2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學建模活動”設計試題（二）一、問題重述題（共2題，每題15分）題目1：校園共享單車調度優(yōu)化模型問題描述：某高校校園內(nèi)投放了300輛共享單車，分布在5個站點（編號A-E）。根據(jù)一周的運營數(shù)據(jù)，各站點早晚高峰時段的借還量如下表所示（單位：輛/小時）：站點早高峰借車量早高峰還車量晚高峰借車量晚高峰還車量A85302570B60453555C40657530D55504550E30756040已知：單車調度車每次可運輸50輛，平均行駛速度20km/h，各站點間距離（單位：km）為：A-B:1.2，A-C:0.8，B-D:1.5，C-E:1.0，D-E:0.6；調度成本為8元/公里，每輛車閑置一天的運營損失為5元；早高峰時段為7:00-9:00，晚高峰為17:00-19:00，非高峰時段可進行調度。要求：（1）建立數(shù)學模型分析當前站點供需失衡情況；（2）設計最小成本的調度方案，使各站點高峰時段無車可借或無位可還的概率低于5%；（3）評估若增加20輛投放車對調度成本的影響。題目2：社區(qū)養(yǎng)老服務中心選址模型問題描述：某社區(qū)計劃新建2個養(yǎng)老服務中心，服務覆蓋該社區(qū)6個居民小區(qū)。各小區(qū)的位置坐標（單位：百米）及老年人口數(shù)量如下表：小區(qū)坐標（x,y）老年人口（人）現(xiàn)有醫(yī)療資源（床位數(shù)）1(2,5)320402(5,3)280303(8,6)45004(4,1)210205(7,2)19006(3,7)35050已知：養(yǎng)老服務中心的服務半徑不超過3百米，超出半徑的服務成本增加2元/人·百米；每個中心的建設成本為50萬元+2000元/床，床位規(guī)模與服務人數(shù)的配比為1:15；需優(yōu)先覆蓋無現(xiàn)有醫(yī)療資源的小區(qū)。要求：（1）建立選址模型，確定服務中心的最優(yōu)位置；（2）計算最小建設成本及各中心的服務覆蓋范圍；（3）分析若將服務半徑放寬至4百米對總成本的影響。二、模型假設題（共2題，每題10分）題目3：新能源汽車充電需求預測模型問題描述：某小區(qū)計劃新建充電樁，需預測未來3年的充電需求?，F(xiàn)有數(shù)據(jù)包括：2022-2024年小區(qū)新能源汽車保有量（輛）：120→180→260年均充電頻次（次/輛）：36→42→50單次充電量（kWh/次）：45→52→60居民月均收入（千元）：8.5→9.2→10.8要求：（1）列出至少5項模型假設，需考慮政策、技術、經(jīng)濟等因素；（2）說明若忽略“電池技術進步導致單次充電量年增10%”這一因素，對預測結果的影響方向。題目4：校園外賣配送路徑優(yōu)化模型問題描述：某高校食堂外賣配送員需在1小時內(nèi)完成10個訂單配送，取餐點為食堂（坐標(0,0)），各訂單坐標及要求送達時間如下：訂單編號坐標（x,y）要求送達時間（分鐘）餐品重量（kg）1(1,3)251.22(4,2)300.83(3,5)401.5............要求：（1）為簡化模型，列出3項關于配送員行駛速度、訂單時間窗、餐品保鮮的關鍵假設；（2）若配送箱容量為8kg，建立判斷訂單是否需要分批次配送的數(shù)學條件。三、模型建立題（共3題，每題20分）題目5：農(nóng)產(chǎn)品電商供應鏈優(yōu)化模型問題描述：某農(nóng)戶合作社通過電商平臺銷售三種水果：草莓、柑橘、獼猴桃。其生產(chǎn)成本、物流損耗率及市場需求如下表：品類生產(chǎn)成本（元/kg）運輸損耗率（%/百公里）電商平臺傭金率日均需求量（kg）草莓12815%300±50柑橘538%500±80獼猴桃8512%200±40已知：物流費用為1.2元/(kg·百公里)，運輸距離200公里；保鮮處理可使草莓損耗率降低40%，但成本增加3元/kg；平臺促銷活動可使需求量提升20%，但需降價10%。要求：（1）建立以利潤最大化為目標的線性規(guī)劃模型，決策變量包括：三種水果的種植量、保鮮處理量、是否參與促銷；（2）寫出目標函數(shù)及約束條件（需考慮市場需求隨機波動）；（3）若合作社資金預算為10萬元，分析最優(yōu)方案的可行性。題目6：城市交通信號燈配時模型問題描述：某十字路口東西方向（主干道）和南北方向（次干道）的交通流量數(shù)據(jù)如下表（單位：輛/小時）：時段主干道車流量次干道車流量行人過街需求（人次/小時）早高峰1800900300平峰1200600200晚高峰20001100250已知：信號燈周期為60-120秒，綠燈時間不低于15秒；車輛平均等待時間=（紅燈時間）2/(2×周期)，行人等待忍耐時間≤60秒；主干道延誤每增加1分鐘，社會經(jīng)濟損失200元/小時。要求：（1）建立以“總延誤成本最小”為目標的優(yōu)化模型，變量包括周期時長、綠信比；（2）給出早高峰時段的最優(yōu)配時方案，并計算與當前固定配時（周期90秒，主:次=2:1）的延誤成本差異；（3）分析行人過街需求對配時方案的影響權重。題目7：疫情期間口罩分配模型問題描述：某市突發(fā)疫情，需向4個風險區(qū)域分配10萬只口罩，各區(qū)域的人口密度、感染率及防控等級如下表：區(qū)域人口（萬人）感染率（%）防控等級現(xiàn)有儲備（萬只）高風險83.2Ⅰ1.2中風險151.5Ⅱ2.5低風險220.3Ⅲ3.8封控區(qū)55.8Ⅰ0.5要求：（1）建立多目標優(yōu)化模型，目標包括：①感染人群覆蓋率最大化；②防控等級匹配度最高；③分配公平性（用基尼系數(shù)衡量）；（2）采用層次分析法確定各目標權重，需構造判斷矩陣并計算一致性比例；（3）若口罩產(chǎn)能提升至15萬只，分析封控區(qū)的分配量變化率。四、模型求解與結果分析題（共2題，每題25分）題目8：智能倉儲機器人路徑規(guī)劃問題描述：某電商倉庫有5個貨架（編號1-5）和1個分揀臺（編號0），布局如圖所示（單位：米），機器人需從分揀臺出發(fā)，將3個訂單商品從貨架取回，再返回分揀臺。貨架布局坐標：0(0,0)，1(4,3)，2(8,5)，3(2,7)，4(6,2)，5(10,4)訂單信息：訂單A：貨架1（2件）、貨架3（1件）訂單B：貨架2（3件）、貨架5（2件）訂單C：貨架4（1件）、貨架3（2件）已知：機器人最大載重5件，行駛速度1m/s，取貨時間每件10秒；訂單優(yōu)先級：A＞B＞C，A需在10分鐘內(nèi)完成，B和C需在15分鐘內(nèi)完成；允許機器人協(xié)同作業(yè)（最多2臺）。要求：（1）建立機器人路徑規(guī)劃的數(shù)學模型，目標函數(shù)包括行駛距離、任務完成時間、能耗（與載重正相關）；（2）用Dijkstra算法求解單機器人完成所有訂單的最短路徑，并計算總耗時；（3）設計雙機器人協(xié)同方案，比較單機器人與雙機器人的能耗差異（能耗系數(shù)：空載0.5Wh/m，滿載1.2Wh/m）。題目9：教育資源均衡配置模型問題描述：某區(qū)教育局計劃將20名骨干教師調配到5所中學，各校的現(xiàn)狀如下表：學?，F(xiàn)有教師數(shù)學生人數(shù)優(yōu)質生源比例（%）教學質量評估分甲8512003582乙609502075丙7011002578丁558001568戊9013004085要求：（1）建立教師調配模型，決策變量為各校分配人數(shù)，約束條件包括：①每校至少增加2名；②優(yōu)質生源比例低的學校優(yōu)先獲得名額；③教學質量評估分提升幅度最大化；（2）用0-1整數(shù)規(guī)劃表示“優(yōu)質生源比例低于25%的學校至少分配5名”的約束條件；（3）若定義均衡指數(shù)E=（各校生師比標準差）/（調配前生師比標準差），計算最優(yōu)方案的E值，并分析當E≤0.6時所需的最小教師增量。五、模型評價與改進題（共1題，30分）題目10：碳排放權交易市場模型問題描述：某地區(qū)有4家企業(yè)參與碳排放權交易，初始分配配額及實際排放量如下表（單位：萬噸CO?）：企業(yè)行業(yè)初始配額實際排放減排成本（元/噸）碳交易價格（元/噸）A鋼鐵1201508060B化工80705060C電力20023010060D建材90856060現(xiàn)有模型采用“邊際成本定價法”，即企業(yè)根據(jù)自身減排成本與市場價格的比較決定買入或賣出配額。要求：（1）指出該模型可能存在的3個缺陷（如未考慮行業(yè)差異、動態(tài)價格機制等）