第十三章

三角形13.3三角形的內(nèi)角與外角

13.3.1三角形的內(nèi)角第2課時(shí)

直角三角形中兩銳角的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并掌握三角形內(nèi)角和定理2．會(huì)用三角形內(nèi)角和進(jìn)行角度的計(jì)算3．能證明三角形的內(nèi)角和定理及其推論4.能運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論判斷角和邊的關(guān)系，解決簡單的實(shí)際問題。你能把下列推理補(bǔ)充完整嗎？如圖，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____()∵∠C=90°()∴∠A+∠B=_____180°三角形內(nèi)角和180°已知90°※直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．

幾何語言：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．1.如圖(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠D有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.2.如圖(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.1.如圖(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠D有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.∠A=∠D2.如圖(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.思考：①兩個(gè)圖形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各是什么？②圖(1)的兩種解答方法能用于圖(2)的解答嗎？哪個(gè)更具一般性？解：∠A=∠C.理由如下：在Rt△AOB和Rt△COD中，∵∠B=∠D=90°∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°∵∠AOB=∠COD

∴∠A=∠C例1.如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？解：∠CAE=∠DBE，理由如下：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？解：∠ACD=∠B.理由如下：∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCD=90°∵

CD⊥AB∴∠BDC=90°∴∠B+∠BCD=90°∴∠ACD=∠B我們知道，如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.

反過來，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？試說明理由。ABC思考如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？解：△ABC是直角三角形證明：在△ABC中，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，又

∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.即△ABC是直角三角形.定義與概念有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.在△ABC

中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC

是直角三角形．ABC例3.如圖13.3-6，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求證：CD⊥

AB.證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠CDA＝90°，即CD⊥AB.解題秘方：利用直角三角形的性質(zhì)求出CD與AB的夾角為直角.經(jīng)典例題例4.已知：如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A＝∠C，求證：AB⊥CD.證明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°.∴∠C＋∠D＝90°.∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°.∴∠ABD＝90°.∴AB⊥CD.經(jīng)典例題例3

如圖，在△ABC

中，∠B=30°，∠C=62°，AE平分∠BAC

交

BC

于點(diǎn)

E，AD⊥BC

于點(diǎn)

D，∠ADF=74°.(1)求∠DAE

的度數(shù)；(1)解：由三角形內(nèi)角和定理，得∠BAC=180°－∠B－∠C=88°.∵AE

平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=44°.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°－∠C=28°.∴∠DAE=∠CAE－∠CAD=44°－28°=16°.

探究點(diǎn)二：

直角三角形的判定(2)求證：△ADF

是直角三角形.(2)證明：由(1)知∠DAE=16°，又∠ADF=74°，∴∠DAE+∠ADF=90°，∴△ADF

是直角三角形.探究點(diǎn)二：

直角三角形的判定1.在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

B

＝36°，則∠

A

的度數(shù)為

.54°2.在下列條件中：①∠

A

＝50°，∠

B

＝40°；②∠

B

＋∠

C

＝90°；③∠

A

＝∠

B

＝∠

C

；④∠

A

＋∠

B

＝∠

C

.

能判定△

ABC

是直角三角形的條件有

.（填序號(hào)）①②④

3.[典圖通關(guān)]如圖，在直角三角形ABC

中，∠ACB＝90°，CD

是△ABC

的高，∠1，∠2如圖中所示.(1)已知∠

1＝30°，則∠B＝

°；30(2)[作圖通關(guān)]過點(diǎn)

B

作

BE∥AC，過點(diǎn)

C

作

CF∥AB，BE

與

CF

相交于點(diǎn)

G，補(bǔ)全圖形并證明∠CGB

與∠1互余.解：補(bǔ)圖如圖所示.證明如下：∵

CD

是△ABC的

高，∴∠ADC=90°，∴∠A＋∠1=90°.∵

BE∥AC，∴

∠ACG＋∠CGB=180°.∵

CF∥AB，∴

∠ACG＋∠A=180°.∴∠CGB=∠A.

∴∠CGB＋∠1=90°,即∠CGB與∠1互余.7.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=9