第第頁北師大版（2024）八年級上冊數(shù)學(xué)第一章《勾股定理》素養(yǎng)測評卷(滿分:120分時間:120分鐘)一、選擇題(本題共10小題,每小題3分,共30分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是 ()A.3,4,6 B.1.5,2,2.5 C.9,12,15 D.6,8,132.如圖,小明將一張長為20cm,寬為15cm的長方形紙片(AE>DE)剪去了一角,量得AB=3cm,CD=4cm,則剪去的直角三角形的斜邊長為 ()A.5cm B.12cm C.16cm D.20cm3.在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,則下列結(jié)論正確的是()A.△ABC是直角三角形,且∠A=90°B.△ABC是直角三角形,且∠B=90°C.△ABC是直角三角形,且∠C=90°D.△ABC不是直角三角形4.(2025保定高碑店月考)如圖,小亮家的木門左下角有一點受潮,他想檢測門是否變形,準備采用如下方法:先測量門的邊AB和BC的長,再測量點A和點C間的距離,由此可推斷∠B是否為直角,這樣做的依據(jù)是 ()A.勾股定理B.三角形內(nèi)角和定理C.如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形D.直角三角形的兩銳角互余5.如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5cm,BC=8cm,則AB邊上的高為 ()A.2.4cm B.3cm C.4.8cm D.無法確定6.如圖,圓柱的底面直徑為AB,高為AC,一只螞蟻在C處,沿圓柱的側(cè)面爬到B處?，F(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”,在側(cè)面展開圖上畫出螞蟻爬行的最短路線,正確的是 () A B C D7.如圖,有一個小水池,水面是一個邊長為14dm的正方形,在水池正中央有一根蘆葦,它高出水面1dm,如果把這根蘆葦拉向水池的一邊,它的頂端恰好到達池邊的水面,則水的深度是 ()A.15dm B.24dm C.25dm D.28dm8.(2025沈陽月考)下列說法正確的是 ()A.在Rt△ABC中,已知兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為5B.若△ABC的三邊長滿足BC2+AC2=AB2,則∠A=90°C.若三角形的三邊長之比為8∶16∶17,則該三角形是直角三角形D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,則△ABC是直角三角形9.如圖,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC折疊,使點A與BC的中點D重合,折痕為MN,則線段BN的長為 ()A.53 B.5C.4 D.510.如圖,在正方形方格中,每個小正方形的邊長都是一個單位長度,點A,B,C,D,E均在小正方形方格的頂點上,線段AB,CD交于點F。若∠CFB=α,則∠ABE等于 ()A.180°-α B.180°-2α C.90°+α D.90°+2α二、填空題(本題共5小題,每小題3分,共15分)11.如圖,陰影部分是一個正方形,此正方形的面積為cm2。

12.如圖,一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部12m處,旗桿折斷之前的高度是。

13.(2024陜西中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,E是邊AB上一點,連接CE,在BC的右側(cè)作BF∥AC,且BF=AE,連接CF。若AC=13,BC=10,則四邊形EBFC的面積為。

14.如圖,一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的長度為hcm,則h的取值范圍是。

15.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC邊上的中線AD=6,則△ABD的面積是。

三、解答題(本題共8小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)16.(8分)如圖,小亮想知道學(xué)校旗桿的高度,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2m,當(dāng)他把繩子的下端拉開8m后,下端剛好接觸到地面,則學(xué)校旗桿的高度為多少?17.(8分)如圖,已知在△ABC中,CD⊥AB于點D,BD=9,BC=15,AC=20。(1)求CD的長;(2)求AB的長。18.(8分)某市舉行了“青少年無人機設(shè)計大賽”,張帆同學(xué)用自己設(shè)計的無人機測量某大樓的高度AB。如圖,張帆站在地面上的點D處,將無人機從點C處放飛,無人機沿直線飛行到大樓頂端A處后停止。測得無人機飛行的路程AC=13m,張帆同學(xué)的身高CD=1.6m,張帆同學(xué)到大樓AB的水平距離BD=CE=5m,已知CD⊥BD,AB⊥BD,CE⊥AB,BE=CD,求大樓的高度AB。19.(8分)一個幾何體從三個方向看到的形狀如圖所示,如果一只螞蟻要從這個幾何體中的點B出發(fā),沿表面爬到CD的中點E,請你求出這個線路的最短路徑長的平方。(結(jié)果保留π)20.(8分)如圖,教學(xué)樓走廊左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻底部的距離為0.7m,頂端距離地面2.4m。如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2m,求教學(xué)樓走廊的寬度。21.(10分)如圖,小島A位于港口C的北偏西39°方向上,小島B位于港口C的北偏東51°方向上,且與港口C相距200nmile,小島B與小島A相距250nmile。(1)求小島A與港口C的距離;(2)在小島B處有一艘載滿貨物的貨船,以每小時20nmile的速度從小島B出發(fā)沿BA方向航行,當(dāng)貨船距離港口C最近時,求貨船還需航行多長時間才能到達小島A?22.(12分)發(fā)現(xiàn):如果兩個連續(xù)的正整數(shù)的和可以表示成某一個正整數(shù)的平方,那么以這三個正整數(shù)為邊長的三角形是直角三角形。驗證:如12+13=25=52,請判定以12,13和5為邊長的三角形是直角三角形。探究:設(shè)兩個連續(xù)的正整數(shù)m和m+1的和可以表示成正整數(shù)n2,請驗證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確。應(yīng)用:尋找一組含正整數(shù)9,且滿足“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論的數(shù)字。23.(13分)問題情境:勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其妙處各有不同,其中的“面積法”給了小聰靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2所示擺放時,都可以用“面積法”來驗證勾股定理。下面是小聰利用圖1驗證勾股定理的過程:將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,試說明:a2+b2=c2。解:如圖1,連接DB,DC,過點D作DG⊥BC,交BC的延長線于點G,則DG=EC=b-a。因為S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-所以12b2+12ab=12c2+12a(所以a2+b2=c2。請參照上述證法,利用圖2完成下面的驗證。將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠BAF=90°,試說明:a2+b2=c2。圖1圖2

【詳解答案】1.C2.D3.B解析:因為在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,所以AB2+BC2=82+152=289=172=AC2。所以△ABC是直角三角形。因為AC為斜邊,所以∠B=90°。故B正確。故選B。4.C解析:若AB2+BC2=AC2,則△ABC是直角三角形,且∠B=90°。故選C。5.C解析:如圖,過點A作AD⊥BC于點D,過點C作CE⊥BA交BA的延長線于點E。因為AB=AC=5cm,BC=8cm,AD⊥BC,所以BD=CD=12BC=4cm。在Rt△ADB中,AD2=AB2-BD2=52-42=9。所以AD=3cm。因為S△ABC=BC·AD2=6.C解析:將圓柱側(cè)面沿AC“剪開”,側(cè)面展開圖為長方形。因為圓柱的底面直徑為AB,所以B是展開圖的一邊的中點。因為兩點之間線段最短,所以C選項符合題意。故選C。7.B解析:依題意畫出示意圖,如圖所示。設(shè)蘆葦長AB=AB'=xdm,則水深A(yù)C=(x-1)dm。因為B'E=14dm,所以B'C=7dm。在Rt△AB'C中,因為CB'2+AC2=AB'2,所以72+(x-1)2=x2。解得x=25。所以這根蘆葦長25dm。所以水的深度是25-1=24(dm)。故選B。8.D解析:在Rt△ABC中,已知兩邊長分別為3和4,則第三邊的長有兩種情況,故A說法錯誤,不符合題意;若△ABC的三邊長滿足BC2+AC2=AB2,則∠C=90°,故B說法錯誤,不符合題意;若三角形的三邊長之比為8∶16∶17,82+162≠172,則該三角形不是直角三角形,故C說法錯誤,不符合題意;在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,則∠C=180°×61+5+6=90°,則△ABC9.C解析:設(shè)BN=x,由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=AB-BN=9-x。因為D是BC的中點,所以BD=12BC=3。在Rt△BDN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4。故線段BN10.C解析:如圖,過點B作BG∥CD,且BG=CD,連接EG。因為BG∥CD,所以∠ABG=∠CFB=α。因為BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,所以BG2+BE2=EG2。所以△BEG是直角三角形,∠GBE=90°。所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α。故選C。11.64解析:由題圖可知172-152=64,所以正方形的面積為64cm2。12.18m解析:旗桿折斷后,落地點與旗桿底部的距離為12m,旗桿在離地面5m處折斷,且旗桿與地面是垂直的,所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形。根據(jù)勾股定理,得122+52=132,所以旗桿折斷之前的高度為13+5=18(m)。13.60解析:因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。因為BF∥AC,所以∠ACB=∠CBF。所以∠ABC=∠CBF。所以BC平分∠ABF。如圖,過點C作CM⊥AB于點M,CN⊥BF于點N,則CM=CN。因為S△ACE=12AE·CM,S△CBF=12BF·CN,且BF=AE,所以S△CBF=S△ACE。所以四邊形EBFC的面積=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA。因為AC=13,所以AB=13。設(shè)AM=x,則BM=13-x,由勾股定理,得CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,所以132-x2=102-(13-x)2。解得x=11913。所以CM=12013。所以S△CBA=12AB14.5≤h≤6解析:當(dāng)牙刷與杯底垂直時h最大,h的最大值為18-12=6。當(dāng)牙刷與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小。各點字母標注如圖所示,此時AB2=AC2+BC2=122+52=169,所以AB=13cm。所以h=18-13=5。所以h的取值范圍是5≤h≤6。15.15解析:如圖,延長AD到點E,使AD=DE,連接CE。在△ABD和△ECD中,AD所以△ABD≌△ECD(SAS)。所以AB=EC=5,AD=ED=6。所以AE=12。在△AEC中,AC=13,AE=12,CE=5,所以AC2=AE2+CE2。所以∠E=90°。所以S△ABD=S△ECD=12EC·DE=116.解:設(shè)學(xué)校旗桿的高度為xm。由勾股定理,得x2+82=(x+2)2。解得x=15。答:學(xué)校旗桿的高度為15m。17.解:(1)在△BCD中,因為CD⊥AB,所以BD2+CD2=BC2。所以CD2=BC2-BD2=152-92=144。所以CD=12。(2)在△ACD中,因為CD⊥AB,所以CD2+AD2=AC2。所以AD2=AC2-CD2=202-122=256。所以AD=16。所以AB=AD+BD=16+9=25。18.解:因為CE⊥AB,所以∠AEC=90°。因為AC=13m,BD=CE=5m,所以AE2=AC2-CE2=132-52=144。所以AE=12m。因為BE=CD=1.6m,所以AB=AE+BE=12+1.6=13.6(m)。答:大樓的高度AB為13.6m。19.解:由題圖可知,此幾何體為圓柱,將其側(cè)面的一半展開后,如圖所示,連接BE,則BE的長是螞蟻從點B出發(fā),沿表面爬到CD的中點E的最短路徑長。根據(jù)題意,得BC=π×2×12=π,CE=12在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2=BC2+CE2=π2+9。所以這個線路的最短路徑長的平方是π2+9。20.解:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=0.7m,AC=2.4m,所以AB2=0.72+2.42=6.25。在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2m,BD2+A'D2=A'B2,所以BD2+22=6.25。所以BD2=2.25。因為BD>0,所以BD=1.5m。所以CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(m)。答:教學(xué)樓走廊的寬度是2.2m。21.解:(1)由題意得∠ACB=39°+51°=90°,BC=200nmile,AB=250nmile。在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=