站名：站名：年級(jí)專業(yè)：姓名：學(xué)號(hào)：凡年級(jí)專業(yè)、姓名、學(xué)號(hào)錯(cuò)寫、漏寫或字跡不清者，成績(jī)按零分記?！堋狻€…………第1頁，共1頁浙江海洋大學(xué)《數(shù)值分析》2025學(xué)年第二學(xué)期期末試卷(B)題號(hào)一二三四總分得分注意事項(xiàng)考生須在答題卡指定位置填寫姓名、學(xué)號(hào)、專業(yè)等信息，在試卷上作答無效。答題時(shí)須使用黑色簽字筆或鋼筆，字跡清晰，卷面整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷、答題卡一并交回，不得攜帶出考場(chǎng)。一、選擇題（本題共10小題，每題3分，滿分30分。從每題所給的A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中選出最佳答案）下列關(guān)于Lagrange插值多項(xiàng)式的表述，錯(cuò)誤的是（）A.n次Lagrange插值多項(xiàng)式可唯一滿足n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值條件B.增加插值節(jié)點(diǎn)一定能提高Lagrange插值多項(xiàng)式的逼近精度C.Lagrange基函數(shù)在對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處取值為1，在其他節(jié)點(diǎn)處取值為0D.Lagrange插值余項(xiàng)與被插值函數(shù)的n+1階導(dǎo)數(shù)相關(guān)已知某海域4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的水溫?cái)?shù)據(jù)（x為深度，y為溫度）：(0,20)、(10,15)、(20,12)、(30,10)，采用Newton插值計(jì)算x=15處水溫時(shí)，需構(gòu)造的均差表階數(shù)為（）A.1階B.2階C.3階D.4階下列數(shù)值積分公式中，代數(shù)精度最高的是（）（可用于海洋聲場(chǎng)能量積分計(jì)算）A.梯形公式B.Simpson公式C.Cotes公式D.兩點(diǎn)Gauss-Legendre公式用列主元Gauss消去法求解線性方程組的主要目的是（）A.減少計(jì)算量B.提高計(jì)算速度C.避免數(shù)值不穩(wěn)定D.簡(jiǎn)化程序?qū)崿F(xiàn)下列關(guān)于迭代法求解非線性方程f(x)=0的表述，正確的是（）A.簡(jiǎn)單迭代法的收斂性與初始值無關(guān)B.Newton迭代法在單根附近具有二階收斂性C.二分法對(duì)任意連續(xù)函數(shù)都能收斂到精確解D.弦截法需要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差階為（）A.O(h)B.O(h2)C.O(h?)D.O(h?)用Jacobi迭代法求解線性方程組Ax=b時(shí)，迭代收斂的充分條件是A為（）A.對(duì)稱矩陣B.正定矩陣C.對(duì)角占優(yōu)矩陣D.稀疏矩陣下列關(guān)于Hermite插值的表述，正確的是（）A.僅需滿足節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值條件B.可同時(shí)滿足節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值條件C.插值多項(xiàng)式的次數(shù)與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同D.不存在Runge現(xiàn)象用改進(jìn)Euler法求解常微分方程初值問題，其局部截?cái)嗾`差階為（）A.O(h)B.O(h2)C.O(h3)D.O(h?)下列關(guān)于數(shù)值方法誤差的表述，錯(cuò)誤的是（）A.截?cái)嗾`差是由方法本身的近似性導(dǎo)致的B.舍入誤差是由計(jì)算機(jī)有限字長導(dǎo)致的C.絕對(duì)誤差越大，相對(duì)誤差也一定越大D.可以通過事后誤差估計(jì)法估計(jì)數(shù)值解的精度二、填空題（本題共6小題，每題3分，滿分18分。）已知函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)x?=1、x?=2處的函數(shù)值為f(1)=2、f(2)=5，則一階Lagrange插值基函數(shù)l?(x)=________；可用于潮汐數(shù)據(jù)的線性插值。用梯形公式計(jì)算定積分∫?1x2dx的近似值為________，其精確值與近似值的絕對(duì)誤差為________；可用于海洋小區(qū)域面積估算。求解線性方程組2x用Newton迭代法求解方程x3-x-1=0，取初始值x?=1，則x?=________；可用于海浪共振頻率方程求解。已知某海域海浪高度隨時(shí)間變化的微分方程為dydt最佳平方逼近中，逼近多項(xiàng)式滿足的法方程組是基于________原理推導(dǎo)的；可用于海洋觀測(cè)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)擬合。三、計(jì)算題（本題共4小題，每題8分，滿分32分。需寫出詳細(xì)解題步驟，包括公式選擇、計(jì)算過程及海洋工程意義說明）數(shù)值逼近（結(jié)合潮汐數(shù)據(jù)插值場(chǎng)景）：某港口潮高隨時(shí)間變化的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：時(shí)間t（h）0246潮高h(yuǎn)（m）1.22.11.81.0（1）構(gòu)造二次Lagrange插值多項(xiàng)式，計(jì)算t=3h時(shí)的潮高近似值；（2）利用插值余項(xiàng)公式估計(jì)該近似值的截?cái)嗾`差（已知潮高函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)滿足h(t)≤0.05）；（3）說明二次插值在潮汐預(yù)測(cè)中的應(yīng)用價(jià)值，解釋為何實(shí)際應(yīng)用中常采用分段低次插值而非高次插值。數(shù)值積分（結(jié)合海水污染擴(kuò)散總量計(jì)算場(chǎng)景）：某海域污染物濃度隨距離排污口的距離x（單位：km）變化的函數(shù)為c(x)=0.8e^(-0.5x)，需計(jì)算排污口附近0到4km范圍內(nèi)的污染物累積濃度（即計(jì)算定積分∫??c(x)dx）。（1）用復(fù)化梯形公式（取n=4）計(jì)算該積分的近似值；（2）用Simpson公式計(jì)算該積分的近似值，并與復(fù)化梯形公式結(jié)果比較精度；（3）說明數(shù)值積分在海洋環(huán)境評(píng)估中的作用，解釋為何復(fù)化求積公式能提高計(jì)算精度。線性方程組數(shù)值解（結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)應(yīng)力計(jì)算場(chǎng)景）：某船舶甲板支撐結(jié)構(gòu)的應(yīng)力平衡方程組為：?????????4σ其中σ?、σ?、σ?為三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力（單位：MPa）。（1）判斷該方程組是否滿足Jacobi迭代法的收斂條件；（2）取初始值σ????=σ????=σ????=0，用Jacobi迭代法計(jì)算前兩次迭代的結(jié)果；（3）說明迭代法在船舶結(jié)構(gòu)應(yīng)力計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)，解釋為何工程中常優(yōu)先選擇迭代法而非直接法。常微分方程數(shù)值解（結(jié)合海洋水溫變化建模場(chǎng)景）：某深海區(qū)域水溫T隨深度x的變化滿足微分方程dTdx（1）用改進(jìn)Euler法取步長h=10m，計(jì)算x=10m和x=20m處的水溫近似值；（2）求該微分方程的解析解，并計(jì)算x=20m處數(shù)值解的相對(duì)誤差；（3）說明常微分方程數(shù)值解在海洋水文探測(cè)中的應(yīng)用價(jià)值，解釋步長選擇對(duì)數(shù)值解精度的影響。四、證明題（本題共1小題，滿分10分。需邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)合數(shù)值分析定理與海洋場(chǎng)景展開，可引用教材核心結(jié)論）證明：對(duì)于插值型求積公式ab（提示：利用插值多項(xiàng)式的性質(zhì)進(jìn)行證明：設(shè)P?(x)是f(x)在節(jié)點(diǎn)x?,x?,...,x?處的n次插值多項(xiàng)式，則f(x)=P?(x)+R?(x)，其中R?(x)為插值余項(xiàng)；對(duì)等式兩邊在[a,b]上積分，得到??ab對(duì)于插值型求積公式，有?k=0nA若f(x)是次數(shù)≤n的多項(xiàng)式，則插值余項(xiàng)R?(x)=0，故E[f]=0，即求積公式對(duì)次數(shù)≤n的多項(xiàng)式精確成立。結(jié)合海洋場(chǎng)景說明：該結(jié)論為海洋工程中選擇合適的數(shù)值積分方法提供了理論依據(jù)。例如，在計(jì)算海浪能量積分時(shí)，若海浪能量分布函數(shù)可近似為低次多項(xiàng)式，選擇同次插值型求積公式即可獲得精確結(jié)果；在船舶航行阻力積分計(jì)算中，利用該結(jié)論可通過驗(yàn)證低次多項(xiàng)式的精確性來判斷求積公式的適用性，從而在保證精度的前提下減少計(jì)算量。）五、應(yīng)用題（本題共1小題，滿分10分。需建立數(shù)值分析模型，選擇合適方法求解，分析結(jié)果的海洋工程意義）在海洋平臺(tái)振動(dòng)分析中，平臺(tái)的固有頻率ω需滿足非線性方程f(ω)=ω3-5ω2+8ω