2/2本章總結(jié)提升eq\a\vs4\al\co1()與三角形的邊有關(guān)的計(jì)算與說理例1已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是()A．5 B．6C．11 D．16[解析]C已知三角形兩邊的長分別是4和10，所以第三邊x的范圍是6＜x＜14，在這個(gè)范圍內(nèi)，只有11符合．故選C.[點(diǎn)析]已知三角形的兩條邊長，求第三邊，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”，可得“三角形的第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和”，從而先求出第三邊的范圍，然后作出選擇．例2王偉準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的養(yǎng)兔圈，用于飼養(yǎng)家兔．已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能比第一條邊長的2倍多2米．(1)請用a表示第三條邊長；(2)問第一條邊長可以為8米嗎？為什么？請說明理由；(3)能否使得圍成的養(yǎng)兔圈是等腰三角形？若能，說明你的圍法；若不能，請說明理由．解：(1)第一條邊長為a米，由題意得第二條邊長為(2a＋2)米，第三條邊長為30－a－(2a＋2)＝(28－3a)米．(2)不可以是8米．理由：因?yàn)閍＝8時(shí)，另兩邊長為：2a＋2＝18(米)，28－3a＝4(米)，且8＋4＜18，不滿足三邊之間的關(guān)系，所以不能構(gòu)成三角形．(3)能圍成等腰三角形．當(dāng)a＝2a＋2時(shí)，無解，不存在；當(dāng)a＝28－3a時(shí)，解得a＝7，又因?yàn)?＋7＜16，不滿足三邊之間的關(guān)系，所以不存在；當(dāng)2a＋2＝28－3a時(shí)，解得a＝eq\f(26,5)，滿足三邊之間的關(guān)系，所以能圍成等腰三角形，三邊長分別為eq\f(26,5)米，eq\f(62,5)米，eq\f(62,5)米．[點(diǎn)析]本題以構(gòu)成三角形三邊關(guān)系為載體，主要考查了整式計(jì)算與三角形的有關(guān)邊知識的理解與運(yùn)用，在探究等腰三角形的形狀時(shí)要注意分類討論，構(gòu)建方程分析與解決實(shí)際問題．eq\a\vs4\al\co1()等腰三角形例3一個(gè)三角形的兩條邊相等，周長為18cm，三角形一邊長為4cm，求其他兩邊長．[解析]本題分兩種情況：①腰長為4cm，②底邊長為4cm.解答時(shí)要注意求出的邊長要符合“三角形兩邊之和大于第三邊”．解：①當(dāng)腰長為4cm時(shí)，則底邊長為18－4×2＝10(cm)，此時(shí)，三角形三邊長為4cm，4cm，10cm，因?yàn)?＋4＜10，不符合三角形三邊關(guān)系，所以當(dāng)三角形的腰長為4cm時(shí)不合題意，舍去；②當(dāng)?shù)走呴L為4cm時(shí)，則腰長為eq\f(18－4,2)＝7(cm)，此時(shí)三角形的三邊長為4cm，7cm，7cm，4＋7＞7，符合三角形三邊關(guān)系，所以，該三角形其他兩邊長為7cm，7cm.[點(diǎn)析]等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形，就是因?yàn)檫@種特殊性，在具體處理問題時(shí)往往又會出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，同學(xué)們在求解有關(guān)等腰三角形的問題時(shí)一定要注意分類討論．對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確是底或腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．eq\a\vs4\al\co1()與三角形的角有關(guān)的計(jì)算例4如圖4－T－1，一個(gè)大型模板的設(shè)計(jì)要求是模板的BA邊和CD邊相交成50°角，DA邊和CB邊相交成30°角．如果通過測量∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)來判斷模板是否合格，你認(rèn)為當(dāng)∠D與∠B的度數(shù)相差多少時(shí)，模板剛好合格？圖4－T－1[解析]要判斷∠D與∠B的度數(shù)相差多少時(shí)，模板剛好合格，可延長CD與BA，DA與CB，構(gòu)造三角形，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°進(jìn)行探究．解：當(dāng)模板合格時(shí)，延長BA交CD的延長線于點(diǎn)E，則∠E＝50°；延長DA交CB的延長線于點(diǎn)F，則∠F＝30°，由三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°，得∠CBE＋∠C＋∠E＝180°，∠CDF＋∠C＋∠F＝180°，所以∠CBE＝180°－(∠E＋∠C)＝180°－(50°＋∠C)＝130°－∠C，∠CDF＝180°－(∠F＋∠C)＝180°－(30°＋∠C)＝150°－∠C.因?yàn)椤螩DF－∠CBE＝150°－∠C－(130°－∠C)＝20°，所以∠CDF比∠CBE大20°.即∠D比∠B大20°時(shí)，模板剛好合格．[點(diǎn)析]三角形的內(nèi)角和等于180°，我們可以利用這一結(jié)論解決與角度計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題，解決問題的關(guān)鍵是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．eq\a\vs4\al\co1()三角形中的重要線段圖4－T－2例5如圖4－T－2，已知∠B＝45°，∠C＝75°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．解：因?yàn)椤螧＝45°，∠C＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.在Rt△ADC中，∠CAD＝90°－∠C＝90°－75°＝15°.因?yàn)锳E是∠BAC的平分線，所以∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)×60°＝30°，所以∠DAE＝30°－15°＝15°.[點(diǎn)析]本例有一定的綜合性，它通過求解角的度數(shù)問題，鞏固三角形重要線段的概念與三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．觀察圖形得，∠DAE＝∠CAE－∠CAD，由三角形角平分線的概念知，∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC，在Rt△ADC中，∠CAD＝90°－∠C，根據(jù)已知條件，可求出∠BAC及∠CAD，使問題得以解決．例6如圖4－T－3，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF，△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，則S△ADF－S△BEF＝________．圖4－T－3[答案]2[解析]由D是AC的中點(diǎn)且S△ABC＝12，可得S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×12＝6；同理：EC＝2BE，即EB＝eq\f(1,3)BC，可得S△ABE＝eq\f(1,3)×12＝4，又S△ABE－S△ABF＝S△BEF，S△ABD－S△ABF＝S△ADF，等量代換可知S△ADF－S△BEF＝2.[點(diǎn)析]解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的面積關(guān)系，在高不變的情況下，底為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)構(gòu)成的三角形與原三角形的面積之間的關(guān)系，就是底之間的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法．eq\a\vs4\al\co1()尺規(guī)作圖例7已知：線段a，c和∠α.求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.圖4－T－4解：如圖4－T－5所示．①先畫射線BC；圖4－T－5②以∠α的頂點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫孤，分別交∠α的兩邊于A′，C′；③以相同長度為半徑，B為圓心，畫弧，交BC于點(diǎn)F，以F為圓心，C′A′長為半徑畫弧，交已畫弧于點(diǎn)E，連接EB，則∠EBF＝∠α；④在BF上取點(diǎn)C，使CB＝a，以B為圓心，c為半徑畫弧交BE的延長線于點(diǎn)A，連接AC.△ABC即為所求作三角形．eq\a\vs4\al\co1()全等三角形中的開放性問題例8如圖4－T－6所示，AB，CD相交于點(diǎn)O，AB＝CD，試添加一個(gè)條件使得△AOD≌△COB，你添加的條件是__________(只需寫一個(gè))．圖4－T－6[答案]OA＝OC或OB＝OD[解析]兩個(gè)三角形全等的條件有“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”．結(jié)合題設(shè)中的已知，選擇恰當(dāng)?shù)娜切稳葪l件是解決此類問題的關(guān)鍵．已知條件有AB＝CD，隱含條件有∠AOD＝∠COB，可選擇“SAS”，填OA＝OC或OB＝OD.[點(diǎn)析]全等三角形是初中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的一部分內(nèi)容，本題是添加條件寫結(jié)論的全開放型的創(chuàng)新題，這種類型的題目開放程度非常高，能激起同學(xué)們的挑戰(zhàn)欲望和創(chuàng)新熱情，實(shí)屬好題．eq\a\vs4\al\co1()全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例9如圖4－T－7，已知點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，F(xiàn)B＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知條件說明AB∥ED？如果能，請給出說明；如果不能，請從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件，添加到已知條件中，使AB∥ED成立，并說明理由．供選擇的三個(gè)條件(請從其中選擇一個(gè))：①AB＝ED；②BC＝EF；③∠ACB＝∠DFE.圖4－T－7[解析]由條件可知兩三角形中具備了兩邊對應(yīng)相等，可補(bǔ)充邊借助“邊邊邊”定理突破，也可補(bǔ)充這兩邊的夾角，借助“邊角邊”定理進(jìn)行分析．解：由上面兩條件不能說明AB∥ED.有兩種添加方法．第一種：添加①AB＝ED.理由：因?yàn)镕B＝CE，所以BC＝EF.又AC＝DF，AB＝ED，所以△ABC≌△DEF.所以∠B＝∠E，所以AB∥ED.第二種：添加③∠ACB＝∠DFE.理由：因?yàn)镕B＝CE，所以BC＝EF.又∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF.所以∠B＝∠E，所以AB∥ED.[點(diǎn)析]近幾年的各地中考中，全等三角形常以開放探究的形式出現(xiàn)，可能設(shè)置的問題結(jié)論不唯一，或條件不完備，即需要解題者依據(jù)題意確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，或通過變換操作，或有關(guān)圖形的動態(tài)變化導(dǎo)致某些圖形、情境的變化，進(jìn)而構(gòu)建不同的數(shù)學(xué)模型，或選擇不同的解題策略進(jìn)行解答．例10如圖4－T－8，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，則AF⊥CD嗎？試說明理由．圖4－T－8圖4－T－9解：如圖4－T－9，連接AC，AD，由AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，根據(jù)“SAS”可知△ABC≌△AED，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可知AC＝AD.由AC＝AD，CF＝DF，AF＝AF(公共邊)，根據(jù)“SSS”可知△ACF≌△ADF.根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可知∠AFC＝∠AFD.又由于F在直線CD上，可得∠AFC＝90°，即AF⊥CD.[點(diǎn)析]本題進(jìn)行了兩次三角形全等的說明，在說明線段、角等問題時(shí)往往轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，從而達(dá)到說明的目的．eq\a\vs4\al\co1()利用三角形全等測距離例11如圖4－T－10所示，A，B兩個(gè)建筑物分別位于河的兩岸，要測得它們之間的距離，可以從B出發(fā)沿河岸畫一條射線BF，在BF上截取BC＝CD，過D作DE∥AB，使E，C，A在同一條直線上，則DE的長就是A，B之間的距離，請你說明道理．圖4－T－10[解析]因?yàn)镈E∥AB，可得∠A＝∠E，∠ABC＝∠CDE.又因?yàn)锽C＝CD，于是可得△ABC≌△EDC，可得AB＝DE.解：∵DE∥AB(作圖)，∴∠A＝∠E，∠ABC＝∠CDE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．]又∵BC＝CD(已知)，∴△ABC≌△EDC(AAS)，∴AB＝DE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．[點(diǎn)析]測量無法到達(dá)的問題時(shí)，可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，本題巧妙地利用了三角形全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到測量的目的．三角形的應(yīng)用我們在小學(xué)就學(xué)過三角形．三角形是最簡單的多邊形，也是一種最穩(wěn)定的圖形，在生活、生產(chǎn)和科研中有著廣泛的應(yīng)用，下面介紹幾個(gè)例子．一、三角輪自行車世界上怪事真不少，我們平?？吹降淖孕熊囕喿佣际菆A的，從來沒聽說過自行車輪子居然有做成三角形的．但是，確實(shí)有這種三角輪的自行車．大家都知道，圓有個(gè)特性，即圓心到圓周上任何一點(diǎn)的距離都相等．人們把輪子做成圓形，在輪子中心(圓心)處安上軸承，輪子滾動時(shí)，中心始終保持與地面等距離，因此車身平穩(wěn)．而用三角形車輪做成的自行車，騎車人坐在上面，用腳踩踏板轉(zhuǎn)動后輪，從而驅(qū)車前進(jìn)，這時(shí)輪軸時(shí)而離地面近，時(shí)而離地面遠(yuǎn)，人體也隨之上下起伏不定．這對于我們常人來講，一定感到很不舒服，但有些青年人為了追求“刺激”，認(rèn)為這樣上下起伏不定，人會有一種特別的感受，所以自行車廠才會制造出這種奇特的自行車來．二、雞蛋為什么能直立雞蛋不容易在桌子上放穩(wěn)，所以人們常用“滾蛋”來形容它的不穩(wěn)定性．其實(shí)，只要有耐心，而且雞蛋又選擇的合適，雞蛋不僅可以在桌子上放穩(wěn)，而且還可以直立——這是日本一對父子對豎蛋研究了50年后的結(jié)論．要想把蛋在桌子上豎立起來，首先應(yīng)該知道哪些蛋能豎立．仔細(xì)摸摸蛋殼，就會發(fā)現(xiàn)它的表面是凹凸不平的．若用放大鏡觀察，可以看到蛋殼上有綿延起伏的“山嶺”，“山嶺”的高度約0.03毫米，每兩頂點(diǎn)之間的距離約為0.5～0.8毫米．雞蛋站立時(shí)，如果有三個(gè)頂點(diǎn)接觸桌面，而這三點(diǎn)是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且雞蛋的重心能落在這個(gè)三角形內(nèi)，它就可以站立起來了．一般說來，剛生下的蛋不易豎立，過四天至一星期后，就容易豎立了．但日子一長，豎立又變得困難．在冰箱里放過的蛋也不宜選用．另外我國南開大學(xué)申泮文教授認(rèn)為，雞蛋小頭朝下更容易立得穩(wěn)．三、三角洲“三角洲”是一個(gè)地理名詞．一般指江河出口處因長期泥沙沖擊而形成的三角地帶．原來，河流入海時(shí)由于河水流速變小，搬運(yùn)沉積物的能力也隨之降低，于是沉積物減速沉