第十二章

全等三角形12.3.1等腰三角形的性質(zhì)01教學(xué)目標(biāo)02新知導(dǎo)入03新知講解04課堂練習(xí)05課堂小結(jié)06作業(yè)布置01教學(xué)目標(biāo)通過對(duì)等腰三角形實(shí)例的觀察，抽象出等腰三角形的概念，明確腰、底邊、頂角、底角等基本要素。01通過折疊等腰三角形紙片，觀察圖形的軸對(duì)稱性，直觀感知等腰三角形的“等邊對(duì)等角”和“三線合一”性質(zhì)，發(fā)展幾何直觀能力。02通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的幾何問題，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決問題，初步體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想。0302新知導(dǎo)入在現(xiàn)實(shí)生活中，你看到哪些物體的表面具有等腰三角形的形狀?02新知導(dǎo)入我們知道，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，如圖，AB=AC，△ABC就是等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.指出△ABC的腰、底邊、頂角和底角.腰腰底邊頂角底角底角03新知探究探究等腰三角形的性質(zhì)【做一做】剪一張等腰三角形的半透明紙片，每人所剪的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣，如圖，把紙片對(duì)折，讓兩腰AB、AC重疊在一起，折痕為AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎?03新知探究探究可以發(fā)現(xiàn)，折疊的兩個(gè)部分是互相重合的，所以等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，折痕AD所在的直線就是它的對(duì)稱軸.我們還可以發(fā)現(xiàn)∠B=∠C.由此得到以下等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩個(gè)底角相等.簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”.等腰三角形的性質(zhì)03新知探究探究已知：如圖，在△ABC，AB=AC.求證：∠B=∠C.分析：由上述操作可以得到啟發(fā)，即添加等腰三角形的頂角平分線AD，然后證明△ABD≌△ACD.等腰三角形的性質(zhì)03新知探究探究已知：如圖，在△ABC，AB=AC.求證：∠B=∠C.證明：如圖，作∠BAC的平分線AD.在△ABD和△ACD中,∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)。等腰三角形的性質(zhì)03新知探究探究注意：在證明過程中，為了需要，在原來的圖形上添加的線叫做輔助線.輔助線通常作成虛線。例如，上述證明中所添加的頂角平分線AD.等腰三角形的性質(zhì)03新知探究探究【例1】在△ABC中，已知AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度數(shù).解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=80°(等邊對(duì)等角).又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20°.等腰三角形的性質(zhì)03新知探究探究等腰三角形三線合一【探索】由前面的“做一做”，你還可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)寫出你的發(fā)現(xiàn)： ∠BAD=∠CAD，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°.這些結(jié)論都和哪條線段有關(guān)？這條線分別是什么線？03新知探究探究我們發(fā)現(xiàn)，AD既是底邊上的中線，又是頂角的平分線和底邊上的高。由此可得:等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線重合.簡(jiǎn)寫成“等腰三角形的三線合一”.等腰三角形三線合一知識(shí)要點(diǎn)注意：“三線合一”的前提是“等腰三角形”，且是“頂角的平分線”“底邊上的中線”“底邊上的高”這三條線重合。用符號(hào)語言表示“三線合一”:在△ABC中，AB=AC，①若AD平分∠BAC，則AD⊥BC，BD=CD;②若AD是BC邊上的中線，則AD平分∠BAC，AD⊥BC;③若AD是BC邊上的高，則AD平分∠BAC，BD=CD.03新知探究探究【例2】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的中點(diǎn)，∠B=30°.(1)求∠ADC的度數(shù)；解：∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(等腰三角形的三線合一）∴∠ADC=∠ADB=90°.等腰三角形三線合一03新知探究探究【例2】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是邊BC上的中點(diǎn)，∠B=30°.(2)求∠1的度數(shù).解：∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，∠B=30°，∴∠1=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°.等腰三角形三線合一03新知探究探究線段的垂直平分線【思考】如圖所示，我們?cè)贸咭?guī)作圖作出一條線段AB的垂直平分線PQ，現(xiàn)在你能證明所得的直線PQ確實(shí)是已知線段AB的垂直平分線嗎?03新知探究探究線段的垂直平分線【例3】按如圖所示的尺規(guī)作圖的作法，證明直線PQ是已知線段AB的垂直平分線.證明：如圖，設(shè)AB與PQ相交于點(diǎn)O，連結(jié)PA、PB、QA、QB.在△APQ和△BPQ中，∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS).∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).03新知探究探究線段的垂直平分線【例3】按如圖所示的尺規(guī)作圖的作法，證明直線PQ是已知線段AB的垂直平分線.又∵AP=BP，∴AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三線合一).因此直線PQ是已知線段AB的垂直平分線.03新知探究探究線段的垂直平分線【思考】如圖所示，我們還曾利用尺規(guī)作圖過點(diǎn)C作出已知直線AB的垂線CP.當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上時(shí)，垂線CP即是平角ACB的平分線所在的直線，那么當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外時(shí)，你能證明所作的直線CP確實(shí)是直線AB的垂線嗎?03新知探究探究線段的垂直平分線比較圖1的作法示意圖與圖2的垂直平分線的作法示意圖，我們可以發(fā)現(xiàn)兩者十分類似，過直線AB外一點(diǎn)C作AB的垂線，就相當(dāng)于作線段MN的垂直平分線。那么類似于垂直平分線的證明，自然就可以證明過點(diǎn)C所作的直線CP確實(shí)是已知直線AB的垂線.圖1圖203新知探究探究等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.如圖，在等邊三角形中，每個(gè)角的度數(shù)是多少呢?顯然，AB=AC，根據(jù)“等邊對(duì)等角”，可以得到∠B=∠C，同理可得∠A=∠B， 所以 ∠A=∠B=∠C. 而 ∠A+∠B+∠C=180°. 所以 ∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°.03新知探究探究等邊三角形也就是說:等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都相等，也稱為正三角形.等邊三角形也是軸對(duì)稱圖形，它有幾條對(duì)稱軸?04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：1.圖①是我們生活中常見的晾衣架，其形狀可以近似看成等腰三角形ABC(如圖②)，若AB=AC，∠B=35°，則∠C的度數(shù)為().A.70° B.45° C.35° D.110° C04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD，則∠BDC的度數(shù)為().A.55° B.70° C.72° D.75° D04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：3.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若BD=2，則BC的長(zhǎng)度為().A.6 B.5 C.4 D.3 C04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：4.我國的橋梁建設(shè)在世界上處于領(lǐng)先地位，無論是橋梁數(shù)量、跨度還是技術(shù)創(chuàng)新，都取得了顯著成就.圖①為某斜拉索橋，該斜拉索橋的拉索和橋面構(gòu)成等腰三角形.圖②為其示意圖，在△ABC中，AB=AC，若D是BC邊上的一點(diǎn)，則下列條件不能說明AD⊥BC的是().A.BD=CD B.∠ADB=∠ADC C.∠BAD=∠CADD.BC=2AD D04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：5.如圖，若△ABC是等邊三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，則BE=().A.7 B.8 C.9 D.10 C04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：6.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為().A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120° D04證明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠BAF=∠CAE.在△ABF與△ACE中，∵AB=AC，∠BAF=∠CAE，AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS）課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，連結(jié)AE，使得∠DAE=∠BAC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使得AF=AE，連結(jié)BF.(1)求證:△ABF≌△ACE；04解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=16÷2=8.∵△ABF≌△ACE，BF=17,∴CE=BF=17，∴DE=CE+CD=17+8=25.課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，連結(jié)AE，使得∠DAE=∠BAC，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使得AF=AE，連結(jié)BF.(2)若AD⊥BC，BF=17，BC=16，求DE的長(zhǎng).05課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？等腰三角形的性質(zhì)：(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.(2)等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線重合(三線合一)等邊三角形的性質(zhì)：(1)三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.(2)等邊三角形的各角都相等，都等于60°.06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：1.如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，則∠D的度數(shù)為().A.85° B.75° C.65° D.30° B06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：2.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=25°，AD是△ABC的中線，則∠CAD的度數(shù)是().A.72° B.65° C.50° D.36° B06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：3.如圖，△ABC，△ADE及△EFG都是等邊三角形，D，G分別為AC，AE的中點(diǎn).若AB=4，則多邊形ABCDEFG外圍的周長(zhǎng)是()A.12 B.14 C.15 D.16 C06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：4.如圖，△ABC是等邊三角形.若∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，則∠ABD+∠ACD的度數(shù)是().A.36° B.50° C.60° D.70° C06作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】5.如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6，P為BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)以AP為邊在BC上方作等邊三角形APE，連結(jié)CE.(1)求證:AB∥CE；證明：∵△ABC，△APE是等邊三角形，∴∠BAC=∠PAE=∠B=60°，AB=AC，