2/37專題2.4立方根知識點(diǎn)01立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.2：立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).【即學(xué)即練1】計(jì)算：．【即學(xué)即練2】已知a的立方根為，則a的值為．知識點(diǎn)02立方根的性質(zhì)注意：第一個公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.【即學(xué)即練】若，則的平方根是．知識點(diǎn)03立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【即學(xué)即練】完善下面表格，發(fā)現(xiàn)平方根和立方根的規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；(2)已知，估計(jì)和的值；(結(jié)果保留四位小數(shù))(3)若，估計(jì)的值．（參考數(shù)據(jù)：)．（結(jié)果保留四位小數(shù)）題型01立方根概念理解【典例1】下列語句正確的是（）A．負(fù)數(shù)沒有立方根 B．的立方根是C．立方根等于本身的數(shù)只有 D．【變式1】下列說法中，正確的是（

）A．一個數(shù)的立方根有兩個，它們互為相反數(shù) B．一個非零數(shù)的立方根與這個數(shù)同號C．負(fù)數(shù)沒有平方根也沒有立方根 D．算術(shù)平方根一定是正數(shù)【變式2】下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．沒有立方根C．立方根等于本身的數(shù)是和 D．題型02求一個數(shù)的立方根【典例2】64的立方根是．【變式1】計(jì)算：．【變式2】的平方根是．的立方根是．題型03已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)【典例3】已知一個數(shù)的立方根為，則這個數(shù)為．【變式1】一個正數(shù)的平方根分別是和，的立方根是，則的算術(shù)平方根為．【變式2】已知：和是正數(shù)M的平方根，的立方根為，則的算術(shù)平方根．題型04立方根的性質(zhì)【典例4】已知，則的值為．【變式1】數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖，化簡的結(jié)果為．【變式2】根據(jù)立方根的意義填空：_____，_____，______，_____，_____．觀察上述結(jié)果，猜想對于實(shí)數(shù)等于什么？對于式子（是整數(shù)）的化簡，你有怎樣的認(rèn)識？題型05利用開立方解方程【典例5】解下列方程：(1)；(2)【變式1】解下列方程：(1)；(2)．【變式2】求下列各式中x的值：(1)；(2)．題型06平方根與立方根的綜合【典例6】已知的平方根是的立方根是2．(1)求的值；(2)求的算術(shù)平方根．【變式1】已知實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是2，的立方根是2．(1)求，的值；(2)求的平方根．【變式2】已知的立方根是，的算術(shù)平方根是3．(1)求a，b的值；(2)若，且c是整數(shù)，求的平方根．題型07立方根的應(yīng)用【典例7】如圖是一種形狀為正方體的魔方，它的體積為，它的棱長是多少？【變式1】如圖是一塊體積為343立方厘米的正方體鐵塊．(1)求該正方體鐵塊的棱長；(2)現(xiàn)在工廠要將這塊鐵塊熔化，重新鍛造成兩個棱長為3厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊．若長方體鐵塊的高為1厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．【變式2】在做浮力實(shí)驗(yàn)時，小華用一根細(xì)線將一正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的杯中（杯的形狀為圓柱體），并用量筒量得從杯中溢出的水的體積為，小華又將鐵塊從杯中拿出來，量得杯中水位下降了．(1)鐵塊的棱長為多少厘米？(2)杯內(nèi)部的底面直徑為多少厘米（?。款}型08與立方根有關(guān)的規(guī)律探究問題【典例8】觀察下列正數(shù)的立方根運(yùn)算，并完成下列問題：(1)用語言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運(yùn)算中，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動三位，相應(yīng)的立方根的小數(shù)點(diǎn)就向___________移動___________位；(2)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：已知，則___________，___________．(3)類比上述立方根運(yùn)算：已知，則___________，___________．【變式1】觀察下列規(guī)律回答問題：(1)_______，_______；(2)已知，若，用含x的代數(shù)式表示y，則_______；(3)根據(jù)規(guī)律寫出與a的大小情況．【變式2】（1）填表：a0.0000080.00888000（2）觀察上表，表中數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)的移動與它的立方根的小數(shù)點(diǎn)的移動之間有何規(guī)律？請用語言敘述這個規(guī)律：______；（3）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答：①已知，，，則介于哪兩個整數(shù)之間？②已知，則______；③用鐵皮制作一個封閉的正方體，它的體積是1.843立方米，問需要多大面積的鐵皮？（結(jié)果精確到0.01平方米）a0.0000080.008880000.020.2220一、單選題1．已知實(shí)數(shù)的立方根是，則實(shí)數(shù)的立方根是（

）A． B．8 C． D．22．下列各式正確的是（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的是（

）A．是的立方根 B．9的立方根是3C．是的算術(shù)平方根 D．16的平方根是44．若，，則（

）A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.95．如圖，某港口有一個體積為的正方體集裝箱，為存放更多的貨物，現(xiàn)準(zhǔn)備將其改造為一個體積為的正方體集裝箱，改造后正方體的棱長是原來正方體棱長的（

）A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍6．按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x的值是27，則輸出的y的值是（

）A． B． C． D．二、填空題7．計(jì)算：，，．8．已知與互為相反數(shù)，則與的積的立方根為．9．已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則．10．小明是一個電腦愛好者，他設(shè)計(jì)了一個程序，其流程圖如下，當(dāng)輸入的值是64時，輸出的值是．11．若將一個棱長為的立方體體積減少（），而保留立方體形狀不變，則棱長應(yīng)減少（用含的代數(shù)式表示），若，則棱長應(yīng)減少．12．（1）填表：a110001000000（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①，則______，______；②已知，則______．三、解答題13．求下列各數(shù)的立方根：(1)；(2)；(3)；(4)．14．求下列各式中的值：(1)(2)15．計(jì)算：(1)(2)16．將一正方體鐵塊完全浸入圓柱形玻璃杯的水中，水位升高了．如果玻璃杯內(nèi)部的底面半徑為，那么正方體的棱長是多少毫米？（取，結(jié)果取整數(shù)．）17．已知：和是某正數(shù)的兩個不相等的平方根，的立方根為．(1)求、的值；(2)求的算術(shù)平方根．18．某正數(shù)的兩個平方根是與，且的算術(shù)平方根是5．(1)求m，n的值；(2)求的立方根．19．觀察下表，并解決問題．a(chǎn)0.00040.044400400000.020.2220200(1)根據(jù)上表，可以得到被開方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間的小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律：若被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動兩位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右（或向左）移動______位．(2)已知，，則______．(3)根據(jù)上述探究過程類比研究一個數(shù)的立方根，已知，，，則______．20．【觀察】①；②；③；④．【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)上