2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?命題“?x∈R，x2+1>0”的否定是（）A.?x∈R，x2+1≤0B.?x∈R，x2+1≤0C.?x∈R，x2+1<0D.?x∈R，x2+1<0函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+3)的定義域是（）A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.[1,3]C.(1,3)D.(-∞,1]∪[3,+∞)已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥b，則m的值為（）A.-6B.6C.-8/3D.8/3某學(xué)校高一年級(jí)有500名學(xué)生，其中男生300人，女生200人?，F(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取50名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為（）A.20B.30C.10D.25已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則該函數(shù)的最小正周期和振幅分別是（）A.π，1B.2π，1C.π，2D.2π，2若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知直線l?:ax+2y+6=0與直線l?:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.4D.5已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|PF|=5，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(f(1))=________。若等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=1，公比q=2，則S?=________。已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則圓心C的坐標(biāo)為________，半徑r=________。已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=x2-1，則f(g(x))=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x|2x-1>0}。（1）求A∪B；（2）求(?RA)∩B。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1。（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求證：BC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積；（3）求二面角P-BC-A的大小。（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=5，S?=35。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{b?}滿足b?=2^(a?)，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點(diǎn)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，設(shè)x?、x?是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x?x?>e2。四、邏輯推理題（本大題共2小題，共20分）（本小題滿分10分）某班級(jí)有A、B、C、D四名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后他們各自預(yù)測(cè)了比賽結(jié)果：A說：“我不會(huì)是第四名?！盉說：“C會(huì)是第一名。”C說：“D會(huì)是第四名。”D說：“C不會(huì)是第一名。”已知四人中只有一人預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，其余三人預(yù)測(cè)正確。請(qǐng)根據(jù)以上信息，判斷四名學(xué)生的競(jìng)賽名次，并寫出推理過程。（本小題滿分10分）在一次邏輯推理測(cè)試中，有三個(gè)盒子，分別標(biāo)有“紅球”、“白球”、“紅球和白球”。每個(gè)盒子里都放有球，但所有盒子上的標(biāo)簽都貼錯(cuò)了。請(qǐng)問：如何只從一個(gè)盒子中取出一個(gè)球，就能判斷出每個(gè)盒子里實(shí)際放的是什么球？請(qǐng)寫出推理過程。五、應(yīng)用題（本大題共1小題，共20分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要消耗甲材料3kg、乙材料2kg，可獲利100元；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要消耗甲材料2kg、乙材料3kg，可獲利120元。該工廠現(xiàn)有甲材料120kg、乙材料100kg。（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x、y滿足的約束條件，并畫出可行域；（2）如何安排生產(chǎn)才能使工廠獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）若市場(chǎng)對(duì)A產(chǎn)品的需求量不超過20件，對(duì)B產(chǎn)品的需求量不超過15件，在這種情況下，如何安排生產(chǎn)才能使工廠獲得最大利潤？參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.A3.A4.A5.A6.A7.B8.A9.A10.A11.A12.B二、填空題314.3115.(2,-3)，416.2x2-1三、解答題解：（1）A={x|2≤x≤3}，B={x|x>1/2}，所以A∪B={x|x>1/2}。（5分）（2）?RA={x|x<2或x>3}，所以(?RA)∩B={x|1/2<x<2或x>3}。（10分）解：（1）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=π。（6分）（2）當(dāng)x∈[0,π/2]時(shí)，2x+π/4∈[π/4,5π/4]，所以當(dāng)2x+π/4=π/2，即x=π/8時(shí)，f(x)取得最大值√2；當(dāng)2x+π/4=5π/4，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-1。（12分）（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC。又因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB。（4分）（2）解：V=1/3×S△ABC×PA=1/3×(1/2×2×2)×2=4/3。（8分）（3）解：因?yàn)锽C⊥平面PAB，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以∠PBA是二面角P-BC-A的平面角。在Rt△PAB中，PA=AB，所以∠PBA=45°，即二面角P-BC-A的大小為45°。（12分）解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，則由題意得：{a?+d=55a?+10d=35解得a?=3，d=2，所以a?=2n+1。（6分）（2）b?=2^(2n+1)=2×4?，所以T?=2×(4+42+...+4?)=2×4(4?-1)/(4-1)=8(4?-1)/3。（12分）（1）解：由題意得：{c/a=√3/24/a2+1/b2=1a2=b2+c2解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（6分）（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A(x?,y?)，B(x?,y?)。聯(lián)立{x2/8+y2/2=1y=kx+m得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0。所以x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)。因?yàn)镺A⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0。整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0。代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0。化簡得5m2=8(1+k2)，即m=±2√10/5√(1+k2)。所以直線l的方程為y=kx±2√10/5√(1+k2)，恒過定點(diǎn)(0,±2√10/5)。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=t，代入橢圓方程得y2=2-t2/4。因?yàn)镺A⊥OB，所以t2-(2-t2/4)=0，解得t=±2√10/5，此時(shí)直線l也過定點(diǎn)(±2√10/5,0)。綜上，直線l恒過定點(diǎn)(±2√10/5,0)或(0,±2√10/5)。（12分）（1）解：f'(x)=1/x-a(x>0)。當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a。當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。（4分）（2）解：由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最大值為f(1/a)=ln(1/a)-1=-lna-1。要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需f(1/a)>0，即-lna-1>0，解得0<a<1/e。又因?yàn)楫?dāng)x→0+時(shí)，f(x)→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-∞，所以a的取值范圍為(0,1/e)。（8分）（3）證明：設(shè)x?>x?>0，因?yàn)閒(x?)=f(x?)=0，所以lnx?-ax?=0，lnx?-ax?=0，即lnx?=ax?，lnx?=ax?。兩式相加得ln(x?x?)=a(x?+x?)，兩式相減得ln(x?/x?)=a(x?-x?)。要證x?x?>e2，只需證ln(x?x?)>2，即a(x?+x?)>2。因?yàn)閍=ln(x?/x?)/(x?-x?)，所以只需證ln(x?/x?)/(x?-x?)×(x?+x?)>2，即ln(x?/x?)×(x?+x?)/(x?-x?)>2。令t=x?/x?(t>1)，則只需證lnt×(t+1)/(t-1)>2，即lnt>2(t-1)/(t+1)。令g(t)=lnt-2(t-1)/(t+1)(t>1)，則g'(t)=1/t-4/(t+1)2=(t-1)2/(t(t+1)2)>0，所以g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增。所以g(t)>g(1)=0，即lnt>2(t-1)/(t+1)，所以x?x?>e2。（12分）四、邏輯推理題解：假設(shè)B預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則A、C、D預(yù)測(cè)正確。由A正確知A不是第四名；由C正確知D是第四名；由D正確知C不是第一名。因?yàn)镈是第四名，所以A、B、C是前三名。又因?yàn)镃不是第一名，所以第一名只能是A或B。若A是第一名，則B、C是二、三名，符合題意；若B是第一名，則A、C是二、三名，也符合題意。但因?yàn)锽預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，所以C不是第一名，這與假設(shè)不矛盾。假設(shè)A預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則A是第四名，C正確知D是第四名，矛盾。假設(shè)C預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則D不是第四名，A正確知A不是第四名，所以第四名只能是B或C。B正確知C是第一名，所以第四名只能是B。此時(shí)名次為C、D、A、B，符合題意。假設(shè)D預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則C是第一名，B正確，此時(shí)C是第一名，D正確知C不是第一名，矛盾。綜上，只有當(dāng)B預(yù)測(cè)錯(cuò)誤時(shí)符合題意，此時(shí)名次為A、B、C、D或B、A、C、D。但根據(jù)C正確知D是第四名，所以正確名次為A、B、C、D或B、A、C、D。又因?yàn)轭}目中說“四名學(xué)生的競(jìng)賽名次”，所以唯一確定的名次是C是第三名，D是第四名，A和B是第一、二名。但根據(jù)選項(xiàng)，最可能的名次是A第一、B第二、C第三、D第四。（10分）解：從標(biāo)有“紅球和白球”的盒子中取出一個(gè)球。因?yàn)樗袠?biāo)簽都貼錯(cuò)了，所以這個(gè)盒子里不可能既有紅球又有白球，只能是紅球或白球。（1）若取出的是紅球，則這個(gè)盒子里實(shí)際放的是紅球，那么標(biāo)有“白球”的盒子里不可能是白球，也不可能是紅球（因?yàn)榧t球已經(jīng)確定），所以標(biāo)有“白球”的盒子里實(shí)際放的是紅球和白球，標(biāo)有“紅球”的盒子里實(shí)際放的是白球。（2）若取出的是白球，則這個(gè)盒子里實(shí)際放的是白球，那么標(biāo)有“紅球”的盒子里不可能是紅球，也不可能是白球（因?yàn)榘浊蛞呀?jīng)確定），所以標(biāo)有“紅球”的盒子里實(shí)際放的是