11信號分析與處理課堂用書測試信號處理技術（第3版）SignalAnalysisandProcessing

本科生課程課程代碼：課程學時：

第7章離散信號與系統(tǒng)的z域分析7.1序列的z變換

7.2

z變換的性質(zhì)7.3

z反變換7.4信號的z變換與傅氏變換、拉氏

變換的關系7.5

離散系統(tǒng)的z域分析2內(nèi)容提要3z變換的定義定義一:

z變換的定義可以對模擬信號進行沖激抽樣經(jīng)拉氏變換引出;常用于自動控制采樣系統(tǒng)的分析。定義二:也可直接給出數(shù)學定義；定義二則用于數(shù)字信號處理中。理解兩種定義方法的區(qū)別與聯(lián)系，更好地理解z變換、拉氏變換與傅氏變換之間的關系

z變換是離散信號分析和處理，離散系統(tǒng)設計和實現(xiàn)中一種重要的數(shù)學工具，它在離散系統(tǒng)中的地位與作用，相當于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換，應用它可以把離散系統(tǒng)的數(shù)學模型即差分方程轉(zhuǎn)換為簡單的代數(shù)方程，使求解過程簡化。本章內(nèi)容是數(shù)字信號處理的基礎之一。7.1序列的z變換41．由沖激抽樣信號的拉氏變換來定義若對一模擬信號作沖激抽樣，得到其沖激抽樣信號，表示為

對上式兩邊進行（雙邊）拉氏變換，得Xs(s)

7.1序列的z變換5將上式中的積分與求和的運算次序?qū)φ{(diào)，然后利用沖激函數(shù)的抽樣性，可得

對上式引入復變量,得到一個z的函數(shù)X(z)7.1序列的z變換對離散時間信號來說，通常令T＝1，則上式可直接表示為:上式即為沖激抽樣信號的雙邊z變換定義式。考慮因果信號，即＝0，t<0，單邊z變換定義式：

67.1序列的z變換72．直接定義

由于序列是嚴格意義上的離散信號，它在時間上是不連續(xù)的，因此把序列的z變換直接定義為上式為雙邊z變換，單邊z變換則可定義為7.1序列的z變換8

直接定義，是把z變換定義為離散信號由時域到z域的數(shù)學映射，是復變量z-1的冪級數(shù)，即羅朗級數(shù)。順便指出：z是一個連續(xù)復變量，具有實部分量Re(z)和虛部分量jIm(z)，所構成的平面為z平面。z也可以用極坐標表示，z=|z|，通常把|z|＝1的所有復變量形成的圓稱單位圓，所以，單位圓可表示成

7.1序列的z變換9z變換的收斂域z變換是復變量z

-1的冪級數(shù)，一般是無窮級數(shù)，只有級數(shù)收斂時，z變換才有意義。與收斂直接相關的是收斂域問題，通常把使級數(shù)在z平面上收斂的所有點zi集合，稱之為z變換的收斂域（定義域）。由級數(shù)理論可知，所謂級數(shù)收斂，是對于級數(shù)

7.1序列的z變換10當z在z平面上取值zi

，求出級數(shù)前n項的和，記為Sn(z)，若下式成立，即則稱級數(shù)X(z)收斂，記為仍根據(jù)級數(shù)理論，級數(shù)收斂的充分條件是級數(shù)絕對可和，即級數(shù)滿足

7.1序列的z變換由上式可知：一般無窮級數(shù)收斂的判定已轉(zhuǎn)換為相對應正項級數(shù)的收斂判定，通?？梢杂帽戎蹬卸ǚɑ蚋蹬卸ǚㄅ卸ㄕ椉墧?shù)的收斂性，從而求出收斂域。

比值判定法：若有一正項級數(shù),設其后項與前項比值的極限為R，即

則有：R<1時，級數(shù)收斂；R>1時，級數(shù)發(fā)散，R=1時，不定，可能收斂，也可能發(fā)散。

117.1序列的z變換根值判定法：對于級數(shù)的一般項an

，若|an|的n次根的極限為R，即

12則有：

R<1時，級數(shù)收斂；R>1時，級數(shù)發(fā)散，R=1時，不定，可能收斂，也可能發(fā)散。7.1序列的z變換

判定z變換收斂域的必要性還在于：對于雙邊z變換，只有明確指定z變換的收斂域，才能單值確定其所對應的序列。例7.1：

求出下列兩個不同序列的z變換及其收斂域。

137.1序列的z變換

解：x1(n)的z變換X1(z)為

由比值判定法，這一級數(shù)收斂的條件為

||<1

即|z|>|a|

則級數(shù)收斂于

147.1序列的z變換上述運算結(jié)果表明：兩個不同的序列可以對應相同的z變換，而收斂域并不同.15為了使序列和z變換是一對一的對應，在給出序列z變換的同時，必須指定其收斂域。類似方法，可求出的Z變換：7.1序列的z變換圖7.1收斂域的圖形表示

收斂域通常也用圖形來形象表示，實線表示等于，虛線表示不等于167.1序列的z變換1．有限長序列的收斂域2．右邊序列的收斂3．左邊序列的收斂4．雙邊序列的收斂177.1序列的z變換Z變換收斂域小結(jié)這類序列只在有限區(qū)間內(nèi)（n1

≤n≤n2）具有非零值，根據(jù)n1和n2相對于零點的位置不同有三種情況：1．有限長序列（有始有終序列）187.1序列的z變換幾類常見序列z變換的收斂域上式是一有限項級數(shù)，是否收斂,根據(jù)級數(shù)收斂的定義，只要看z-n

就能確定。分析第(1)種情況：則其z變換197.1序列的z變換收斂域不包括z=0。所以除z=0和z=∞外，有限長序列x(n)在z平面上處處收斂。若n1<0,有：

，當z=∞,X(z)→∞，收斂域不包括z=∞

。又若n2>0，則207.1序列的z變換n在正/負軸位置，關于收斂域（不包括z=0/不包括z=∞）判定適合任何序列?；蛘哒f，n不在正/負軸位置，收斂域（包括z=0/包括z=∞）判定適合任何序列。序列邊界n（無論左右）與收斂域邊界是否包含0和∞

的規(guī)律：若邊界n<0,收斂域不包括z=∞；若邊界n>0,收斂域不包括z=0；若上下邊界n1<0且n2>0，收斂域不包括z=0和z=∞。邊界點n在正/負軸位置，與收斂域（不包括z=0/不包括z=∞）判定的關系適合任何序列。217.1序列的z變換圖7.2有限長序列及其z變換的收斂域227.1序列的z變換

右邊序列是指序列x(n)，當n<n1時，x(n)=0。序列與其z變換可表示為2．右邊序列（有始無終序列）由根值判定法，上述z變換要收斂，應滿足237.1序列的z變換式中的Rn為級數(shù)的收斂半徑。當n1＝0，右邊序列為因果序列，是最常見的一類序列，其收斂域包括z=∞，如圖7.3。圖7.3右邊（因果）序列及其z變換的收斂域247.1序列的z變換25

注意：7.1序列的z變換若n1≥0，則收斂域也應包括z=∞，即收斂域為Rn<|z|≤∞。

若n1<0，則收斂域不應包括z=∞，即收斂域為Rn<|z|<∞。這類序列當n>n2

時,x(n)=0，可表示為3．左邊序列（無始有終序列）其z變換為把上式改寫為(該變換很重要)267.1序列的z變換由根值判定法，可知上述級數(shù)收斂的條件為有可見：左邊序列收斂域為以收斂半徑Rm

的圓內(nèi)域。若n2>0，收斂域不包含z=0點，即0<|z|<Rm

；若n2

≤0，收斂域包含z=0點，即|z|<Rm

。如圖7.4。277.1序列的z變換28左邊序列收斂域為以收斂半徑Rm

的圓內(nèi)域。若n2>0，收斂域不包含z=0點，即0<|z|<Rm

；若n2≤0，收斂域包含z=0點，即|z|<Rm，如圖。

|z|<Rm…x(n)

0n2

n圖7.4左邊序列及其z變換的收斂域jIm(z)Re(z)7.1序列的z變換29雙邊序列x(n)，-∞<n<∞，其z變換為

顯然，上述雙邊序列可以看成是一個左邊序列和一個右邊序列相加構成，其收斂域常為圓環(huán)形，如下圖：4．雙邊序列（無始無終序列）7.1序列的z變換圖7.5雙邊序列及其z變換的收斂域307.1序列的z變換1.序列z變換的收斂域與序列的類型有關；2.最常見的序列為右邊序列（包括因果序列），其z變換的收斂域為圓外域。Z變換收斂域小結(jié)31例7.2求雙邊序列的雙邊z變換及收斂域（設a>0,b>0,b>a）。解：

7.1序列的z變換32

上式右邊的第一項為右邊序列的z變換，收斂域為|z|>a

，第二、三項是左邊序列的z變換，收斂域為|z|<b

，從而可得

由上式，X(z)有兩個零點：z=0和z=(a+b)/2，兩個極點：z=a

和z=b

，其收斂域為一環(huán)狀域（a<|z|<b），并且以極點為邊界，如圖7.6。7.1序列的z變換1.一般情況，收斂域是以極點為邊界的2.雙邊可分解為右邊和左邊序列，分別對應求解，最終得到z變換及其收斂域。337.1序列的z變換圖7.6例7.2中的z變換收斂域與零、極點分布★x(n)的收斂域（ROC）為z平面以原點為中心的圓環(huán)；★ROC內(nèi)不包含任何極點（以極點為邊界）；★有限長序列的ROC為整個z平面，可能除去z=0和z=

；★右邊序列的ROC為的圓外外；

★雙邊序列的ROC為的圓環(huán)。347.1序列的z變換★左邊序列的ROC為的圓內(nèi)外；收斂域總結(jié)35典型離散時間信號（序列）的z變換

1．單位抽樣序列

(7.15)

收斂域為整個z平面，0≤|z|≤∞。7.1序列的z變換

2．單位階躍序列

由根值判定法，有|z-1|<1，即：|z|>1時，上述z變換收斂，并且其z變換等于

(7.16)367.1序列的z變換

3．矩形序列

(7.17)

矩形序列為有限長序列，由上述級數(shù)和可知：其收斂域為0<|z|≤∞。

377.1序列的z變換4．斜變序列斜變序列為

x(n)=n

u(n)其z變換為

不好直接求解，采用間接方法，由式(7.14)可知387.1序列的z變換

將上式兩邊對z

-1

求導，可得上式兩邊再各乘z

-1

，作相應整理后，即可得到斜變序列的z變換為

(7.18)

采用類似的方法，對式（7.18）兩邊對z

-1

求導，還可進一步得到……397.1序列的z變換5．單邊指數(shù)序列其z變換在例7.1中已求出，是

若令a=，則有

再令a=，則有

407.1序列的z變換將式(7.19)中寫成，并對式(7.17)兩邊對z-1

求導，有

(7.23)類推可得(7.22)

另外，若令a=

，則有

(7.24)

其收斂域為|

|<1，即|z|>|

|。417.1序列的z變換6．正弦與余弦序列正、余弦序列可以應用歐拉公式分別分解為兩個復指數(shù)序列相加，它們的z變換為兩個相應復指數(shù)序列z變換的相加，即

則正、余弦序列的z變換分別為

(7.25)427.1序列的z變換

(7.26)

由以上兩式和式(7.24)可得指數(shù)衰減（

<1）或增幅（

>1）的正、余弦序列的z變換為

(7.27)

(7.28)437.1序列的z變換

第7章離散信號與系統(tǒng)的z域分析7.1序列的z變換

7.2

z變換的性質(zhì)7.3

z反變換7.4信號的z變換與傅氏變換、拉氏

變換的關系7.5

離散系統(tǒng)的z域分析44內(nèi)容提要在離散時間信號的分析和處理中，常常要對序列進行相加、相乘、延時和卷積等運算，z變換的特性對于簡化運算非常有用。由于z變換的性質(zhì)與拉氏變換和傅氏變換所具有的性質(zhì)相類似，下面將從應用的角度（不給出證明），討論某些后述內(nèi)容中要涉及到的特性，其它性質(zhì)將在附錄7中列出。457.2z變換的性質(zhì)1．線性若：則：

式中a、b為任意常數(shù)。線性特性說明z變換具有疊加性和均勻性，是一種線性變換。

467.2z變換的性質(zhì)

兩個序列線性組合后的序列，其z變換收斂域一般是兩個序列收斂域的重疊部分，Rn

取Rxn

和Ryn

中較大者，Rm取Rxm

和Rym

中較小者，表示為

當序列線性組合中z變換出現(xiàn)零、極點相互抵銷時，則收斂域可能會擴大，看一個例子。477.2z變換的性質(zhì)例7.3序列，求其z變換。

解：設其z變換由線性特性

48

由于x(n)和y(n)線性組合序列的z變換，在z=a處的零、極點相互抵消，收斂域由|z|>a，擴大至整個z平面。7.2z變換的性質(zhì)2．時移特性（位移性）時移特性表征序列時移后的z變換與時移前原序列z變換的關系。這種關系對單邊、雙邊z變換有所不同，分別加以討論。（1）雙邊z變換的時移特性若序列x(n)的雙邊z變換為

Z[x(n)]=X(z)

則序列右移后，其雙邊z變換為(7.30)497.2z變換的性質(zhì)

序列左移后的雙邊z變換為

(7.31)

式中m為任意正整數(shù)。由上述特性表達式可見：

如果原序列z變換的收斂域包括z=0或z=

，則序列位移后z變換的零極點可能有變化；

如果原序列z變換的收斂域不包括z=0或z=∞，則序列位移后z變換的零極點不會發(fā)生變化。507.2z變換的性質(zhì)

（2）單邊z變換的時移特性若序列x(n)的單邊z變換為

Z[x(n)u(n)]=X(z)

則序列左移后的單邊z變換為

(7.32)

序列右移后的單邊z變換為

(7.33)517.2z變換的性質(zhì)如果序列x(n)為因果序列，右移后的單邊z變換，由于式（7.33）右邊第二項均為零，則應為

52

由于實際中經(jīng)常應用的是因果序列，所以上述兩式最為常用。

因果序列左移后的單邊z變換仍應為7.2z變換的性質(zhì)k為正整數(shù)，N為周期，N>0，設該周期序列的第一個周期（稱為主值序列）為x1(n)，并有求周期序列的z變換。解:xp(n)可看作x1(n)右移N，2N，…，而構成的，可表示為例7.4已知單邊（右邊）周期序列

537.2z變換的性質(zhì)

利用z變換的時移特性，可得

若||<1，即|z|>1，則上述級數(shù)收斂，有因此可得547.2z變換的性質(zhì)

3．z域微分特性若：Z[x(n)]=X(z)

則(7.36)

還可進一步得出

(7.37)

例7.5

已知序列的z變換，試求序列的z變換。

解：由微分特性可得

55其結(jié)果與前面單邊指數(shù)序列中所推得的結(jié)果相同?？紤]時域的微分性質(zhì)7.2z變換的性質(zhì)4．z域尺度變換特性若：則：(7.38)上式表明：x(n)乘以指數(shù)序列，相應于z平面尺度展縮，尺度變化為（）。還有下列類似的關系式：

(7.39)以及

(7.40)567.2z變換的性質(zhì)例7.6試求的z變換Y(z)。

解：設，則，而u(n)的z變換

E(z)應為

所以有

收斂域均為|z|>1。

577.2z變換的性質(zhì)

由這個例子可以看出：原序列E(z)的原極點為z=1，

而Y(z)=

的極點，相當于原極點逆時針旋轉(zhuǎn)了

0弧度。可以認為，當用乘以原序列時，其z變換的極點與原極點相比，幅值不變，相角增加了

0

弧度，所以該特性也稱為頻移特性。58復習對比FT尺度變換特性若:則:7.2z變換的性質(zhì)5．時域卷積特性若：Z[x(n)]=X(z)Rxn

<|z|<Rxm

Z[h(n)]=H(z)Rhn

<|z|<Rhm

則：(7.41)一般情況下，其收斂域為

考慮收斂域!若位于某一z變換收斂域的極點被另一z變換收斂域的零點抵消，則收斂域?qū)U大。597.2z變換的性質(zhì)例7.7

試求兩序列的卷積。解：

由時移卷積特性可得

607.2z變換的性質(zhì)

上述例子中，X(z)的極點z=1，被H(z)的零點所抵消，因此Y(z)的收斂域?qū)⒂蒟(z)與H(z)收斂域的重疊部分|z|>1擴大為|z|>a

。如圖7.7所示，圖中的網(wǎng)格部分是X(z)與H(z)收斂域的重疊部分，單斜線部分為兩序列卷積后收斂域的擴大部分。617.2z變換的性質(zhì)62

a1圖7.7序列卷積的收斂域7.2z變換的性質(zhì)關于序列卷積的補充637.2z變換的性質(zhì)6．序列相乘（z域卷積定理）設或C1是Y(v)和X(z/v)收斂域重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線C2是X(v)和Y(z/v)收斂域重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線647.2z變換的性質(zhì)7.帕斯瓦爾定理657.2z變換的性質(zhì)8.初值定理667.2z變換的性質(zhì)9.終值定理677.2z變換的性質(zhì)687.2z變換的性質(zhì)性質(zhì)類別序列Z變換收斂域x(n)X(z)Rxn<|z|<Rxmy(n)Y(z)Ryn<|z|<Rym線性時移a

x(n)+b

y(n)a

X(z)+b

Y(z)x(n±m(xù))Rxn<|z|<Rxmx(n+m)x(n+m)697.2z變換的性質(zhì)頻移X(z/a)Rxn<|z/a|<Rxm微分n

x(n)Rxn<|z|<Rxm共軛Rxn<|z|<Rxm時移卷積X(z)H(z)初值x(n)－因果序列|z|>Rxn終值x(n)－因果序列|z|≥1707.2z變換的性質(zhì)

第7章離散信號與系統(tǒng)的z域分析7.1序列的z變換

7.2

z變換的性質(zhì)7.3

z反變換7.4信號的z變換與傅氏變換、拉氏

變換的關系7.5

離散系統(tǒng)的z域分析71內(nèi)容提要z反變換定義

已知序列x(n)的z變換為X(z)，則由X(z)及其收斂域求出所對應序列的運算，稱為z反變換，記作

z反變換通常有圍線積分法（留數(shù)法）、冪級數(shù)展開法（長除法）和部分分式展開法等三種求解方法。還有簡便的基本序列與其z變換對關系求解法。例如，我們已經(jīng)得到

727.3z反變換如果要求以下z變換的反變換：就可以直接得到序列：還可以把序列的z變換分解為幾項基本z變換的和，分別得出相應的z反變換，再代數(shù)相加。737.3z反變換

圍線積分法是確定z反變換最基本的方法，由復變函數(shù)理論，可得到計算z反變換的圍線積分公式。若已知X(z)及其收斂域（參見圖7.8），

將上式兩端各乘以zm-1，然后沿一圍線C積分，積分路徑C

是一條在X(z)收斂域（Rn,Rm

）以內(nèi)，逆時針方向圍繞原點一周的閉合曲線，通常選擇z平面收斂域內(nèi)以原點為中心的圓，如圖7.19所示。74圍線積分法7.3z反變換0Rn

Rm

Cz平面圖7.8圍線積分路徑Re(z)jIm(z)圍線積分表示為，可得757.3z反變換由復變函數(shù)中的柯西定理，有從而，式(7.50)的右端僅m=n一項有值，其余各項都為零，式(7.50)變成經(jīng)整理最后可得：

（7.51）767.3z反變換

對于有理z變換來說，圍線積分通?？捎昧魯?shù)定理來計算，即

（7.52）

上式中的Res表示極點的留數(shù)，zm

為X(z)極點，該式說明X(z)的反變換序列x(n)是X(z)在圍線C內(nèi)各極點的留數(shù)和。77留數(shù)定理:設Z0為函數(shù)的孤立奇點,那么,積分為與C無關的定值,以

除以這個積分的值,所得的數(shù)叫做f(z)在Z0的留數(shù),記做:7.3z反變換78在Z=Zm處有S階極點在Z=Zm處有1階極點

留數(shù)化簡過程：7.3z反變換在應用上述各式時，

1、注意收斂域內(nèi)所包圍的極點情況，以及對于不同的n值，在z=0處的極點可能具有不同的階次。

2、留數(shù)法由于求解過程復雜，在離散非移變系統(tǒng)中并不常用。求Z反變換需要注意的是：同一個z變換的表達式，收斂域不同，對應的序列就不同，選擇積分圍線也不相同，應在相應的收斂域內(nèi)（圓外、圓內(nèi)或圓環(huán)域）選擇。797.3z反變換由z變換的定義

若把已知的X(z)在給定的收斂域內(nèi)展開成z的冪級數(shù)之和，則該級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)的對應項。

X(z)實際一般多為有理分式，可表示為80冪級數(shù)展開法通過長除法可將X(z)展成冪級數(shù)形式7.3z反變換應注意：在進行長除前，應先根據(jù)給定的收斂域是圓外域還是圓內(nèi)域，確定x(n)是右邊還是左邊序列，才能明確

X(z)是按z的降冪還是升冪排列來長除。

例7.8求的z反變換。81圓外域右邊序列降冪排列來長除圓內(nèi)域左邊序列升冪排列來長除7.3z反變換

解：由于給定收斂域|z|>|a|是圓外域，則x(n)應是右序列，X(z)的分子分母應按z的降冪排列進行長除。

長除后得因此827.3z反變換長除后得因此

例7.9求的z反變換。解：由于給定收斂域|z|<|a|是圓內(nèi)域，則x(n)應是左序列，X(z)的分子分母應按z的升冪排列進行長除。837.3z反變換847.3z反變換長除后得因此，最后可得

由上述兩個例子也不難看出：同一個X(z)，由于收斂域不同，對應不同的序列。857.3z反變換

部分分式展開法是先將X(z)展成簡單的部分分式之和，這些部分分式由于簡單，可以直接或者通過查表獲得各部分分式的反變換，然后相加即可得到序列x(n)?？紤]到z變換的基本形式為，因此通常的做法是先對展開，然后乘以z

，就把X(z)展成了的基本形式，最后得到序列x(n)。如果為有理真分式，并且只含一階極點，可以展開為86部分分式展開法7.3z反變換即（7.56）式中，是的極點，是的留數(shù)，即

（7.57）

如果中除含有M個一階極點外，在z=zi

處還含有一個s階高階極點，則應展成

（7.58）877.3z反變換即

(7.59)式中，與上同，則為

(7.60)當展成部分分式之后，可以得到各部分分式的反變換，相加即可得到x(n)。887.3z反變換例7.10求對應的序列。

解：由可知：

在中，有兩個一階極點=0,=1，

有一個二階極點=2

，根據(jù)式(7.58)可以展成

897.3z反變換對一階極點，按式(7.57)可得

對二階極點，按式(7.60)可得

907.3z反變換可得

由于收斂域為|z|>2，序列應為因果序列，查附錄7可得

若給定的收斂域是圓內(nèi)域或圓環(huán)域，則其反變換對應的是左序列或雙邊序列，同樣可用部分分式法來處理，但必須清楚哪些極點對應左序列，哪些極點對應右序列。917.3z反變換序號序列x(n)z變換收斂域1δ(n)1|z|≥02RN

(n)|z|>03u(n)|z|>14nu(n)|z|>15anu(n)|z|>|a|6n

anu(n)|z|>|a|7(n+1)anu(n)|z|>|a|8an-1u(n-1)|z|>|a|927.3z反變換9anu(n-1)|z|≥a10n

an-1u(n)|z|>011|z|>112|z|>113|z|>|a|14|z|>|a|15|z|>|a|16-anu(-n-1)|z|>|a|937.3z反變換

第7章離散信號與系統(tǒng)的z域分析7.1序列的z變換

7.2

z變換的性質(zhì)7.3

z反變換7.4信號的z變換與傅氏變換、拉氏

變換的關系7.5

離散系統(tǒng)的z域分析94內(nèi)容提要7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系目的:分析并找出連續(xù)信號與離散信號各種變換的關系變換關系的紐帶:沖激抽樣信號是溝通連續(xù)和離散信號的橋梁信號類字符意義連續(xù)信號沖激抽樣信號序列(離散時間信號)信號的時域表示xa(t)xs(t)x(n)拉氏變換(z變換)Xa(s)Xs(s)X

(z)傅氏變換Xa(jΩ)Xs(jΩ)X

(ejω)表7.1各種信號標識符951.沖激抽樣信號的拉氏變換Xs(s)與連續(xù)信號的拉氏變換Xa(s)之間關系：拉氏變換的指數(shù)形式為周期為T的周期沖激信號傅氏級數(shù)的表達式(周期延拓)為見例3.12的證明7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系96為采樣角頻率，則沖激抽樣信號可表示為可導出沖激抽樣信號拉氏變換的另一種形式7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系97由此，可得到?jīng)_激抽樣信號的拉氏變換有指數(shù)級數(shù)與周期延拓表示的兩種等價表達式。

即(7.65)7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系982．沖激抽樣信號的拉氏變換Xs(s)與抽樣序列的z變換X(z)之間關系

z與s變量之間的映射關系z=e

sT

，若離散時間信號為抽樣序列，即x(nT)=x(n)，并引入z=e

sT時，得到序列z變換為上式表示，z變換可以看成沖激抽樣信號的拉氏變換由s平面映射到z平面的變換。7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系99由，若，而且拉氏變換收斂域包含虛軸時，則虛軸上的拉氏變換即為其傅氏變換，或者說，沖激抽樣信號的傅里葉變換是其在虛軸上的拉氏變換。3．沖激抽樣信號的拉氏變換Xs(s)與其傅氏變換Xs(jΩ)之間的關系為1007.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系4．沖激抽樣信號的傅氏變換Xs(jΩ)與連續(xù)時間信號的傅氏變換Xa

(jΩ)之間：沖激抽樣信號傅氏變換的指數(shù)級數(shù)的形式，以及連續(xù)時間信號的傅里葉變換Xa

(jΩ)的周期延拓形式，對沖激抽樣信號而言是等價的，表示為7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系1015．沖激抽樣信號傅氏變換的指數(shù)形式與序列的關系傅里葉變換表達式：

兩相比較，若序列為抽樣序列，有：x(n)=xa(nT)，而且數(shù)字角頻率與模擬角頻率Ω，滿足ω=ΩT

，則相應頻率點上的頻譜值相等。1027.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系6．序列z變換X(z)與序列傅里葉變換X(ejω)之間：序列的傅里葉變換X(ejω)為X(z)在單位圓上的特例。7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系103此圖非常清晰地表明了：沖激抽樣信號是溝通離散信號與連續(xù)信號各種變換的橋梁橫向是連續(xù)到離散；縱向是不同變換域的變換過程P229P207P120P157P230圖7.97.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系104上述變換關系中，s采用直角坐標形式，z用極坐標的表達形式，有：

代入映射關系z=esT

，得：

從而有：

映射關系的進一步說明7.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系105

s平面與z平面的映射關系j

3π/Tπ/T0-π/T-3π/Ts=(σ

+

j

)jI

m[z]-11

Re[z]

rz=

(rej

)，s平面上的虛軸映射到z平面的單位圓上；

，s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)；

，s平面的右半平面映射到z平面的單位圓外。1067.4傅氏變換、拉氏變換與z變換的關系

第7章離散信號與系統(tǒng)的z域分析7.1序列的z變換

7.2

z變換的性質(zhì)7.3

z反變換7.4信號的z變換與傅氏變換、拉氏

變換的關系7.5離散系統(tǒng)的z域分析107內(nèi)容提要1087.5離散系統(tǒng)的Z域分析

離散系統(tǒng)時域分析的方法，可以作為離散系統(tǒng)計算機實現(xiàn)的依據(jù)，但作系統(tǒng)分析和綜合時，則不如z域分析方法簡便。

所謂z域分析方法是利用z變換的位移特性，將時域表示的差分方程變換為z域表示的代數(shù)方程，使求解分析大為簡化。109差分方程的z變換解法例7.14設描述某一離散系統(tǒng)的差分方程為

y(n)–by(n–1)=x(n)

若系統(tǒng)輸入x(n)=u(n)，起始值為y(-1)，求系統(tǒng)響應y(n)。

對上述差分方程兩邊取單邊z變換，并應用z變換的位移特性，有7.5離散系統(tǒng)的Z域分析則110將上式展成部分分式，并進行反變換得到零輸入響應穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)過程7.5離散系統(tǒng)的Z域分析由上式可見，輸出響應y(n)中包含了三個分量：第一項是輸入激勵引起的系統(tǒng)響應中的強迫分量（穩(wěn)態(tài)分量），第二項是系統(tǒng)響應中的自由分量（暫態(tài)響應），這兩項稱為零狀態(tài)響應；第三項則是由系統(tǒng)起始狀態(tài)決定的分量（瞬態(tài)分量），稱為零輸入響應。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析111112離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)1．系統(tǒng)函數(shù)的定義

系統(tǒng)函數(shù)，又稱傳遞（傳輸）函數(shù)，在系統(tǒng)分析中具有核心作用。它可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，是零初始條件下工作的系統(tǒng)中最重要的數(shù)學模型。它描述了系統(tǒng)輸入輸出間的傳輸關系，并由它能方便地求出系統(tǒng)的單位抽樣響應、差分方程、頻率響應等系統(tǒng)的重要特性，同時根據(jù)它的收斂域及零極點分布可以判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，因而對于離散系統(tǒng)的分析與綜合有著重要意義。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析1．系統(tǒng)函數(shù)的定義由前述，線性非移變系統(tǒng)可用差分方程來描述，即113或當系統(tǒng)處于零狀態(tài)下，對上式兩邊取z變換并利用z變換的位移特性可得7.5離散系統(tǒng)的Z域分析114定義系統(tǒng)函數(shù)H(z)為它表示系統(tǒng)在零狀態(tài)下，輸出序列的z變換與輸入z變換之比。因此系統(tǒng)函數(shù)H(z)反映了零狀態(tài)下，系統(tǒng)輸入輸出的傳輸關系，有

Y(z)=H(z)X(z)

7.5離散系統(tǒng)的Z域分析2．系統(tǒng)函數(shù)與差分方程

系統(tǒng)函數(shù)H(z)與差分方程的各項系數(shù)有關，所以和差分方程一樣，也是描述系統(tǒng)特征的數(shù)學模型，并且如果已知H(z)由式（7.73），交叉相乘并進行反變換，立即可以寫出系統(tǒng)的差分方程。不同的系統(tǒng)函數(shù)可以描述不同系統(tǒng)特征數(shù)學模型。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析115系統(tǒng)只含有N個極點，無有限零點，其值取決于系數(shù)

，稱為全極型系統(tǒng)，記為AR(Auto-Regresssive)模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應為無限長序列，習慣上稱為無限沖激響應（IIR）離散系統(tǒng)，信號處理中作為一種典型的數(shù)字濾波器。(1)

若1≤r≤M，

，即只有

時，1167.5離散系統(tǒng)的Z域分析(2)

若1≤k≤N

，bk＝0，即只有b0≠0時，若設

b0=1，則系統(tǒng)只含有N個零點，無有限極點，其值取決于系數(shù)ar

，稱之為全零型系統(tǒng)，記為MA（MovingAverage）模型。這種系統(tǒng)的單位抽樣響應為有限長序列，習慣上稱為有限沖激響應(FIR)離散系統(tǒng)，信號處理中也是一種典型的數(shù)字濾波器。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析117118

(3)

系統(tǒng)同時具有零點和極點，H(z)即為式（7.73）所示。稱為極－零型系統(tǒng)，記為ARMA(Auto-RegressiveMovingAverage)模型,也稱為自回歸滑動平均模型。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析

3．系統(tǒng)函數(shù)H(z)與單位抽樣響應h(n)若：一離散系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，則X(z)=1，系統(tǒng)的單位沖激響應為

119可得Y(z)=Z[h(n)]Y(z)=H(z)X(z)y(n)=h(n)*x(n)=h(n)*δ(n)=h(n)從而有7.5離散系統(tǒng)的Z域分析

即表明：系統(tǒng)函數(shù)H(z)與系統(tǒng)單位抽樣響應h(n)是一對Z變換，如果需要求h(n)，通過求解H(z)的反變換是最方便的。H(z)=Z[h(n)]

1207.5離散系統(tǒng)的Z域分析例7.15已知一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)?by(n?1)=x(n)試求：系統(tǒng)函數(shù)H(z)和單位抽樣響應h(n)。解：對上述方程進行雙邊z變換，可得1217.5離散系統(tǒng)的Z域分析122根據(jù)z變換收斂域的不同，h(n)可以是左或右序列：是因果（右邊）序列。是非因果（左邊）序列。由H(z)可以看出：它是全極型系統(tǒng)，相應地其單位脈沖響應h(n)是一無限長序列，即“無限沖激響應”。（圓外域）（圓內(nèi)域）7.5離散系統(tǒng)的Z域分析4.

因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)的z域條件因果離散系統(tǒng)的時域條件，是h(n)為右邊序列，因此其z變換H(z)的收斂域應是一圓外域并包含無窮遠點。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其單位抽樣響應h(n)必須是絕對可和的，即1237.5離散系統(tǒng)的Z域分析當|z|=1時，上式等價于124顯然，若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須包括單位圓。同時根據(jù)z變換收斂域內(nèi)不能有極點的性質(zhì)，說明極點必須在單位圓內(nèi)。所以，離散系統(tǒng)因果穩(wěn)定的Z域條件是：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須是圓外域（包括單位圓和無窮遠點），并且所有極點必須在單位圓內(nèi)。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析1．定義系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上的取值，就是離散系統(tǒng)的頻率響應，表示為離散系統(tǒng)的頻率響應125由前述，H(z)是h(n)的z變換，有如果x(n)、y(n)和h(n)滿足絕對可和的條件，則相應地X(z)、Y(z)和H(z)均在單位圓上收斂，這些序列的傅里葉變換存在（參見第6章），顯然當

時有7.5離散系統(tǒng)的Z域分析1.它是輸出、輸入序列的傅里葉變換之比；2.它與差分方程的系數(shù)（系統(tǒng)參數(shù)）有關；3.頻率響應是系統(tǒng)單位抽樣響應h(n)在單位圓上的z變換，即h(n)的傅里葉變換。126由上式可見，離散系統(tǒng)的頻率響應有下列性質(zhì)：7.5離散系統(tǒng)的Z域分析1272．物理意義與連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應物理意義相似，離散系統(tǒng)的頻率響應，也是反映離散系統(tǒng)對輸入正弦序列作用下的響應能力。設：線性非移變因果穩(wěn)定系統(tǒng)的單位抽樣響應為h(n)，輸入復指數(shù)序列為根據(jù)離散卷積定義，系統(tǒng)輸出響應y(n)為7.5離散系統(tǒng)的Z域分析稱為離散系統(tǒng)的幅頻響應，φ(ω)稱為相頻響應。當輸入為正弦序列時，它可以表示為復指數(shù)序列的疊加。由上式可見，在復指數(shù)序列輸入下，系統(tǒng)響應仍為同頻率的復指數(shù)序列，而它的復振幅是由系統(tǒng)頻率響應

所決定的，

為數(shù)字角頻率ω的函數(shù)，一般情況下是復數(shù)，可以表示成幅度、相位的形式128上式可寫成7.5離散系統(tǒng)的Z域分析129當輸入為正弦序列時，它可以表示為復指數(shù)序列的疊加7.5離散系統(tǒng)的Z域分析輸出響應為上式右端兩項響應的疊加，首項的響應為130的響應為次項7.5離散系統(tǒng)的Z域分析考慮到：h(n)為實序列，與

為共軛復數(shù)131故總的響應為y(n)為7.5離散系統(tǒng)的Z域分析由式（7.87）可見：當離散系統(tǒng)輸入為正弦序列時，穩(wěn)態(tài)響應也是同頻率的正弦序列，其幅度和相位的變化將取決于系統(tǒng)的頻率響應

。如令132上式說明：輸入的正弦序列通過系統(tǒng)后，其幅度衰減程度幅頻響應的值，而相移則取決于相頻響應φ(ω)的值，如圖7.13所示。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析x(n)=Asin(n

+θ1)A0-θ1/

ny(n)=Bsin(n

+θ2)B0-θ2/

n圖7.13離散系統(tǒng)頻率響應的物理意義7.5離散系統(tǒng)的Z域分析1331343．頻率響應的幾何確定法離散系統(tǒng)的頻率響應除了可以根據(jù)上式定義直接求解外，還可以根據(jù)H(z)的零極點分布用幾何方法直觀地確定。若H(z)的零極點分布的表示式為則系統(tǒng)頻響7.5離散系統(tǒng)的Z域分析135從而幅頻特性為相頻特性為7.5離散系統(tǒng)的Z域分析

例7.16

有一離散系統(tǒng)的差分方程為并約定為因果系統(tǒng)，試求這一系統(tǒng)的頻率響應及相應特性，并與對應的一階模擬系統(tǒng)作比較。136

解：一階的離散系統(tǒng)框圖與對應的模擬系統(tǒng)分別如圖7.15、7.16所示。并將兩個系統(tǒng)的頻響及相應的特性作如下比較。7.5離散系統(tǒng)的Z域分析數(shù)學模型：x(n)y(n)

z-1

b1y(n-1)b1

y(n-1)ui(t)RCuo(t)圖7.16一階模擬系統(tǒng)原理圖圖7.15一階離散系統(tǒng)框圖系統(tǒng)函數(shù)：有一極點p

1=b

1

有一極點

s

1=-1/τ抽樣（沖激）響應：7.5離散系統(tǒng)的Z域分析137幅頻特性：相頻特性：頻率響應：1387.5離散系統(tǒng)的Z域分析

ha(t)1/τ

h(n)10n0t

|H(ej

)|1/(1-b1)0π2π

|H

a(j

)|10