2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)知識與命運(yùn)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x+1)=1}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+ln(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，若a⊥b，則m的值為（）A.-4B.4C.-9D.9下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=e?-e??已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5，S?=35，則a?=（）A.13B.14C.15D.16函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和最大值分別是（）A.π，2B.2π，2C.π，1D.2π，1已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則f(x)的極大值點(diǎn)是（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k的值為（）A.±√3B.±1C.±√2D.±(√3/3)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則不等式f(x)≤5的解集是（）A.[-3,2]B.[-2,3]C.(-∞,-3]∪[2,+∞)D.(-∞,-2]∪[3,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計算：log?8+2?-(1/4)?1=________.已知tanα=2，則sin2α=________.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓x2/9+y2/5=1的右焦點(diǎn)重合，則p=________.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間[1,2]上的最小值為1，則a的值為________.三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足bcosC=(2a-c)cosB.（1）求角B的大小；（2）若b=√7，a+c=4，求△ABC的面積.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).（1）求證：A?D⊥平面BCC?B?；（2）求二面角A?-B?C-C?的余弦值.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*).（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項和S?.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)515303515（1）根據(jù)頻率分布表，估計這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率.（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1(a∈R).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時，求證：f(x)≥x2-x.四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題都做，按第一題計分）已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，B=[[2,1],[0,1]]，求矩陣A?1B.在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=π/6(ρ∈R).（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C與直線l的交點(diǎn)的極坐標(biāo).參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.A3.D4.A5.C6.A7.A8.B9.A10.B11.B12.A二、填空題014.4/515.416.1或√2三、解答題（1）由正弦定理得sinBcosC=(2sinA-sinC)cosB，即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin(B+C)=2sinAcosB，因為A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，所以sinA=2sinAcosB，因為sinA≠0，所以cosB=1/2，又因為0<B<π，所以B=π/3.（5分）（2）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即7=a2+c2-ac，又因為a+c=4，所以(a+c)2=16，即a2+c2+2ac=16，所以7+3ac=16，解得ac=3，所以△ABC的面積S=1/2acsinB=1/2×3×√3/2=3√3/4.（10分）（1）證明：因為AA?⊥底面ABC，所以AA?⊥BC，又因為AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，因為AA?∩AD=A，所以BC⊥平面A?AD，所以BC⊥A?D，因為AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，AD=√2，因為AA?=2，所以A?D=√(AD2+AA?2)=√(2+4)=√6，在Rt△BCC?中，BC=2√2，CC?=2，所以BC?=√(BC2+CC?2)=√(8+4)=2√3，在△A?BC?中，A?B=A?C?=√(AB2+AA?2)=√(4+4)=2√2，BC?=2√3，所以A?B2+A?C?2=8+8=16=BC?2，所以△A?BC?是等腰直角三角形，因為D是BC的中點(diǎn)，所以A?D⊥BC?，因為BC∩BC?=B，所以A?D⊥平面BCC?B?.（6分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A?(0,0,2)，B?(2,0,2)，C?(0,2,2)，D(1,1,0)，由（1）知A?D⊥平面BCC?B?，所以平面BCC?B?的一個法向量為n?=A?D=(1,1,-2)，設(shè)平面A?B?C的法向量為n?=(x,y,z)，因為A?B?=(2,0,0)，A?C=(0,2,-2)，所以{n?·A?B?=2x=0，n?·A?C=2y-2z=0，令y=1，則z=1，x=0，所以n?=(0,1,1)，所以cos<n?,n?>=n?·n?/|n?||n?|=(0+1-2)/√(1+1+4)√(0+1+1)=(-1)/√6×√2=-1/2√3=-√3/6，因為二面角A?-B?C-C?是銳角，所以二面角A?-B?C-C?的余弦值為√3/6.（12分）（1）證明：因為a???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1)，又因為a?+1=2，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（4分）（2）解：由（1）知a?+1=2×2??1=2?，所以a?=2?-1，所以S?=a?+a?+...+a?=(21-1)+(22-1)+...+(2?-1)=(21+22+...+2?)-n=2(2?-1)/(2-1)-n=2??1-n-2.（12分）（1）解：平均數(shù)x?=55×0.05+65×0.15+75×0.3+85×0.35+95×0.15=2.75+9.75+22.5+29.75+14.25=79，設(shè)中位數(shù)為m，因為前兩組的頻率之和為0.05+0.15=0.2<0.5，前三組的頻率之和為0.05+0.15+0.3=0.5=0.5，所以中位數(shù)m=80.（6分）（2）解：成績在[50,60)的學(xué)生有5人，記為A?,A?,A?,A?,A?，成績在[90,100]的學(xué)生有15人，記為B?,B?,...,B??，從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，共有C??2=190種不同的選法，其中2人成績都在[90,100]的選法有C??2=105種，所以所求概率P=105/190=21/38.（12分）（1）解：因為橢圓C的離心率為√2/2，所以e=c/a=√2/2，即c=√2/2a，又因為a2=b2+c2，所以a2=b2+1/2a2，即b2=1/2a2，因為橢圓C過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+(1/2)/b2=1，將b2=1/2a2代入上式，得1/a2+(1/2)/(1/2a2)=1，即1/a2+1/a2=1，解得a2=2，所以b2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1.（4分）（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為x=m，則A(m,n)，B(m,-n)，因為OA⊥OB，所以O(shè)A·OB=m2-n2=0，即m2=n2，又因為點(diǎn)A在橢圓C上，所以m2/2+n2=1，將m2=n2代入上式，得m2/2+m2=1，即3m2/2=1，解得m2=2/3，所以原點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|=√6/3，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，由{y=kx+b，x2/2+y2=1，得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，則x?+x?=-4kb/(1+2k2)，x?x?=(2b2-2)/(1+2k2)，因為OA⊥OB，所以O(shè)A·OB=x?x?+y?y?=0，又因為y?y?=(kx?+b)(kx?+b)=k2x?x?+kb(x?+x?)+b2，所以x?x?+y?y?=(1+k2)x?x?+kb(x?+x?)+b2=0，將x?+x?=-4kb/(1+2k2)，x?x?=(2b2-2)/(1+2k2)代入上式，得(1+k2)(2b2-2)/(1+2k2)+kb(-4kb)/(1+2k2)+b2=0，化簡得2(1+k2)(b2-1)-4k2b2+b2(1+2k2)=0，即2b2-2+2k2b2-2k2-4k2b2+b2+2k2b2=0，整理得3b2-2k2-2=0，即b2=2(k2+1)/3，所以原點(diǎn)O到直線l的距離d=|b|/√(k2+1)=√[2(k2+1)/3]/√(k2+1)=√6/3，綜上，原點(diǎn)O到直線l的距離為定值√6/3.（12分）（1）解：函數(shù)f(x)的定義域為R，f'(x)=e?-a，當(dāng)a≤0時，f'(x)=e?-a>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=lna，當(dāng)x<lna時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>lna時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.（4分）（2）解：由（1）知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，因為f(0)=e?-0-1=0，所以函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的最小值為f(lna)=e???-alna-1=a-alna-1，令g(a)=a-alna-1(a>0)，則g'(a)=1-(lna+1)=-lna，當(dāng)0<a<1時，g'(a)=-lna>0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a>1時，g'(a)=-lna<0，函數(shù)g(a)單調(diào)遞減，所以g(a)的最大值為g(1)=1-1×ln1-1=0，當(dāng)a=1時，g(a)=0，函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn)，當(dāng)a≠1時，g(a)<0，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，又因為當(dāng)a→0?時，g(a)=a-alna-1→-1<0，當(dāng)a→+∞時，g(a)=a-alna-1=a(1-lna)-1→-∞，所以當(dāng)a>0且a≠1時，函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，即a的取值范圍是(0,1)∪(1,+∞).（8分）（3）證明：當(dāng)a=1時，f(x)=e?-x-1，要證f(x)≥x2-x，即證e?-x-1≥x2-x，即證e?-x2-1≥0，令h(x)=e?-x2-1(x∈R)，則h'(x)=e?-2x，令φ(x)=h'(x)=e?-2x，則φ'(x)=e?-2，令φ'(x)=0，得x=ln2，當(dāng)x<ln2時，φ'(x)<0，函數(shù)φ(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>ln2時，φ'(x)>0，函數(shù)φ(x)單調(diào)遞增，所以φ(x)的最小值為φ(ln2)=e??2-2ln2=2-2ln2>0，所以h'(x)=φ(x)>0恒成立，函數(shù)h(x)在R上單調(diào)遞增，因為h(0)=e?-02-1=0，所以當(dāng)x≥0時，h(x)≥h(0)=0，即e?-x2-1≥0