2025年下學期高中數(shù)學系統(tǒng)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)(\overline{z})在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(-4)B.(-2)C.(2)D.(4)函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-2x-3))的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.((-\infty,-1))B.((-\infty,1))C.((1,+\infty))D.((3,+\infty))某學校高二年級共有學生1200人，其中男生700人，女生500人。為調(diào)查學生每天運動時間，采用分層抽樣的方法抽取容量為120的樣本，則女生應抽取的人數(shù)為（）A.50B.60C.70D.80在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.(4)已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)（）A.45B.50C.90D.100執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=3)，則輸出的(y=)（）（注：程序框圖邏輯為：若(x\leq0)，則(y=x+1)；否則(y=\log_2x)）A.2B.(\log_23)C.4D.1已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(\omega+\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(\frac{\pi}{2})D.(\pi)已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)為棱(CC_1)的中點，則異面直線(AE)與(B_1D_1)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{2}}{3})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{\sqrt{6}}{6})D.(\frac{1}{3})已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=1)處取得極值，且其圖象在點((0,f(0)))處的切線與直線(2x-y+3=0)平行，則(f(x))的極大值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。已知拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，點(P)在拋物線上，且(|PF|=5)，則點(P)的橫坐標為________。從2名男生和3名女生中隨機抽取2人參加社區(qū)服務，則至少有1名男生的概率為________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=1)，(b=\sqrt{3})，(A=30^\circ)，則(\triangleABC)的面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n)。（本小題滿分12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，對生產(chǎn)設備進行技術改造。隨機抽取改造前后的生產(chǎn)數(shù)據(jù)各10組，記錄產(chǎn)品的生產(chǎn)時間（單位：分鐘）如下：改造前：15,18,20,22,25,28,30,32,35,38改造后：10,12,14,16,18,20,22,24,26,28（1）分別計算改造前后數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；（2）根據(jù)（1）的結果，判斷技術改造是否有效。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，(D)為(AC)的中點。（1）證明：(BD\perp)平面(PAC)；（2）求直線(PD)與平面(PBC)所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0)，求(m^2)的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個零點，求(a)的取值范圍。（本小題滿分12分）為響應“碳達峰、碳中和”政策，某企業(yè)計劃投資新能源項目。現(xiàn)有A、B兩個項目可供選擇，其收益與成本如下表：|項目|初始投資（萬元）|年收益（萬元）|項目壽命（年）||------|------------------|----------------|----------------||A|1000|300|