2025-2026學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬考卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：華東師大版九年級(jí)上冊(cè)第21章二次根式，第22章一元二次方程，第23章圖形的相似。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可得出答案．【詳解】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；B、不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；C、不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；D、不是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．2．若二次根式有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于等于0是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴，故選B．3．下列各組長(zhǎng)度的線段（單位：）中，成比例線段的是（）A.1，2，3，4 B.1，2，3，6 C.2，3，4，5 D.1，3，5，10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)成比例線段的概念，對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【詳解】A、1×4≠2×3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、1×6=2×3，故選項(xiàng)正確；

C、2×5≠3×4，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、1×10≠3×5，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的概念．對(duì)于四條線段，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，那么，這四條線段叫做成比例線段．注意用最大的和最小的相乘，中間兩數(shù)相乘．4．用配方法解方程，則配方正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查運(yùn)用配方法解一元二次方程，先移項(xiàng)、然后再給等式兩邊同時(shí)加上，然后再化簡(jiǎn)即可解答．掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，

∴，

∴，

∴．

故選：B．5．如圖，已知與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查位似變換、平行線的判定．結(jié)合位似圖形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，∴，，且相似比為，∴．故A，B選項(xiàng)正確，不符合題意；與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，，．故C選項(xiàng)正確，不符合題意，D選項(xiàng)不正確，符合題意．故選：D．6．如圖，，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．詳解】解：，，，，或(不符合題意，舍去)，，，故選：．7．某市2018年底森林覆蓋率為63%．為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”發(fā)展理念，該市大力開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為x，那么，符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年底森林覆蓋率＝2018年底森林覆蓋率乘，據(jù)此即可列方程求解．【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，列出方程即可．8．如圖，已知，添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定定理，先證明，再根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，添加條件，結(jié)合條件，可以根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明，故A不符合題意；添加條件不能證明，故B符合題意；添加條件，結(jié)合條件，可以根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明，故C不符合題意；添加條件，結(jié)合條件，可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且它們的夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明，故D不符合題意；故選：B．9．如圖，在正方形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)和勾股定理可得，進(jìn)而得到，，再根據(jù)解答即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，在中，，∴，解得，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，故選：．10.若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則關(guān)于的一元二次方程必有一根為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程的解的定義，屬于中考?？碱}型．因?yàn)闈M足方程，所以，兩邊同時(shí)除以即可確定所求方程的一個(gè)根．【詳解】解：把代入一元二次方程，得，兩邊除以，得，，是一元二次方程的一根，故選：C．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）11．計(jì)算__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式的除法：，利用此法則直接求解即可．【詳解】解：；故答案為：．12．若1是關(guān)于x的方程的根，則a的值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】把1代入方程即可．【詳解】解：把1代入方程得，∴故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查已知方程根求參數(shù)的做法，能夠正確代入方程計(jì)算是解題關(guān)鍵．13．已知a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．若一元二次方程的兩個(gè)根為，則．熟記相關(guān)結(jié)論即可．由題意得：；即可求解；【詳解】解：由題意得：；∴，故答案為：14．若，則=________【答案】.【解析】【詳解】∵，∴．15．如圖所示，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的邊的中點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．利用三角形的中位線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的邊的中點(diǎn)，∴．∴是的中位線，∴，，∴,∴，∵，∴，∴，故答案為：3．16．如圖，在中，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，連接．當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線上時(shí)，①；②；③；④以上結(jié)論正確的是_________．【答案】①②③【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而推出為等腰直角三角形，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，故①正確；∴，，∴，∵A，D，E在同一條直線上，∴，故②正確；∴，∴，∴，故③正確；∴；故④錯(cuò)誤；故答案為：①②③三、解答題（本大題共9小題，滿分86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．（8分）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．【詳解】解：原式18．（共8分）解方程：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查求解一元二次方程．掌握各類求解方法是解題關(guān)鍵．（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用配方法即可求解；【小問(wèn)1詳解】解：，，解得：；【小問(wèn)2詳解】解：，，，解得：19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入求值，即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．20．（8分）新能源汽車如今已成為越來(lái)越多人購(gòu)車的首選．某停車場(chǎng)為了解決充電難的問(wèn)題，現(xiàn)將長(zhǎng)為130米，寬為80米的矩形停車場(chǎng)進(jìn)行改造．如圖，沿著和修建寬度相同的充電樁區(qū)域，，剩余停車場(chǎng)的面積為5000平方米，求邊和邊減少的長(zhǎng)度．【答案】30米．【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)邊和邊減少的長(zhǎng)度是米，則剩余部分是長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，根據(jù)剩余停車場(chǎng)的面積為5000平方米，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)邊和邊減少的長(zhǎng)度是米，則剩余停車場(chǎng)是長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：邊和邊減少的長(zhǎng)度是30米．21．（8分）如圖，在中，，．（1）尺規(guī)作圖：在上取一個(gè)點(diǎn)，使得；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接，求證：．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）作的平分線交于點(diǎn)即可；（2）由，得，由，，則，由，即可得證．【小問(wèn)1詳解】解：作的平分線交于點(diǎn)，理由：∵，，∴，∴，∴，∴，故點(diǎn)即為所作；【小問(wèn)2詳解】證明：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖—作角平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確地作出的平分線是解題的關(guān)鍵．22．（10分）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)解，求整數(shù)的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了根的判別式．（1）先計(jì)算根的判別式的值得到，則可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理數(shù)的整除性得到，從而確定整數(shù)m的值．【小問(wèn)1詳解】證明：，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；【小問(wèn)2詳解】解：，∴，，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)解，∴，∴整數(shù)的值為2．（10分）根據(jù)以下銷售情況，解決銷售任務(wù)．銷售情況分析總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，它們的銷售情況如下：店面甲店乙店日銷售情況每天可售出20件，每件盈利40元．每天可售出32件，每件盈利30元．市場(chǎng)調(diào)查經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，甲、乙兩家店一天都可多售出2件．情況設(shè)置設(shè)甲店每件襯衫降價(jià)元，乙店每件襯衫降價(jià)元．任務(wù)解決任務(wù)1甲店每天的銷售量（用含的代數(shù)式表示）．乙店每天的銷售量（用含的代數(shù)式表示）．任務(wù)2當(dāng)，時(shí)，分別求出甲、乙店每天的盈利．任務(wù)3總公司規(guī)定兩家分店下降的價(jià)格必須相同，請(qǐng)求出每件襯衫下降多少元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．【答案】任務(wù)1：件，件；任務(wù)2：甲店每天的盈利為1050元，乙店每天的盈利為1040元；任務(wù)3：11元【解析】【分析】任務(wù)1，由題意即可得出結(jié)論；任務(wù)2，由盈利＝每件盈利×銷售量，分別列式計(jì)算即可；任務(wù)3，設(shè)每件襯衫下降元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：任務(wù)1，根據(jù)題意得：甲店每天的銷售量為件，乙店每天的銷售量為件，故答案為：件，件；任務(wù)2，當(dāng)時(shí)，甲店每天的盈利為（元）；當(dāng)時(shí)，乙店每天的盈利為（元）；任務(wù)3，設(shè)每件襯衫下降元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元，由題意得：，整理得：，解得：，即每件襯衫下降11元時(shí)，兩家分店一天的盈利和為2244元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、有理數(shù)的混合運(yùn)算，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24．（13分）若，是一元二次方程的兩根，則有，，由此可知，一元二次方程的兩根和、兩根積是由方程的系數(shù)確定的，我們把這個(gè)關(guān)系稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．若，是方程的兩根，記，，，．（1）求：；．（直接寫出所求數(shù)值）（2）當(dāng)為不小于的整數(shù)時(shí)，求證：；（3）利用（2）中所證明的結(jié)論，求的值．【答案】（1），（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，寫出，的值，然后運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，求出，的值；（2）由，是方程的根，得到，進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論得到：．【小問(wèn)1詳解】解：，是方程的兩根，，，，，故答案為：，；小問(wèn)2詳解】證明：，是方程的根，，，，【小問(wèn)3詳解】解：由（1）（2）有：．25．（13分）如圖1，在中，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，以為斜邊，在外作，使得，且．現(xiàn)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接，與交于點(diǎn)F．（1）如圖2，若，且，①求的值；②求線段的長(zhǎng)．（2）如圖3，連接，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接，求證：．【答案】（1）①②（