第3講空間向量與空間角一、單項選擇題1．A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點()A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．無法判斷是否共面2．(2022·溫州模擬)在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1與底面垂直，上、下底面均為矩形，AB＝1，AD＝AA1＝A1B1＝2，則下列各棱中最長的是()A．BB1 B．B1C1C．CC1 D．DD13.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E為側(cè)棱DD1上一點，若直線BD1∥平面AEC，則二面角E－AC－B的正切值為()A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)4．(2022·菏澤檢測)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為3，A1在底面ABC上的射影點D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)5．(2022·全國甲卷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則()A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°6．向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量a與b，規(guī)定：①a×b為同時與a，b垂直的向量；②a，b，a×b三個向量構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系(如圖1)；③eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a×b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))sin〈a，b〉；④若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a×b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1，z1,y2，z2))，－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1，z1,x2，z2))，＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1，y1,x2，y2))))，其中eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a，b,c，d))＝ad－bc.如圖2，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))×eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))×eq\o(AA1,\s\up6(→))D．長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝(eq\o(AB,\s\up6(→))×eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(C1C,\s\up6(→))二、多項選擇題7．(2022·山東聯(lián)考)若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b，c))構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是()A．a(chǎn)＋b＋c，a－b，2b＋cB．a(chǎn)－b，a－c，b－cC．a(chǎn)＋2b，a－2b，a＋cD．a(chǎn)－2b，6b－3a，－c8．(2022·廣州模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝4，則下列命題為真命題的是()A．若直線AC1與直線CD所成的角為φ，則tanφ＝eq\f(5,2)B．若經(jīng)過點A的直線l與長方體所有棱所成的角相等，且l與平面BCC1B1交于點M，則AM＝eq\r(29)C．若經(jīng)過點A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則sinθ＝eq\f(\r(3),3)D．若經(jīng)過點A的平面β與長方體所有面所成的二面角都為μ，則sinμ＝eq\f(\r(6),3)三、填空題9．在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點M是點N(2，－3,5)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點，點P(1,2,3)關(guān)于x軸的對稱點為Q，則線段MQ的長度等于________．10.如圖，矩形ABCD是圓柱O1O2的軸截面，AB＝2，AD＝3，點E在上底面圓周上，且eq\o(EC,\s\up8(︵))＝2eq\o(DE,\s\up8(︵))，則異面直線AE與O2C所成角的余弦值為________．11.如圖，在二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2eq\r(2)，則這個二面角的大小為________．12．(2022·南通模擬)已知正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，P是正六棱柱內(nèi)(不含表面)的一點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是________．四、解答題13.(2022·莆田質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，F(xiàn)為PD的中點．(1)證明：PB∥平面AFC；(2)請從下面三個條件中任選一個，補充在橫線上，并作答．①∠ABC＝eq\f(π,3)；②BD＝eq\r(3)AC；③PC與平面ABCD所成的角為eq\f(π,4).若PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，且______，求平面ACF與平面ACD夾角的余弦值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．14.(20