第十五章軸對稱等腰三角形第十五章軸對稱等腰三角形(1)——等腰三角形的性質

知識點1

等腰三角形的“等邊對等角”

補充完成下面證明過程．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC.

求證：∠B＝∠C.

證明：如圖，作∠BAC的平分線AD，交BC于點D，則∠BAD＝

∠

?．

∵AB＝

，∠BAD＝

，AD＝AD，

∴△BAD≌△CAD(

)．∴∠B＝

?．CADAC∠CADSAS∠C

性質：等腰三角形的兩個底角

(簡寫成“

?

”)．

幾何語言：如圖，∵AB＝AC，∴

?．相等等邊對

等角∠C＝∠B

1.例1下列各圖中，AB＝AC，寫出對應x的值．x＝

x＝

x＝

?70°30°35°

2.如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，若AB＝AD＝DC，

∠BAD＝44°，則∠C＝

?°.34

知識點2

等腰三角形的“三線合一”

3.

等腰三角形底邊上的

、

及頂角平分線重合(簡寫

成“三線合一”)．

(1)∵AB＝AC，∠1＝∠2，

∴

，

?．

(2)∵AB＝AC，BD＝CD，

∴

，

?．

(3)∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴

，

?．中線高AD⊥BCBD＝CDAD⊥BC∠1＝∠2BD＝CD∠1＝∠2

4.(1)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D.

若∠BAC

＝108°，則∠BAD＝

?.

(2)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，BD＝

10，則BC＝

?.54°20

5.例2(一題多解)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E是BC邊上

的點，且AD＝AE，求證：BD＝CE.

法1：證明：如圖，過點A作AG⊥BC于點G.

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BG＝CG，DG＝EG.

∴BG－DG＝CG－EG.

∴BD＝CE.

法2：證明：∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.

∴∠ADB＝∠AEC.

∴△ABD≌△ACE(AAS)．∴BD＝CE.

6.如圖，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，點E在AD上，連接

BE，CE.

請找出圖中相等的線段(AB＝AC除外)，并說明理由．解：BD＝CD，BE＝CE.

理由如下：

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.

∴△BAE≌△CAE(SAS)．∴BE＝CE.

1．

如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，下列結論中不

正確的是（D）A．

∠B＝∠C B．

AD⊥BCC．

AD平分∠BAC D．

AB＝2BDD

2．(2024蘭州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，

DA⊥AC，則∠ADB＝（B）A．

100° B．

115°C．

130° D．

145°B

3．(易錯題)填空：

(1)等腰三角形的一個底角是40°，則它的頂角是

?；

(2)等腰三角形的一個內角是50°，則這個三角形的底角的大小

是

?；

(3)等腰三角形的一個內角為130°，則這個等腰三角形頂角的度數

為

?．100°65°或50°130°解：∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE.

∴∠ABE＝∠A＝36°.∵AB＝AC，

∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝72°－36°＝36°.

4．(人教八上P84習題T6改編)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝

36°，AB的垂直平分線交AC于點E，垂足為點D，連接BE，求∠EBC

的度數．

5．

(方程思想)(人教八上P79例1)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點

D在AC上，且BD＝BC＝AD.

求△ABC各角的度數．解：設∠A＝x.

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝x.

∵BD＝BC，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.

∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.

6．(推理能力)如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，交

AC于點E，AD⊥BC于點D，交BE于點H，且AD＝BD.

(1)求證：∠ABE＝∠CAD；證明：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC.

∴∠BEC＝90°.

∴∠C＋∠CBE＝90°.又AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.

∴∠C＋∠CAD＝90°.∴∠CBE＝∠CAD.

∴∠ABE＝∠CAD.

解：AB＝BD＋DH.

理由如下：

∴△ADC≌△BDH(ASA)．∴DC＝DH.

∴BC＝BD＋DC＝BD＋DH.

∵AB＝BC，∴AB＝BD＋DH.

(2)判斷線段AB與BD，DH之間的數量關系，并說明理由．第十五章軸對稱等腰三角形(2)——等腰三角形的判定

知識點1

等腰三角形的判定——等角對等邊

1．

等腰三角形的判定：有兩個角

?的三角形是等腰三角形

(簡寫成“等角對等邊”)．

幾何語言：如圖，∵∠B＝∠C，∴

?．相等AC＝AB

2.例1如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°.求證：AB＝AC.

證明：∵∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(40°＋70°)＝70°，

∴∠C＝∠B.

∴AB＝AC.

3.如圖，點D在△ABC的邊BC上，∠ADB＝60°，∠C＝30°.求

證：△ADC是等腰三角形．證明：∵∠ADB＝60°，∠C＝30°，

∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝60°－30°＝30°.

∴∠C＝∠DAC.

∴AD＝DC.

∴△ADC是等腰三角形．證明：∵AD平分∠CAE，

∴∠EAD＝∠CAD.

∵AD∥BC，

∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C.

∴∠B＝∠C.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

4.例2(人教八上P80例2變式)如圖，已知∠CAE是△ABC的外角，

AD平分∠CAE，AD∥BC.

求證：△ABC是等腰三角形．

5.(北師八下P21習題T1)已知：如圖，D是△ABC的BC邊的中點，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，且DE＝DF.

求證：△ABC是等

腰三角形．證明：∵點D是BC邊的中點，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

知識點2

等腰三角形的畫法

6.

例3如圖，已知底邊a及底邊上的高b，求作等腰三角形．(尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

解：如圖所示，△ABC即為所作．

1．

在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝75°，則這個三角形是

?

?三角形．

2．

(人教八上P81練習T1改編)如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，

∠C＝72°，則：等

腰

(1)∠1＝

°，∠2＝

°；

(2)圖中有

個等腰三角形，分別是

?

?.72363△DAB，△ABC，△BDC

3．如圖，AD＝BC，AC＝BD，求證：△EAB是等腰三角形．證明：∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，

∴△ABD≌△BAC(SSS)．

∴∠ABD＝∠BAC.

∴AE＝BE.

∴△EAB是等腰三角形．

4．如圖，已知底邊及一腰，求作等腰三角形．(尺規(guī)作圖，不寫作

法，保留作圖痕跡)

解：如圖所示，△OAB即為所作．

(1)求∠CEF的度數；解：由題易知，AD∥BC.

∴∠BEG＝∠AGC′＝48°.由折疊的性質，得∠CEF＝∠C′EF.

5．

(人教八上P81練習T2改編)如圖，將一張長方形的紙條ABCD沿

EF折疊，點C，D所對應的點為點C′，D′，AD交EC′于點G.

若折疊后

∠AGC′＝48°.

(2)求證：△EFG是等腰三角形．證明：由題易知，AD∥BC.

∴∠GFE＝∠CEF.

由折疊的性質，得∠CEF＝∠C′EF.

∴∠GFE＝∠C′EF.

∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．

角平分線＋平行線→等腰三角形

模型展示：

AB平分∠EAF，BC∥AF?△ABC是等腰三角形

AE平分∠DAC，AE∥BC?△ABC是等腰三角形

6．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC，∠ACB的平分

線BD，CD交于點D.

過點D作EF∥BC，分別交AB，AC于點E，F，則

△AEF的周長為（C）A．

12B．

13C．

14D．

15C第十五章軸對稱等腰三角形(3)——等邊三角形的性質與判定

等邊三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的

性質，還有其特殊性，對比等腰三角形的性質，填寫下列表格：等邊三角形的性質等邊三角形的判定邊：三條邊

?判定1：三邊都

?的三角形是等邊三

角形角：三個角

?且

都等于

?°判定2：三個角都

?的三角形是等邊

三角形判定3：有一個角是

的

?三

角形是等邊三角形相等相等相等60相等60°等腰

知識點1

等邊三角形的性質

1.

例1如圖，在等邊三角形ABC中，

(1)∠BAC＝∠B＝∠C＝

?；

(2)若△ABC的周長為12，則AB的長為

?；

(3)若AD是∠BAC的平分線，則∠ADC＝

?；60°490°

(4)若BC＝2，AD⊥BC，則BD的長為

，∠CAD的度數為

?．130°

2.例2(人教八上P93復習題T12)如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中

線，延長BC至E，使CE＝CD.

求證：DB＝DE.

證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠DBC.

∴∠DBC＝30°.

∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.

∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，

∴∠DBC＝∠CED.

∴DB＝DE.

知識點2

等邊三角形的判定

3.

例3如圖，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED.

求證：△DEC是等邊

三角形．證明：∵∠B＝∠C，AB∥DE，

∴∠DEC＝∠B＝∠C.

∵EC＝ED，∴∠C＝∠EDC.

∴∠DEC＝∠C＝∠EDC.

∴△DEC為等邊三角形．

4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.點D，E在BC邊

上，且AD⊥AC，AE⊥AB.

求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵AB＝AC，

∠BAC＝120°，

∵AD⊥AC，AE⊥AB，

∴∠CDA＝90°－∠C＝60°，∠BEA＝90°－∠B＝60°.

∴∠DAE＝180°－∠CDA－∠BEA＝60°.

∴∠CDA＝∠BEA＝∠DAE.

∴△ADE是等邊三角形．

知識點3

等邊三角形的性質與判定的綜合

5.

例4如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E在邊AB，AC上，

DE∥BC，△ADE是等邊三角形嗎？請說明理由．解：△ADE是等邊三角形．理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.

∴∠ADE＝∠AED＝∠A．

∴△ADE是等邊三角形．

(1)求證：△BDE≌△BCF；證明：∵△ABD和△BCD是等邊三角形，

∴BD＝BC，∠BDE＝∠C＝60°.

∴△BDE≌△BCF(SAS)．

6.如圖，△ABD和△BCD是等邊三角形，點E，F分別在AD，CD邊

上，且DE＝CF.

(2)求證：△BEF是等邊三角形．證明：由(1)，得△BDE≌△BCF.

∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF.

∵△BCD是等邊三角形，

∴∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°.

∴∠DBF＋∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°.

∴△BEF是等邊三角形．

1．

如圖，過等邊三角形ABC的頂點B作射線，若∠1＝20°，則

∠2的度數是（B）A．

100°B．

80°C．

60°D．

40°B

2．如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E，F分別是各邊上的

一點，且AD＝BE＝CF，連接DE，EF，FD.

求證：△DEF是等邊

三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°.

∵AD＝BE＝CF，

∴AE＝BF＝CD.

∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS)．

∴DE＝EF＝FD.

∴△DEF是等邊三角形．

3．

如圖，△BCE，△ACD分別是以BE，AD為斜邊的直角三角

形，且BE＝AD，△CDE是等邊三角形．

(1)求證：△ACD≌△BCE；證明：∵△CDE是等邊三角形，

∴CD＝CE.

在Rt△ACD和Rt△BCE中，AD＝BE，CD＝CE，

∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)．

(2)求證：△ABC是等邊三角形．證明：由(1)知Rt△ACD≌Rt△BCE，∴AC＝BC.

∵△CDE是等邊三角形，∴∠ECD＝60°.又∵∠BCA＝90°－∠ACE＝∠ECD＝60°，

∴△ABC是等邊三角形．第十五章軸對稱等腰三角形(4)——含30°角的直角三角形

知識點1

含30°角的直角三角形的性質

1．

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角

邊等于斜邊的

?．

幾何語言：如圖，∵AC⊥BC，∠A＝30°，∴

?．一半

2.例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若∠B＝30°，AB＝8，則

AC的長為

?．4

3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°.若∠B＝60°，BC＝3，則AB的

長為

?．6

4.例2如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠B＝30°，AB⊥AD，

AD＝4.

(1)求BD的長；解：∵AB⊥AD，∠B＝30°，AD＝4，

∴BD＝2AD＝2×4＝8.

(2)求BC的長．

∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°.

∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.

∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°.

∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－90°＝30°.

∴∠DAC＝∠C.

∴DC＝AD＝4.

∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12.

5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分

∠BAC，AM＝15，求BC的長．解：∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，

∴∠B＝180°－∠C－∠BAC＝30°.

∵AM平分∠BAC，

∴∠B＝∠BAM.

∴BM＝AM＝15.在Rt△ACM中，∠CAM＝30°，

∴BC＝CM＋BM＝7.5＋15＝22.5.

知識點2

含30°角的直角三角形的應用

6.

例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB

于點D，DB＝2，求BC，AD的長．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2BC.

∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.

∴∠DCB＝90°－∠B＝30°.

∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4.∴AB＝8.

∴AD＝AB－BD＝8－2＝6.

證明：∵∠A＝30°，∠BCA＝90°，

∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴∠BCD＝30°.

∴BC＝2BD.

1．

如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，AD是△ABC的邊BC上的

高，過點D作DE⊥AC于點E，則CD的長為

，CE的長為

?.21

2．如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB，

CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是8

m，則乘電梯從點B到點C上升的高度h為

?m.4

3．(北師八下P13習題T2改編)如圖是屋架設計圖的一部分，點D是

斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB