2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與考古斷代技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）碳14衰變模型：考古學(xué)家測(cè)定某新石器時(shí)代遺址出土的木炭樣本中，碳14與碳12的比值為現(xiàn)代活樹的1/8。已知碳14的半衰期為5730年，若衰變規(guī)律滿足$N(t)=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$（其中$N_0$為初始量，$T$為半衰期），則該遺址距今約（）A.5730年B.11460年C.17190年D.22920年分層抽樣與文物分布：某考古隊(duì)對(duì)戰(zhàn)國(guó)墓葬群進(jìn)行抽樣調(diào)查，墓葬分為“貴族墓”和“平民墓”兩類，總數(shù)為120座。若采用分層抽樣抽取20座作為樣本，其中貴族墓抽取8座，則該墓葬群中平民墓的數(shù)量為（）A.48座B.72座C.96座D.108座坐標(biāo)系與遺址測(cè)繪：考古人員用無人機(jī)掃描某古城遺址，建立平面直角坐標(biāo)系后，測(cè)得城門A的坐標(biāo)為(2,3)，城墻某拐角B的坐標(biāo)為(-1,4)，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{13}$C.5D.$\sqrt{17}$古典概型與文物修復(fù)：某青銅器修復(fù)過程中，需從5件殘片（其中3件為同一器物，2件為其他器物）中隨機(jī)選取2件拼接，恰好選出2件同器物殘片的概率為（）A.$\frac{1}{10}$B.$\frac{3}{10}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{1}{2}$線性回歸與年代推測(cè)：對(duì)某地區(qū)出土的10件陶器樣本，測(cè)得其燒制溫度$x(^\circ\text{C})$與碳14剩余量$y$（%）的線性回歸方程為$\hat{y}=-0.05x+120$。若某陶器燒制溫度為800°C，則推測(cè)其碳14剩余量約為（）A.60%B.70%C.80%D.90%二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）指數(shù)函數(shù)與文物半衰期：若某放射性同位素的衰變模型為$N(t)=100\cdote^{-0.0001t}$（$t$的單位為年），則該同位素的半衰期為______年（精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：$\ln2\approx0.693$）。立體幾何與遺址體積：某圓形夯土臺(tái)基直徑為20米，高為3米，其體積為______立方米（結(jié)果保留$\pi$）。概率分布與文物抽樣：在考古現(xiàn)場(chǎng)，每件陶片被判定為“有紋飾”的概率為0.3，現(xiàn)隨機(jī)抽取5件陶片，恰好有2件有紋飾的概率為______（用數(shù)字作答）。數(shù)列與文物層位：某遺址文化層自上而下分為4層，每層出土陶器數(shù)量成等差數(shù)列，若第1層出土10件，第4層出土40件，則該遺址共出土陶器______件。三、解答題（本大題共6小題，共80分）10.碳14斷代與對(duì)數(shù)運(yùn)算（12分）考古隊(duì)在河南二里頭遺址發(fā)現(xiàn)一青銅爵，測(cè)得其碳14含量為現(xiàn)代器物的$\frac{1}{16}$。（1）求該青銅爵的年代（已知碳14半衰期$T=5730$年，衰變公式為$N(t)=N_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}$）；（2）若測(cè)量誤差導(dǎo)致碳14含量誤判為$\frac{1}{15}$，計(jì)算年代誤差$\Deltat$（精確到10年）。解題步驟：（1）由$\frac{N(t)}{N_0}=\frac{1}{16}=2^{-\frac{t}{5730}}$，兩邊取對(duì)數(shù)得$-\frac{t}{5730}=\log_2\frac{1}{16}=-4$，解得$t=5730\times4=22920$年。（2）若$\frac{N(t)}{N_0}=\frac{1}{15}$，則$t'=-5730\cdot\log_2\frac{1}{15}=5730\cdot\log_215\approx5730\times3.907=22400$年，誤差$\Deltat=22920-22400=520$年。11.三角函數(shù)與太陽歷遺址（14分）某史前遺址發(fā)現(xiàn)一處用于觀測(cè)太陽的石陣，其中心立柱高5米，冬至日正午太陽高度角為30°，夏至日為75°（太陽高度角$\theta$滿足$\tan\theta=\frac{\text{立柱高}}{\text{影長(zhǎng)}}$）。（1）求冬至日與夏至日的影長(zhǎng)之差；（2）若春秋分日太陽高度角為52°，求此時(shí)影長(zhǎng)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：$\tan52^\circ\approx1.2799$）。解題步驟：（1）冬至日影長(zhǎng)$L_1=\frac{5}{\tan30^\circ}=5\sqrt{3}\approx8.66$米，夏至日影長(zhǎng)$L_2=\frac{5}{\tan75^\circ}=5(2-\sqrt{3})\approx1.34$米，差為$8.66-1.34=7.32$米。（2）春秋分影長(zhǎng)$L=\frac{5}{\tan52^\circ}\approx\frac{5}{1.2799}\approx3.9$米。12.統(tǒng)計(jì)案例與文物年代分析（14分）下表為某遺址出土的5件玉器樣本的碳14測(cè)年數(shù)據(jù)（單位：年）：|樣本編號(hào)|1|2|3|4|5||----------|---|---|---|---|---||年代|3200|3500|3300|3600|3400|（1）計(jì)算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；（2）若用樣本平均數(shù)估計(jì)總體年代，求95%置信區(qū)間（參考公式：置信區(qū)間為$\bar{x}\pm1.96\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$，其中$s$為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）。解題步驟：（1）平均數(shù)$\bar{x}=\frac{3200+3500+3300+3600+3400}{5}=3400$年；方差$s^2=\frac{(-200)^2+100^2+(-100)^2+200^2+0^2}{5}=20000$，標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{20000}\approx141.42$。（2）置信區(qū)間為$3400\pm1.96\cdot\frac{141.42}{\sqrt{5}}\approx3400\pm124$，即(3276,3524)年。13.函數(shù)模型與文物保護(hù)（14分）某博物館采用恒溫恒濕系統(tǒng)保護(hù)文物，室內(nèi)濕度$y$（%）隨時(shí)間$t$（小時(shí)）的變化滿足函數(shù)$y=50+10\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$。（1）求一天內(nèi)濕度的最大值和最小值；（2）若文物保存適宜濕度為45%~55%，求一天中濕度處于適宜范圍的時(shí)長(zhǎng)。解題步驟：（1）$\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\in[-1,1]$，故$y_{\text{max}}=60%$，$y_{\text{min}}=40%$。（2）令$45\leq50+10\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\leq55$，即$-\frac{1}{2}\leq\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\leq\frac{1}{2}$。解得$t\in[10,14]$、$[22,26]$（即次日2時(shí)），總時(shí)長(zhǎng)為$4+4=8$小時(shí)。14.立體幾何與建筑復(fù)原（14分）某漢代陶樓模型的三視圖如下（單位：厘米），其中正視圖和側(cè)視圖為等腰梯形，俯視圖為正方形。（1）求該陶樓的體積；（2）若模型比例尺為1:50，求實(shí)際建筑的表面積（精確到1平方米）。解題步驟：（1）由三視圖知，陶樓為正四棱臺(tái)，上底邊長(zhǎng)2cm，下底邊長(zhǎng)4cm，高3cm，體積$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})=\frac{1}{3}\times3\times(4+16+8)=28\\text{cm}^3$。（2）實(shí)際尺寸：上底邊長(zhǎng)1m，下底邊長(zhǎng)2m，高1.5m，斜高$l=\sqrt{1.5^2+0.5^2}=\sqrt{2.5}\approx1.58\\text{m}$。表面積$S=1^2+2^2+4\times\frac{(1+2)}{2}\times1.58\approx1+4+9.48=14.48\\text{m}^2\approx14\\text{m}^2$。15.數(shù)學(xué)建模與考古決策（10分）某考古隊(duì)需在A、B兩地中選擇一處進(jìn)行發(fā)掘：A地有60%概率發(fā)現(xiàn)重要文物，成功收益為100萬元，失敗損失20萬元；B地有30%概率發(fā)現(xiàn)重要文物，成功收益為200萬元，失敗損失10萬元。（1）分別計(jì)算A、B兩地的期望收益；（2）若采用風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避策略（選擇方差較小的方案），應(yīng)選擇哪地？（方差公式：$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$）解題步驟：（1）A地期望收益$E(A)=0.6\times100+0.4\times(-20)=52$萬元；B地$E(B)=0.3\times200+0.7\times(-10)=53$萬元。（2）A地方差$D(A)=0.6\times(100-52)^2+0.4\times(-20-52)^2=0.6\times2304+0.4\times5184=3456$；B地方差$D(B)=0.3\times(200-53)^2+0.7\times(-10-53)^2=0.3\times21609+0.7\times3969=9526.2$。因$D(A)<D(B)$，選擇A地。四、應(yīng)用場(chǎng)景說明（共20分）碳14斷代的數(shù)學(xué)本質(zhì)：利用指數(shù)函數(shù)$N(t)=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$描述放射性衰變規(guī)律，通過對(duì)數(shù)運(yùn)算可反推文物