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?緒論

§1-1觀測誤差

測量數(shù)據(jù)（觀測數(shù)據(jù)）是指用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取的反映

地球與其它實體的空間分布有關信息的數(shù)據(jù)，包含信息和干擾（誤差）兩部分。

一、誤差來源

觀測值中包含有觀測誤差，其來源主要有以下三個方面：

1.測量儀器；

2.觀測者；

3.外界條件。

二、觀測誤差分類

1.偶然誤差

定義，例如估讀小數(shù)；

2.系統(tǒng)誤差

定義，例如用具有某一尺長誤差的鋼尺量距；

系統(tǒng)誤差與偶然誤差在觀測過程中總是同時產(chǎn)生的。

3.粗差

定義，例如觀測時大數(shù)讀錯。

令誤差分布與精度指標

§2-1正態(tài)分布

概率論中的正態(tài)分布是誤差理論與測量平差基礎中隨機變量的基本分布。

一、一維正態(tài)分布

1.概率密度

2.數(shù)學期望磯團；

3.方差D(X)；

4.正態(tài)隨機變量X出現(xiàn)在給定區(qū)間(〃-奴7,"+奴7)內(nèi)的概率。

§2-2偶然誤差的規(guī)律性

一、真值與真誤差」

1.真值一

代表觀測量真正大小的數(shù)值，以1表示，當觀測量僅含偶然誤差時，

磯￡）=工。/

2.真誤差二

真誤差的熬式為：〃

△Tf（2-2-1）

或小

A=Z-Z（2-2-2）

xlxlxl

一般情況下工是難以求得的，但有以下兩種特殊的情況可以得到：一

①在圖1的三角形中，工i，E和工3難以求得，但其和的真值等于180,即

一般情況下工是難以求得的，但有以下兩種特殊的情況可以得到：，

①在圖1的三角形中，工］,口和N難以求得，但其和的真值等于180°,即

Zj+Z2+Z3=180"；川

②設對圖2的一段距離分別進行往、返丈量得廠和廠，方、介難以得到，

而往、漫測之差的真值酸竟，即^==0。-

A

L'

L〃

佟12

二、偶然誤差的知律性

人們從無數(shù)測量實踐中發(fā)現(xiàn)，大量的偶然誤差的分布表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)

律。下面通過實例來說明這種規(guī)律性。

例如，衣粼蟋在相同的觀測條件下，獨立地觀測了358個平面三角形的全

部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角和的真誤差可虹式雌：

=180'-(Zj+3￡3),(j=1,2，…,358)

又在另一測區(qū)觀測了421個三角形全部內(nèi)角，同理可得：

△「180--(。+&+5。=1,2,.??,421)

1.誤差分布表“

將358個△，和421個△,分別進行整理:首先按大小排列，然后以必=0"20

為區(qū)間長度進行分區(qū)，再統(tǒng)計各區(qū)間內(nèi)誤差的個數(shù)匕以及“誤差出現(xiàn)在某個區(qū)

間內(nèi)”這一事件的頻率9勿(n為誤差個數(shù))，分別得到表2-1和表2-2。從表

中可以看出：〃

①誤差的絕對值有一定的限值，表2-1的限值為1-60,表2-2為2"60…

②絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差多；-

③絕對值相等的正負誤差個數(shù)相近。，

2.直方圖

由表2-1、表2-2可以得到直方圖2T和圖2-2(注意縱、橫坐標各表示什么？)，直方圖形象

地表示了誤差分布情況。

3.誤差分布曲線(誤差的概率分布曲線)

在一定的觀測條件下得到一組獨立的誤差，對應著一種確定的誤差分布。當觀測值個數(shù)的情況

下，頻率穩(wěn)定，誤差區(qū)間間隔無限縮小，圖2T和圖2-2中各長方條頂邊所形成的折線將分別變

成如圖2-3所示的兩條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線，隨著n增大，以正態(tài)分布為其極限。因

此，在以后的討論中，都是以正態(tài)分布作為描述偶然誤差分布的數(shù)學模型。

4.偶然誤差的特性

①在一定的觀測條件下,誤差的絕對值有一定的限值，即P（|A|>△僵）=0;

②尸（|△小|）>「（|△大|）;

③絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同；

1X

?5(A)=0或hn—=0o

5.偶然誤差的概率密度

假設誤差服從正態(tài)分布，其概率密度式為

1-條

/(△)(2-2-6)

通常認為偶然誤差△是服從N（0,，）分布的隨機變量。

第三章協(xié)方差傳播律及權

在測量實際工作中，往往會遇到某些量的大小并不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)

關系間接計算出來的，顯然，這些量是觀測值的函數(shù)。例如，在一個三角形中

同精度觀測了3個內(nèi)角LI,L2和L3,其閉合差w和各角度的平差值分別

W=￡]+Z>2+上3-1800

A=4~yG=123）

又如圖3-1中用側方交會求交會點的坐標等。

現(xiàn)在提出這樣一個問題:觀測值函數(shù)的精度如何評定？其中誤差與觀測值的中誤差存在怎樣

的關系？如何從后者得到前者？這是本章所要討論的.事要內(nèi)容，闡述這種關系的公式稱為協(xié)方差

傳播律。

§3-1數(shù)學期望的傳播

數(shù)學期望是描述隨機變量的數(shù)字特征之一，在以后的公式推導中經(jīng)常要用到它，因此，首先介紹

數(shù)學期望的定義和運算公式。其定義是

￡(x)=jxf[x)dx

一9

數(shù)學期望的運算公式如下：

①設C為一常數(shù)，則

E(C)=C

②設C為一常數(shù)，X為一隨機變量，則

E(CX)=CE(X)

③設有隨機變量X和Y,則

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

?若隨機變量X、Y相互獨立，則

E(XY)=E(X)E(Y)

推廣之，如有隨機變量Xi，X》…，左兩兩相互獨立，則有

￡(X*2…笈)=E(Xi)E(X2)-E(左)

§3-2協(xié)方差傳播律

從測量工作的現(xiàn)狀可以看出：觀測值函數(shù)與觀測值之間的關系可分為以下3種情況，下面就按這

3種情況來討論兩者之間中誤差的關系。

一、觀測值線性函數(shù)的方差

1.設有觀測值向量為其數(shù)字期望以和皴友爭…陣

*1

%分別為

Xa2

l0…外

x,

*E(X)???（3-2-1）

*■?

*??

41%…bJ

設有X的線性函數(shù)改=落+時,求綺式中夕［g…h(huán)］為系數(shù)陣,此為常數(shù)，

場無誤差。

2,根據(jù)方差的定義式(2-3-1)式有

=a/=E[(Z-5(Z))(Z-E(ZSf]

上式中，2=睦融而E(X)可根據(jù)數(shù)學期望運算公式①、②和③叱螂猥:

E⑵=E(KXHko)

WSAAAA/\^V

③

=E(KX)+E(%)

vvv

①②

=KE(X)+&

=KP-X+%

將Z和E(Z)代入Dzz，得

%=4=磯收"%)依-"f]

T

=E\K[X-PX\X-^K]

:?口立==工口立太](3-2-4)

11

上式簸蟆鵬為(3—2—5)式?

當g中各分量Y焉=1,2…㈤兩兩獨立時,它們之間的協(xié)方差為=0(J=。此時(3-2-5)

式%以下形式

2

=(Tz=k\+上22b2’+,?,+&2bJ(3-2-6)

通常將(3—2—4)、(3—2—5)和(3—2—6)等式稱為協(xié)方差傳播律。

例3—3

解：本題觀測值向量為

X,

B

A■

其協(xié)方卷陛盅酬條件可知:

196-1

-11.96

%*

1.列出X與。的關系式

由圖3—2可知

La-鳳一尸2=［一1-1]+a

A￡T。

13

2.由(3—2—4)式得

196-1-1

bj=[-1-1]

-11.96-1

-1

1.92的2)

[-0.96-0,96]-1

.<TX=1.4

3.若按(3-2-5)計算得

bj=(-1)2X1.96+(-1)2X1.96+2X(-1)X(-1)x(-1)

=3.92-2=1.92做)

1.4*

提問：英圖熊用(3—2—6)式計筠嗎？為什么？

二、綺個現(xiàn)測值線性球的協(xié)方差陣

1.設有觀測值向量A,其數(shù)學期望網(wǎng)和協(xié)方差陣如（3-2-1）式.

若有X的￡仝線性函數(shù)如（3—2—7）式所不?，F(xiàn)令

WV*

用1占2

卜21上22

K

tn?1

則（3—2—7）期隔為

(3-2-8)

求久=?

2.比較（3-2-2）與（3-2-8）式可以看出：兩式的形式完全相同，因此，根據(jù)

（3-2-4）式可以得到

(3—2—10)

ttnnnm

上式中的乙是2個觀測值函數(shù)的協(xié)方差陣，而（3-：-4）式中的Z）紅是一個觀測值函數(shù)

n11

的方差，因此，可以認為（3—2—4）式是（3—2—10）式的一種特殊情況。所以稱

（3-2-10）式為跳方差傳播律的一般公式。

3.設另有X的尸個線性函數(shù)

X1

Y=FX+F(3—2—12)

rlm?1丫，0

由（3—2—10）式可得

4口加(3—2—14)

JT711XXKr

4.Y關于Z的互協(xié)方差陣DY廣？

根甑城瞌陣的定義可知

%=4（y-￡（y））（z-￡（z））［

按照以上推導的方法可得

（3—2—15）

通常將(3—2—4)、(3—2—10)和(3—2—15)等式稱為協(xié)方差傳播律11

例3—5

丕圖在應用協(xié)方差傳播徽色前,首先要寫出觀測值向量［:］及其協(xié)方差陣

以方便后面的計算。

三、非線怖覆的情況

1.設有觀測值向量X的非線性函數(shù)

al

Z=，(x)（3-2-21）

或2=，3,/，???，尤)（3-2-22）

已知備的協(xié)方差陣少必欲求Z的方差。立.

2.對于以上非線性函數(shù)的情況，首先要利用臺勞公式，在點工「,工2°，…,凡0處將(3

—2—22)式展開為線性形式，如(3—2—23)式。當與X非常接近時，舍去上式中的

二次及二次以上各項，得到

(3—2—24)式

…熱］

￡=*k2

(更)J曳

顯然，K與旬均無誤差。(3-2-24)式可以寫成

Z=KX+k(3—2—26)

n11ix3?iJ〃ai

上式與(3-2-2)式完全相同，故可以按(3-2-4)式得到Z的方差刀江為

3,若按(3—2—28)式設HAT,,謾話口dZ,貝U(3—2—24)式可寫為

密

b%c

KdX(3-2-29)

可見上式是(3-2-22)式的全微分，其系數(shù)陣K與(|3-2-26)式完全相同。因此，為

了求非線性函數(shù)的方差，只要對它先求全微分，將非線性函數(shù)化為線性函數(shù)，嬲嫄奏侵

搔建螭求得該函數(shù)的方差?

4金t個非線性函數(shù)灑…非線性函叫，先求全微分得

dZ=KdXdy=FdX

?1?!?1ylnt?1

再按(3—2—10)、(3—2—15)兩式得

口/…加*3L：*kXX”

AB

So

圖3—4

叢期豳看出：

1.對函數(shù)式進行全微分時，有時先將函數(shù)式取對數(shù)，再求全微分更簡便；

r1

2.偏導數(shù)且的數(shù)值是用X的近似值代入后篝出的；

dX

i1h

3,用數(shù)值代入計算時，應注意各項的單位要統(tǒng)一，翅史有長度和角度兩種單位，應

懶殿）我除以?；癁榛《?

四、應用協(xié)方差傳播律的計算步驟

根據(jù)以上3種情況求會或協(xié)方著陣的計算過程，總結出應用協(xié)方差傳播律的4個計

算步驟.（略）

復習思考題

1.觀測值向量X的協(xié)方差陣是怎樣定義的？試說明其中各個元素的含義。

2.已知現(xiàn)測值上卜占的中誤差%=仃2=b,b]2=0。設

X=24+5,Y=L「2j,Z=g,E=X+F,試求XKZ和2的中誤差.

解.

L根據(jù)（3—2—6）式可得

22

=2（T.1.ax=2b

b；=<T2+（-2）?『

2

=5a<jy=

222

5=%+%

=4a2+5a2=9a2%=3a

2.由于Z=￡i&,所以有

o：=巧？=a2

以上解算是否正確？為什么？

3.協(xié)方差傳播律是用來解決什么問題的？試寫出并推導其主要公式。

課夕阱業(yè)：

1.設有觀測值向量上，具協(xié)方差陣為

31

6-1-2'

%=741

-212

試分別求下列函數(shù)的方差：

(1)及=4+34-24

(2)瑪=￡：+&+#

2.在4ABP中(見圖1),A、B為已知點，￡卜乙和與為同精度雙測值，其中誤差為1"。

試哪菱后P點坐標X、Y的協(xié)方差陣.

3.在圖2中的4ABC中，直接測得

b=W6.oofn±0.06雨,/=29°39'士1'和7=120°07,±2TM計算邊長C及其中誤差々。

第四章平差數(shù)學模型與最小二乘原理

第五章條件平差

§5-1條件平差原理

以條件方程為函數(shù)模型的方法稱之條件平差。

一、條件平差的數(shù)學模型

根據(jù)蚤4-2的介紹可知：

n:觀測值個數(shù)

t:必要觀測數(shù)

r:多余觀測數(shù)，r=n-t

1.函數(shù)模型，

工/+取=0（5-1-2）

mxlrlrl

2,隨機模型

2?="。=同尸"（5-1-3）

加：單位權方差

2：觀測值協(xié)因數(shù)陣

尸：觀測值雁Q，P=l

3,平差準則為

VTPV=min（5-1-4）

條件平差就是要求在滿足r2條件方程（5-1-2）式的條件下，求函數(shù)

VTPV=min的U值。能否直接由（5-1.2）式醵~值呢？回顧線性代數(shù)的知

識，我們的回答是否定的。＜為什么？）這是數(shù)學中求函數(shù)的條件極值問題，用

拉格朗日乘數(shù)法可以求邸醒上述條件的V值天。

［補充知識1］:拉楮朗日乘數(shù)法

求函數(shù)Z=/（x,y）在滿足附加條件。（冗y）=0的情況下的極值問題。根據(jù)拉

格朗臼乘數(shù)法，先組成一個新的函數(shù)

一=—（元?。?元,0（元力

式中2為某一常數(shù)（待定）,即拉格朗日乘數(shù)。再來求上式的極值。

二、基礎方程及其解

1.平差值條件方程

（5-1-5）式

式中《”4，...勺（1=1,2，…㈤為條件方程系數(shù)，劭，％，…，為為條件方程常數(shù)項。

2.條件方程

用￡=￡+/代入（5-1-5）式，得條件方程

（5-1-6）式

式中叫，出，…，”為條件方程閉合差。（5-1-6）式和閉合差的矩陣形式分別為：

AV^W=0,、

malrlM（5-1-8）

用=4Z+4（5-1-11）

rl?1月

3.按求函數(shù)條件極值的方法引入常數(shù)MU）,S=［加虧…也產(chǎn)，稱為聯(lián)系數(shù)

向量。組成新的函數(shù)

<X>-VTPV-2KT{AV+W）

（Z=/（q）+下0（"））

求9的極值要用到矩陣微分公式。

［補充知識2］：矩陣微分公式

參閱《測量平差基礎》（增訂本）P5U-P512的公式。

根據(jù)P512微分公式（3）：

—（FrG）=—（GrF）=Fr—+Gr—

dX?idX、dXdX

可得

d（丁尸「火」

dVdVdV

=VTP+VTP

=2/r產(chǎn)

于是有

吧=2/尸-2K7=0

dV

最后得到改正數(shù)方程

V=產(chǎn)"WK=QArK（5-1-11）

4.基礎方程

AV^W=0,、

巾*1八（5-1-8）

W=AL+A,（5-1-11）

rlr??1八

由此方程解得的V既滿足VTPV=min,又滿足條件方程工/+取=0。

5.法方程

將（5-1-8）式代入（5-1-11）式得到法方程:

2笊臂=￡

式中西=R(g)=&⑶Q4『)=&(j)=〃，故以為滿秩對稱方陣。

于是有

K=-曾)取

￡=￡+/

6.當P為對角陣時，改正數(shù)方程和法方程的純量形式分別為(5-1-16)式和

(5-1-17)式。以『3為例寫出以上兩方程的具體形式。

二、按條件平差求平差值的計算步驟及示例

計算步驟:

1.列出r=n-t個條件方程;

2.組成并解算法方程;

3.計算V和的值;

4.檢核。

例5-2

注意事項:

1.閉合差單位要化小，本例的單位是“mm3

2.定權用=工，表示C=1(km)，即1km觀測高差中誤差為單位權中誤差;

禺

3.平差值￡=￡+/,應注意L與V單位一致。

復習思考題：

1.能否直接由條件方程AV^W-0求解改正數(shù)向量V?..為什么？

m?1rl

2.條件平差法是怎樣求得改正數(shù)向量9的^^簡述跳導思蹈及主要公式。

課外作業(yè)：

1.在圖1中，已知角度獨立觀測值及其中誤差為：

Li=63-19/40\歷=30"

4=58-25/20\?=20"

&=30K45'42",6=10"

(1)試列出改正數(shù)條件方程；

(2)試按條件平差法求的平差值。

2.在圖2中，A,B,C三點在一直線上，測出了AB,BC及AC的距離，得4個

獨立觀測值：

八=200.010胸=300050WJ3=300.070Z4=500.090m

若令100m量距的權為單位權,試按條件平差法確定A,C之間各段距離的平差值。

AB

圖2

第六章附有參數(shù)的條件平差

一、問題的提出

由條件平差知，對于n個觀測值，t個必要觀測（n>t）的條件平差問題，可以列出r=n-t個獨

立的條件方程，且列出r個獨立的條件方程后就可以進行后繼的條件平差計算。然而，在實際工

作中，有些平差問題的r個獨立的條件方程很難列出。例如，在圖1所示的測角網(wǎng)中，A、B為

已知點，AC為已知邊。觀測了網(wǎng)中的9個角度，即n=9。要確定C、D、E三點的坐標，其必要觀

測數(shù)為t=5,故條件方程的個數(shù)為r=n-t=9-5=4,即必須列出4個獨立的條件方程。由圖1知，

三個圖形條件很容易列出，但第四個條件卻不容易列出。

圖】

為了解決這個問題，可以選擇某個(或某幾個)非觀測量作為參數(shù)發(fā)。例

如圖1中選擇乙4M作為參數(shù)發(fā)。設選擇了“個參數(shù)，則原來的，個條件方程

就變?yōu)閏=r+u個了。如圖1中，由于選擇了乙4即作為參數(shù)分，則條件方程

的個數(shù)就變?yōu)椤?也=4+1=5個，即除了三個圖形條件外，還可中世1個極

條件和1個固定邊條件。如圖1,若以A點為極，則極條件為：

3、A

siii(L5+L7)sillXsillL6

siiKZg-X)siii(L6+L8)sillL5

固定邊條件為(由工C推算工B)：

_siii(L6+Z8)siiiL2

?AB~4AC：~T~~,~；

suiXsin￡3

或

SACsiii(L6+1^)sillL.

S標sillXsillk

根據(jù)如此含有以個參數(shù)的條件方程所進行的平差，稱為附有參數(shù)的條件平

差。

二、附有參數(shù)的條件平差原理

由笫四章知，附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型為:

A尸+Bx+W=0(6-1)

CXMM54CYUUAcxlcxl

式中，為觀測值￡的改正數(shù)，￡為參數(shù)近似值X。的改正數(shù)。其系數(shù)矩陣的秩分

別為歡G4)=c、rk(B)=itQ其隨機模型為:

DH?一】

（6-1）式中的未知數(shù)為n個觀測值L的改正數(shù)，和以個參數(shù)近似值X°的

改正數(shù)庭，即未知數(shù)的個數(shù)為活=閥+以，而方程的個數(shù)為c=廠+以。由于/-°=

?-r=Z>0,所以［6-1）式是一組具有無窮多組解的相容方程組。必須根據(jù)最

小二乘原理，求出能使，丁尸，=mm的一組解。為此，下面就來求解能使

/丁產(chǎn)/=n皿的一組解。

1、基礎方程及其解

為了求得解能使，丁尸憶=nun的一組解，按求函數(shù)之條件極值的方法，組

成新函數(shù)：

中=VTPV-1KT（AV^BX^TW）

式中R是對應（6-1）式的聯(lián)系數(shù)向量。

為了求函數(shù)中的極小值，將其分別對/和虛求一階導數(shù)，并令其為零，即

—=1VTP-1KTA=0

dV

Mr

——=-2KrB=0

&

亦即

P7-ArK=0

BrK=0

或

7=P-1ArK

（6-2）

BrK=0

（6-2）式中的第一式稱為改正數(shù)方程。

將（6-1）式和（6-2）式聯(lián)立，則得到附有參數(shù)的條件平差的基礎方程：

A7+Bi+W=0

（6-3）

BTK=O

BTK=O

將（6-3）式中的第二式代入第一式，消去改正數(shù)匕得：

AP-1ArK^^+質(zhì)=0

BTK=0

或

NK+Bx^-W=0

；（6-4）

BrK=0

（6/）式稱為附有參數(shù)的條件平差的法方程。因為

xr

rk（Naa）=次（AP-】月?。?次（⑷=j且聞=（金P-9］）1=AP-A=Naa,

所以叫。是滿秩的對稱方陣，其凱利逆存在。于是，用只左乘（6-4）式的第

一式，可得：

玄=一詞（成+叼（6-5）

再以R］應左乘（6-4）式的第一式，顧及第二式，得：

BTN^BX^BTN2W=0

令%=ICB（6-6）

則有

%"或%>=0（6-7）

因為次（%）=次（爐況的=/（B）=〃，且%=聞，所以必是

滿秩的對稱方陣，其凱利逆存在。于是，由（6-7）式得：

X=-^BTN2W（6-8）

將（6-5）式和（6-8）式同時代入（6-2）式的第一式，得：

V=一「一1/丁詞（成+町（6-9）

（6-8）式和（6-9）式就是附有參數(shù)的條件平差的最終解。

2、附有參數(shù)的條件平差的計算步驟

由以上推導，可總結出附有參數(shù)的條件平差的計算步驟如下：

（1）、根據(jù)具體的平差問題，選取以個獨立的參數(shù)，并列出附有參數(shù)的條件

方程（6-1）式。

（2）、組成法方程（6-4）式。

（3）、按（6-8）式和（6-9）式計算參數(shù)近似值X。的改正數(shù)左和觀測值L

的改正數(shù)心

（4）、按￡=￡+0、X=X0+3計算觀測值和參數(shù)的平差值。

（5）、用平差值重新列平差值條件方程，檢核整個計算的正確性。

3、舉例

某三角網(wǎng)如圖2所示，43為已知點，￡刀為已知邊。其已知數(shù)據(jù)為：

xA=1000.00用，yA=0.00M，XS=1000.00加，ys=1732.00加，SSD=1000.00加

各角的同精度獨立觀測值見表1?，F(xiàn)選一C4B的最或是值為參數(shù)，試按附有參

數(shù)的條件平差求觀測值的平差值和參數(shù)的平差值。

D

表1

角號觀測值角號觀測值

14

60°00'03"59。59'57，

260°00'02"559M946"

36

60°00'04"59。59'59"

本例中正=6,f=3,r=3,u=lt故,=廠+以=4

由圖2知，可列2個圖形條件，1個極條件和1個固定邊條件。這4個條

件如下:

V]+丫2+%+乜=0

?4+巴+?6+啊=°

sinL疝1(與-X)siii(l3+￡5)

4：：：：=1

Sill￡5疝1(J+24)疝X

ARsillX

——SJ——^=1

S如疝1(%+區(qū))

取x°=3o°o(ro(r,將非線性條件線性化后，得條件方程為:

‘111000、'0、'9、

0001110-8

/+X+=0

1.7320.577-0.5771.155-1.1550-3.4645.196

1000,57700.5770,J.732)「6.0%

由于為同精度獨立觀測,故尸=1。于是由（6-4）式得法方程為:

’3.00001.7320.577、,0、'9、

03.00000.5770—8

K+X+=0

1.73206.334-0.999一3.4645.196

^0.5770.577-0.9990.666?<1-732;「6051,

?00-3.464L7321K=0

解得：￡=5.4009",VT=（2.4*-5.7*-5.7*8.0"0.00.0）

由此可得觀測值和參數(shù)的平差值為：

￡r=i60°00r05.4ff59*946.3”59。5948.3"60。003.0"59°59460*59*949.0"|

北=30°0（T05.4”

檢核略。

三精度評定

1、單位權方差的估值

在附有參數(shù)的條件平差中，單位權方差的估值仍為：

、VTPVVTPV,、

%=------=------（6-10）

2、基本向量的協(xié)因數(shù)矩陣

,

。

人

c%acQ。%

。

c2。

牝

er毗w

」

cQc。%

衣

。

2iz2%。

I衣N

Jtzer

』

2ar2ck2比

ax

2％e,02%0〃

ex

QLL-G/渥%

修Ng-吃法

r

-Q^B^AQu-%尸聞

-Q/xAQu-Q遼Ng0

~Qyy-QdSMs0

QLL-QW2/以磔B/一0口才以8溫

一0"心-QyyQu-Qyy

r

-心。K力。uBQ^BN^AQu

r

00-^N^AQu

冏Q-明爐間）Q^Qu0

r

QuAQ^AQu0

o0Qu~Qyy

3、平差值函數(shù)的中誤差

設平差值函數(shù)為：

0=①（九X）（6-11）

對其全微分，得權函數(shù)式為:

式中:

a①a①a①%①d①a①

F???，，F(xiàn)：=（6-12）

＜龍1a%59X.

應用協(xié)因數(shù)傳播律，得:

。效=^TQLL+F，Q該Fx+尸j。龍尸+F：Q蚊F*(6-13)

于是，平差值函數(shù)的中誤差為：

分二才0四￡(644)

第七章間接平差

§7-1間接平差原理

一、間接平差的數(shù)學模型

1、函數(shù)模型

L<7-1-1)

令

方=X°+Ml=LT鍵+d)

帶入式(7-1-1),則得誤差方程

V=Bx-l(7-1-2)

1*/.1.1

式中

月：雙測值個數(shù)

t:必要現(xiàn)測數(shù)

r：多余觀測數(shù)，r=?-/

2、隨機模型

D=o\Q=5P~(7-1-3)

3、平差準則

片F(xiàn)T=mm(7-1-4)

二、基礎方程及其解

1、壁藤

按求條件極值法組成函數(shù)：

VPV(7-1-5)

為求中的極小值，將其對2取偏導并令其為零，貝小

拿=2片啜=rzPB=O(7-1-6)

轉置后得

MPP=U(7-1-7)

#AA1

2、法方程及解

解基礎方程時通常是將(7-1-7)式代入(7-1-2式)，得

BP^-BP?=0

則可將基礎方程表示如~F：

Nx-jy=0(7-1-8)

式中，N#*PB,卬=戌嘰

上式稱為間接平差的法方程。

解(7-1-8)式，可得：

(7-1-9)

由上式求得左后，代入（7-1-1）式可求得“，最后可求出：

L=L+V（7-1-10）

X=X"+x（7-1-11）

三、按附有限加朦件的間接平差求平差值的步驟及示例

計算步驟：

1、根據(jù)具體的平差問題，選取t個獨立參數(shù).

2、將每一個觀測量的平差值分別表達成所選參數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)為非線性，則將其線性

化，列出誤差方程（7-1-2）；再依據(jù)參數(shù)之間存在的函數(shù)關系。

3、由誤差方程系數(shù)組成法方程（7-1-8）.

4、解算法方程，求出參數(shù)總計算參數(shù)的平差值,=片+3

§7-2精度評定

一、單位權方差的估值公式

PV

(7-2-1)

4n-t

協(xié)鷺陣

由各基本向量與￡之間的關系式，應用協(xié)因數(shù)傳播律，可求得Q,列入下表中，供

查閱。

A

LwXV

LeBBQ「-Q,e-e.

WBN：NQ(Q,N-IyBN-

K獷CN~XBN''C0-N-XCN-XB0

A

QM0

X1QN

CAT<】<CATDD

VB?Nf0Q-BQB0

LQ-Q,BQ「NBQ；0c-e.

(Ntif=BPB,N、=CN-\C)

三、平差參數(shù)函數(shù)的協(xié)因數(shù)

設平差參數(shù)函數(shù)為：

0=①(戈)(7-2-2)

對其全微分，得權函數(shù)式為:

/、人「人

d?:QTodX=FTdX

dx0

式中，*=ama①a①

扁<…o

應用協(xié)因數(shù)傳播律，得:

(7-