)\leqm^2-2tm+1$對任意$t\in[-1,1]$恒成立，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為$F(1,0)$，過點(diǎn)$F$的直線$l$交橢圓$C$于$A$、$B$兩點(diǎn)。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)$F$的直線$l$與$x$軸垂直，$M$為橢圓$C$上異于$A$、$B$的任意一點(diǎn)，直線$MA$、$MB$分別交$x$軸于點(diǎn)$P$、$Q$，求證：$|OP|\cdot|OQ|$為定值；（3）若直線$l$的斜率為$k(k\neq0)$，點(diǎn)$A$關(guān)于$x$軸的對稱點(diǎn)為$D$，直線$BD$與$x$軸交于點(diǎn)$E$，試問$\triangleAEF$的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由。已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x(a\inR)$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極大值，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（3）若對任意$x\in(0,+\infty)$，$f(x)\leq0$恒成立，求整數(shù)$a$的最小值。如圖，在多面體$ABCDEF$中，底面$ABCD$是邊長為$2$的菱形，$\angleBAD=60^\circ$，四邊形$BDEF$是矩形，平面$BDEF\perp$平面$ABCD$，$BF=3$，$G$、$H$分別是$CE$、$CF$的中點(diǎn)。（1）求證：平面$BDGH\parallel$平面$AEF$；（2）求二面角$B-EF-C$的大??；（3）在線段$BF$上是否存在一點(diǎn)$M$，使得直線$AM$與平面$BDGH$所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$？若存在，求出$BM$的長；若不存在，說明理由。已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1(a,b\inR)$。（1）若$a=0$，$b=1$，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(1)=0$，且函數(shù)$f(x)$在$(0,1)$內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（3）當(dāng)$a=1$時(shí)，若對任意$x\geq0$，都有$f(x)\geq0$，求實(shí)數(shù)$b$的取值范圍。已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1$、$F_2$，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過$F_2$的直線$l$交橢圓$C$于$A$、$B$兩點(diǎn)，若$\triangleAF_1B$的周長為$4\sqrt{3}$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，$T$為直線$x=3$上任意一點(diǎn)，過$F_2$作$OT$的垂線交橢圓$C$于點(diǎn)$P$、$Q$。（i）證明：$OT$平分線段$PQ$；（ii）當(dāng)$\frac{|OT|}{|PQ|}$最小時(shí)，求點(diǎn)$T$的坐標(biāo)。這些試題全面覆蓋了高一數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，通過不同題型和難度層次的設(shè)置，系