2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“體育與數(shù)學(xué)”科普試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）籃球戰(zhàn)術(shù)中的拋物線(xiàn)某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線(xiàn)外（距離籃筐7.25米）起跳投籃，球的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線(xiàn)(y=-0.2x^2+bx+c)。已知球出手時(shí)高度為2.2米（(x=0)處），籃筐中心坐標(biāo)為（7.25，3.05），則該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為（）A.3.5mB.4.0mC.4.5mD.5.0m足球射門(mén)的概率模型在足球訓(xùn)練中，球員甲在距球門(mén)12米處射門(mén)的命中率為0.6，球員乙在同一位置的命中率為0.5。若兩人各射門(mén)一次，至少一人命中的概率是（）A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8田徑跑道的幾何計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)400米跑道由兩個(gè)直道和兩個(gè)半圓形彎道組成，直道長(zhǎng)85.96米，彎道半徑為36.5米。若運(yùn)動(dòng)員沿最內(nèi)道跑一圈，其路程與位移大小的差值約為（）A.0米B.73米C.146米D.400米體操隊(duì)列的排列組合某校高三體操隊(duì)有12名隊(duì)員，其中3名領(lǐng)操員需站成一排，剩余9人站成3×3方陣。若領(lǐng)操員甲不站在兩端，則不同的排列方式共有（）A.72種B.144種C.288種D.432種游泳比賽的函數(shù)模型某游泳運(yùn)動(dòng)員在100米自由泳中，速度(v(t))（單位：m/s）與時(shí)間(t)（單位：s）的關(guān)系為(v(t)=1.5+0.02t-0.0005t^2)，則其在前20秒內(nèi)的平均速度為（）A.1.7m/sB.1.9m/sC.2.1m/sD.2.3m/s羽毛球比賽的數(shù)列問(wèn)題羽毛球比賽采用“21分制”，即先得21分者獲勝（凈勝2分及以上）。若甲、乙兩人每局勝率分別為0.6和0.4，且每局比賽相互獨(dú)立，則甲以2:1獲勝的概率為（）A.0.288B.0.3456C.0.432D.0.5184乒乓球旋轉(zhuǎn)的物理與數(shù)學(xué)乒乓球被擊出后，其旋轉(zhuǎn)角速度(\omega)（單位：rad/s）與時(shí)間(t)（單位：s）滿(mǎn)足(\omega(t)=1000e^{-0.5t})，則在前2秒內(nèi)的平均角速度為（）A.(500(1-e^{-1}))B.(1000(1-e^{-1}))C.(500(1-e^{-2}))D.(1000(1-e^{-2}))滑雪賽道的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用某滑雪賽道的高度(h(x))（單位：m）與水平距離(x)（單位：m）的關(guān)系為(h(x)=-0.001x^2+0.2x+50)，則賽道最陡處的坡度（高度變化率）為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4排球發(fā)球的三角函數(shù)模型排球運(yùn)動(dòng)員發(fā)球時(shí)，球的高度(y)（單位：m）與水平距離(x)（單位：m）滿(mǎn)足(y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x+2)，則球的最大水平射程為（）A.6mB.8mC.12mD.16m賽艇比賽的線(xiàn)性規(guī)劃某賽艇隊(duì)需選拔4名隊(duì)員，要求身高在175~190cm之間，體重在65~85kg之間。若隊(duì)員身高(x)與體重(y)滿(mǎn)足(y=0.6x-40)，則符合條件的身高范圍對(duì)應(yīng)的體重區(qū)間為（）A.[65,74]B.[68,77]C.[70,79]D.[72,82]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）馬拉松的積分不等式某馬拉松賽事設(shè)置“分段計(jì)時(shí)積分”：前30公里每公里耗時(shí)(t_i)（單位：min），后12.195公里每公里耗時(shí)(s_j)，總積分(P=\sum_{i=1}^{30}(5-0.1t_i)+\sum_{j=1}^{13}(4-0.08s_j))。若某選手全程耗時(shí)210分鐘，且(\sum_{i=1}^{30}t_i=150)，則其積分(P)的最大值為_(kāi)_______。跳水運(yùn)動(dòng)的物理方程跳水運(yùn)動(dòng)員從10米跳臺(tái)豎直起跳，初速度為3m/s，若忽略空氣阻力（重力加速度(g=10m/s^2)），則其入水時(shí)的速度大小為_(kāi)_______m/s。網(wǎng)球發(fā)球的概率分布網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員發(fā)球成功的概率為0.8，若發(fā)球成功后得分概率為0.6，失敗后得分概率為0.2，則其一次發(fā)球的得分期望為_(kāi)_______。F1賽車(chē)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用F1賽車(chē)在直道行駛時(shí)，位移(s(t)=t^3-6t^2+15t)（單位：m），則其加速度為0的時(shí)刻是________s。三、解答題（本大題共6小題，共80分）（12分）籃球戰(zhàn)術(shù)的優(yōu)化模型某籃球隊(duì)在比賽中，中鋒在距籃筐5米處投籃的命中率為0.4，若配合擋拆后可推進(jìn)至3米處投籃，命中率提升至0.6，但擋拆成功的概率為0.7。設(shè)每次進(jìn)攻得分為2分（忽略三分和罰球），求：（1）該戰(zhàn)術(shù)的期望得分；（2）若擋拆成功率與推進(jìn)距離(x)（單位：米，(3\leqx\leq5)）滿(mǎn)足(p(x)=0.9-0.05x)，命中率(q(x)=0.2+0.1x)，求(x)為何值時(shí)期望得分最大。（14分）田徑跨欄的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析跨欄運(yùn)動(dòng)員起跑后做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)5秒達(dá)到最大速度(v_m)，之后保持勻速。已知110米欄共10個(gè)欄架，欄間距9.14米，起跑線(xiàn)至第一欄距離13.72米，最后一欄至終點(diǎn)線(xiàn)距離14.02米。（1）若運(yùn)動(dòng)員全程用時(shí)13.18秒，求(v_m)；（2）若欄高1.067米，運(yùn)動(dòng)員過(guò)欄時(shí)重心上升0.3米，且過(guò)欄瞬間速度降至(0.8v_m)，求克服重力做功的功率（設(shè)運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量70kg，(g=10m/s^2)）。（14分）足球聯(lián)賽的排列組合某足球聯(lián)賽有18支球隊(duì)，采用雙循環(huán)賽制（每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)），勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分。（1）求聯(lián)賽總場(chǎng)次及理論上的最高積分差；（2）若某球隊(duì)賽季目標(biāo)為積分不低于50分，且勝場(chǎng)數(shù)不低于負(fù)場(chǎng)數(shù)的2倍，求其最少需勝多少場(chǎng)。（14分）游泳訓(xùn)練的微積分應(yīng)用某游泳運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練中，位移(s(t))（單位：m）與時(shí)間(t)（單位：s）的關(guān)系滿(mǎn)足微分方程(s''(t)=-0.02s'(t))，初始條件為(s(0)=0)，(s'(0)=2)。（1）求(s(t))的表達(dá)式；（2）求運(yùn)動(dòng)員游完100米所需的時(shí)間（精確到0.1秒）。（14分）體操表演的幾何設(shè)計(jì)某校校慶體操表演中，600名學(xué)生組成“圓形波浪”隊(duì)形：初始時(shí)站成半徑為20米的同心圓，共5圈，每圈人數(shù)相等；隨后變換為正六邊形隊(duì)形，邊長(zhǎng)為15米，且中心與圓心重合。（1）求初始時(shí)最內(nèi)圈與最外圈的間距；（2）若正六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)安排1名領(lǐng)操員，其余學(xué)生均勻分布在各邊，求每邊的學(xué)生人數(shù)（含頂點(diǎn)）。（12分）體育場(chǎng)館的優(yōu)化設(shè)計(jì)某體育館擬修建一個(gè)矩形游泳池，周長(zhǎng)為120米，沿池邊修建寬度為2米的防滑區(qū)，且防滑區(qū)面積不超過(guò)泳池面積的1/4。（1）設(shè)泳池長(zhǎng)為(x)米，求防滑區(qū)面積(S(x))的表達(dá)式；（2）求泳池的最大面積。四、開(kāi)放探究題（本大題共1小題，共20分）體育大數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)建模隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，體育訓(xùn)練逐漸依賴(lài)數(shù)據(jù)分析。某短跑教練收集了運(yùn)動(dòng)員10次100米訓(xùn)練的成績(jī)（單位：s）：10.8,10.6,10.4,10.5,10.3,10.7,10.2,10.5,10.1,10.4（1）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差及中位數(shù)；（2）若成績(jī)(t)服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，且(P(t<10.3)=0.3)，求(P(10.3<t<10.6))；（3）結(jié)合