2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)智能材料”中的數(shù)學(xué)知識試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）某外賣平臺為優(yōu)化配送路徑，將配送區(qū)域劃分為邊長為1km的正方形網(wǎng)格。若騎手從坐標(biāo)原點(0,0)出發(fā)，沿網(wǎng)格線行進(jìn)至目標(biāo)點(4,3)，要求途經(jīng)點(2,1)且不得重復(fù)經(jīng)過同一交叉路口，則不同的最短路徑數(shù)為（）A.12B.18C.24D.362024年某地區(qū)居民人均可支配收入數(shù)據(jù)顯示，農(nóng)村居民收入y（單位：萬元）與年份x（記2020年為x=0）的關(guān)系可用函數(shù)模型y=1.2×1.08?+0.3描述。若2025年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民收入為農(nóng)村居民的1.8倍，則2025年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入約為（）A.2.83萬元B.3.12萬元C.3.56萬元D.4.01萬元已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=|z+1|，且Re(z)·Im(z)=3，則|z|=（）A.√5B.√10C.5D.10某高校自主招生面試中，6名考生通過抽簽決定面試順序，其中甲、乙兩人要求間隔不超過2人，則不同的面試順序安排有（）A.288種B.360種C.432種D.504種我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“芻甍”（chúméng）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體?，F(xiàn)有一個芻甍模型，底面ABCD是邊長為2的正方形，EF∥平面ABCD且EF=1，EF到平面ABCD的距離為2，則該芻甍的體積為（）A.4B.10/3C.14/3D.6已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示，將其圖像向右平移π/6個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖像，則g(x)在區(qū)間[0,π]上的零點個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4某科研團(tuán)隊研發(fā)的AI預(yù)測模型顯示，某地區(qū)暴雨概率p與當(dāng)日濕度指數(shù)h的關(guān)系滿足p=1-e^(-0.02h2)。若該地區(qū)某日濕度指數(shù)為50的概率為0.3，濕度指數(shù)為80的概率為0.7，則該日發(fā)生暴雨的概率約為（）A.0.62B.0.73C.0.81D.0.94已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過點M(3,0)的直線l與C交于A,B兩點，設(shè)直線FA,FB的斜率分別為k?,k?，若k?=2k?，則|AB|=（）A.5B.25/4C.7D.29/4定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x2-2x+3。若對任意x∈[m,n]，不等式f(x)≤3恒成立，則n-m的最大值為（）A.3B.4C.5D.6某企業(yè)生產(chǎn)一種精密零件，其直徑尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N(10,σ2)。質(zhì)檢標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：若X∈[9.9,10.1]，則該零件為一等品，利潤率為20%；若X∈[9.8,9.9)∪(10.1,10.2]，則為二等品，利潤率為10%；其余為不合格品，虧損5%。已知該企業(yè)生產(chǎn)10000個零件的總成本為80萬元，若σ=0.05，則這批零件的預(yù)計總利潤約為（）（附：若X~N(μ,σ2)，則P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X-μ|≤3σ)≈0.9973）A.12.6萬元B.14.8萬元C.16.3萬元D.18.5萬元二、填空題（本大題共6小題，共30分）已知集合A={x|log?(x-1)≤2}，B={x|x2-4ax+3a2≤0}，若A∩B=A，則實數(shù)a的取值范圍是________。已知向量a=(2,-1)，b=(m,3)，若(a+b)⊥(a-b)，則m=；此時|a+2b|=。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+n-1，則數(shù)列{a?}的通項公式為a?=；若b?=log?(a?+n)，則數(shù)列{1/(b?b???)}的前n項和S?=。某算法的程序框圖如圖所示，則該算法輸出的S值為________。已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F?,F?，過F?的直線與C的右支交于A,B兩點，若|AF?|=3|AF?|，且∠F?AF?=60°，則C的離心率為________；若AB的中點M到y(tǒng)軸的距離為5a/4，則直線AB的斜率為________。已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b，若f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為2，最小值為-3，則a+b的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知bcosC+ccosB=2acosA。（1）求角A的大??；（2）若a=√3，△ABC的面積為3√3/4，求△ABC的周長。（12分）某社區(qū)為了解居民健康狀況，隨機(jī)抽取200名居民進(jìn)行體檢，得到其體重指數(shù)BMI（BMI=體重kg/身高m2）的頻率分布直方圖如圖所示。已知BMI<18.5為偏瘦，18.5≤BMI<24為正常，24≤BMI<28為超重，BMI≥28為肥胖。（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這200名居民中肥胖人數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從體重正常和超重的居民中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人體重超重的概率；（3）以樣本估計總體，從該社區(qū)所有居民中隨機(jī)抽取3人，記X為其中肥胖人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D,E分別是A?B?,BB?的中點。（1）證明：A?C⊥平面B?CD；（2）求二面角D-CE-A?的余弦值；（3）線段A?C上是否存在點F，使得EF∥平面B?CD？若存在，求出A?F的長；若不存在，說明理由。（12分）已知橢圓E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，左焦點為F(-√3,0)，過點M(4,0)的直線l與橢圓E交于A,B兩點。（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)N為線段AB的中點，若|AB|=2|MN|，求直線l的方程；（3）若點P是橢圓E上異于A,B的一點，且直線PA,PB的斜率分別為k?,k?，證明：k?+k?為定值。（12分）某科技公司研發(fā)一種新型節(jié)能設(shè)備，已知生產(chǎn)該設(shè)備的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x臺（x∈N*）需要另投入成本C(x)萬元，且C(x)={0.5x2+20x,0<x≤40{41x+1600/x-380,x>40（1）求該設(shè)備的年利潤L(x)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時，該公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？（3）為響應(yīng)國家“綠色低碳”政策，該公司決定每臺設(shè)備捐出2萬元用于環(huán)保事業(yè)。若扣除捐款后