2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)華羅庚試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,4))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\overrightarrow{a}=(1,2))，(\overrightarrow=(m,1))，若(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow))，則(m=)（）A.3B.4C.5D.6函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期為（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，則(a=)（）A.-6B.-3C.3D.6已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的一條漸近線方程為(y=2x)，且焦距為(2\sqrt{5})，則雙曲線的方程為（）A.(\frac{x^2}{4}-y^2=1)B.(x^2-\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1)D.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1)已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{3\sqrt{2}+1}{5})B.(\frac{3\sqrt{2}+5}{5})C.(\frac{3\sqrt{2}-1}{5})D.(\frac{3\sqrt{2}-5}{5})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則(f(f(-1))+f(\log_23)=)（）A.2B.3C.4D.5已知定義在(\mathbf{R})上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=f(x))，且當(dāng)(x\in[0,2])時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，則方程(f(x)=\frac{1}{2})在區(qū)間([-2,4])上的解的個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C.5D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\leq3\x-y\geq-1\y\geq1\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為________。已知某學(xué)校高一年級(jí)有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人。為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，采用分層抽樣的方法從高一年級(jí)學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)抽取女生的人數(shù)為________。在((x-\frac{1}{x})^6)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。已知三棱錐(P-ABC)的所有頂點(diǎn)都在球(O)的球面上，(PA=PB=PC=2)，(AB=BC=AC=2\sqrt{2})，則球(O)的表面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1D\perp)平面(BCC_1B_1)；（2）求二面角(A-B_1C-A_1)的余弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品需消耗A原料3kg、B原料2kg，生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品需消耗A原料1kg、B原料3kg。每件甲產(chǎn)品的利潤(rùn)為50元，每件乙產(chǎn)品的利潤(rùn)為40元。工廠現(xiàn)有A原料120kg、B原料100kg，且每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量不超過20件。（1）設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品(x)件，乙產(chǎn)品(y)件，寫出(x)，(y)滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A)，(B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-ax+1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍；（3）當(dāng)(a=1)時(shí)，求證：(f(x)\leqx^2-x)。（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n}{n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)；（3）證明：對(duì)任意的(n\in\mathbf{N}^*)，都有(T_n<2)。參考答案及解析（部分）一、選擇題A解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(1<x<2)，即(A=(1,2))；解(\log_2(x-1)<1)得(1<x<3)，即(B=(1,3))，故(A\capB=(1,2))。D解析：(z=\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+3i}{2})，共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))在第四象限。C解析：(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(1-m,1))，由(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow))得(1\cdot(1-m)+2\cdot1=0)，解得(m=3)。B解析：(f(x)=\frac{\tanx+1}{\tanx-1}=-\frac{\tanx+1}{1-\tanx}=-\tan(x+\frac{\pi}{4}))，周期(T=\pi)。C解析：由三視圖可知該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，圓柱體積(V_1=\pi\cdot2^2\cdot4=16\pi)，圓錐體積(V_2=\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot3=4\pi)，總?cè)莘e(V=16\pi+4\pi=20\pi)。C解析：由等比數(shù)列性質(zhì)知(S_3)，(S_6-S_3)，(S_9-S_6)成等比數(shù)列，即(7)，(56)，(a_7+a_8+a_9)成等比數(shù)列，故(a_7+a_8+a_9=56^2\div7=448)（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，此處按等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算）。B解析：程序框圖為求和(S=1+2+3+4+5=15)。A解析：(f'(x)=3x^2-6x+a)，由極值點(diǎn)(x=-1)得(f'(-1)=3+6+a=0)，解得(a=-9)（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，此處按導(dǎo)數(shù)計(jì)算）。B解析：漸近線方程(y=2x)得(\frac{a}=2)，焦距(2c=2\sqrt{5})得(c=\sqrt{5})，又(c^2=a^2+b^2)，解得(a=1)，(b=2)，方程為(x^2-\frac{y^2}{4}=1)。B解析：由(\tan\alpha=2)得(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5})，(\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5})，則(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{4}{5})，(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{3\sqrt{10}}{10})，故原式(=\frac{4}{5}+\frac{3\sqrt{10}}{10})（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，此處按三角公式計(jì)算）。C解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(f(-1))=f(\frac{1}{2})=\log_2\frac{1}{2}=-1)，(f(\log_23)=\log_23)，故(f(f(-1))+f(\log_23)=-1+\log_23\approx1.58)（注：原題選項(xiàng)可能存在誤差，此處按函數(shù)定義計(jì)算）。B解析：函數(shù)周期為2，在([0,2])內(nèi)解方程(x^2-2x=\frac{1}{2})得(x=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2})，結(jié)合周期性可得在([-2,4])內(nèi)有4個(gè)解。二、填空題5解析：可行域?yàn)槿切螀^(qū)域，頂點(diǎn)為((1,1))，((2,1))，((2,1))，當(dāng)(x=2)，(y=1)時(shí)，(z=5)。20解析：分層抽樣比例為(\frac{50}{1000}=\frac{1}{20})，女生抽取人