江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)星港，東沙湖，景城三校2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期中試卷一、單選題1．計(jì)算的值為（

）A．0 B． C． D．2．若一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（

）A． B． C． D．23．用配方法解方程，配方后結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．4．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且5．在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．6．等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．7．如圖，在直角三角形中，，，求的長．（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米8．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題9．已知方程的一個(gè)根為，則方程的另一個(gè)根為．10．將拋物線向下平移k個(gè)單位長度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是．11．第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）會標(biāo)如圖1所示，會標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形拼成的大正方形．若，則的值為．圖1

圖212．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長為．

13．設(shè)是拋物線上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為．（用“”連接）．14．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成．15．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)是邊上兩點(diǎn)，且，連接，，與相交于點(diǎn)G，連接．若，，則的值為．16．如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒．設(shè)P、Q同發(fā)t秒時(shí)，的面積為ycm2．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=t2；④當(dāng)t=秒時(shí)，；其中正確的結(jié)論是（填序號）．三、解答題17．計(jì)算：．18．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)．19．已知關(guān)于x的方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，且，求m的值．20．如圖，在四邊形中，，若，求四邊形的面積最大值．21．如圖，在中，，是的角平分線，，垂足為，已知，．(1)求的長；(2)求的值．22．知識回顧：（1）對于一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，它的求根公式為，求根公式不僅可以由方程的系數(shù)求出方程的根，而且反映了根與系數(shù)之間的關(guān)系．若方程的兩個(gè)根為，，則滿足：①；②．（這也稱作韋達(dá)定理，是由世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的）．請利用一元二次方程的求根公式證明韋達(dá)定理；知識應(yīng)用：（2）已知一元二次方程的兩根分為，，求的值．23．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若是軸上一點(diǎn)，，將點(diǎn)Q繞著點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o得到點(diǎn)E.①用含t的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)E恰好在該拋物線上時(shí)，求t的值.24．我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）(1)如圖1，請你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索的長度；(2)如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．25．“七里山塘，枕河而居”，蘇州市的山塘街是具有江南風(fēng)貌特色的歷史文化街區(qū)，現(xiàn)在已成為網(wǎng)紅打卡地．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2014年10月1日截至21時(shí)山塘歷史街區(qū)累計(jì)客流量為8萬人次，第三天游客人數(shù)達(dá)到萬人次．(1)求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率；(2)景區(qū)內(nèi)某文創(chuàng)小店推出了特色絲綢團(tuán)扇，每把扇子的成本為7元．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每把扇子定價(jià)為25元時(shí)，平均每天可售出300把．若每把扇子的售價(jià)每降低1元，平均每天可多售出30把．設(shè)每把扇子降價(jià)元．請解答以下問題：①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代數(shù)式表示）；②若該文創(chuàng)小店想通過售出這批扇子每天獲得5760元的利潤，又想盡可能地減少庫存，每把扇子應(yīng)降價(jià)多少元？26．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請問線段是否存在最大值？若存在，請求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．(3)如圖2，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），已知，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．27．如圖，對稱軸為直線的拋物線與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連結(jié)，把所在的直線平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)，得到直線，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使為以為直角邊的直角三角形；若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

參考答案題號12345678答案BABCBCAA1．B【詳解】解：，故選B2．A【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故選：A．3．B【詳解】解：∴，∴；故選B．4．C【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，，解得：，且，故選：C．5．B【詳解】解：在中，，，，∴．故選：B．6．C【詳解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，∴這個(gè)三角形的周長為，故選：．7．A【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，故選：A．8．A【詳解】解：設(shè)寬為，∵寬與長的比是，∴長為：，由折疊的性質(zhì)可知，，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)，在中，，變形得：，，，∴，故選A．9．4【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，∵方程有一個(gè)根為，∴，解得：．故答案為：4．10．【詳解】解：將拋物線向下平移k個(gè)單位長度得，∵與x軸有公共點(diǎn)，∴，即，解得，故答案為：．11．/【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，∵，四邊形為正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．12．【詳解】解：把點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線得，，解得，∴拋物線，令，得，解得或，∴，∴；故答案為：．13．【詳解】解：，拋物線的開口向上，對稱軸為直線，而離直線的距離最遠(yuǎn)，在直線上，．故答案為：．14．【詳解】解：，，，∴，∵方程可以配方成的形式，∴，，∴，∴為，∴，配方，得，即，故答案為：．15．【詳解】解：過作，為垂足，，，，，，四邊形是矩形，，，同理可求：，，，，，，，故答案為：．16．①③④【詳解】根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小題正確；又∵從M到N的變化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB==4，∴cos∠ABE==，故②小題錯(cuò)誤；過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y=BQ?PF=t?t=t2，故③小題正確；當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，PQ=CD﹣PD=4﹣=，∴，∴，又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小題正確．綜上所述，正確的有①③④．17．1【詳解】解：．18．(1)(2)【詳解】（1）解：移項(xiàng)得：，因式分解得：，∴或，解得：；（2）因式分解得：，∴或，解得：．19．(1)見解析(2)【詳解】（1）解：∵方程，，∴，∴無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）∵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，∴，∵，∴，∴，∴，解得．20．【詳解】解：如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴四邊形的面積最大值為．21．(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)，∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴或（負(fù)值不符合題意，舍去），∴，∵是的角平分線，，，∴，∴的長為；（2）解：設(shè)，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意，∴，∴．22．（1），，；（2）【詳解】解：（1）對于一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，它的求根公式為，若方程的兩個(gè)根為x1，x2，則滿足①；②．證明如下：一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，故答案為：，，；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴．23．(1)y＝﹣x2﹣2x+3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；(2)①E的坐標(biāo)為（t，5+t）；②t＝﹣2【詳解】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．∴﹣12+b+3＝0，解得，b＝﹣2，拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）①作EH⊥y軸于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，PE＝PQ，∠EPQ＝90°，∴∠EPH+∠HPQ＝90°，∵∠POQ＝90°，∴∠OPQ+∠OQP＝90°，∴∠EPH＝∠PQO，在△EPH和△PQO中，，∴△EPH≌△PQO（AAS），∴PH＝OQ＝5，EH＝OP＝t，∴OH＝PH﹣OP＝5+t，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，5+t）；②當(dāng)點(diǎn)E恰好在該拋物線上時(shí)，﹣t2﹣2t+3＝5+t，解得，t1＝﹣2，t2＝﹣1∵t＜﹣1，∴t＝﹣2．24．(1)秋千繩索的長度為尺(2)能，【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)B．設(shè)秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，∴．在中，由勾股定理得：∴．解得．答：秋千繩索的長度為尺．（2）能．由題可知，，．在中，，同理，．∵，∴．∴．25．(1)(2)①；②6【詳解】（1）解：設(shè)從假期第一天到第三天的平均日增長率為，依題意得，，解得，或（舍去），∴從假期第一天到第三天的平均日增長率為；（2）①解：由題意知，每天可售出扇子把，故答案為：；②解：依題意得，，整理得，，解得，或，∵想盡可能地減少庫存，∴每把扇子應(yīng)降價(jià)6元．26．(1)(2)存在，最大值是，(3)或【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴；（2）存在；∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，∴，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)最大，為，∴；（3）設(shè)，則：，當(dāng)點(diǎn)恰好在拋物線上時(shí)，則：，∴，當(dāng)時(shí)，則：，解得：或，∵線段與拋物線有交點(diǎn)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．27．(1)，(2)且(3)或或【詳解】（1）解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：，解得：，拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：設(shè)直線的解析式為，，，∴，解得：，直線的解析式為，把所在的直線平移得到直線，直線，可設(shè)直線的解析式為，直線經(jīng)過原點(diǎn)，，解得：，直線的解析式為，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，連接，則，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于第四象限，如圖，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，連接，則，，，，解得：，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于第二象限，如圖，設(shè)交軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，，解得：，綜上，且，即：的取值范圍是且；（3）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，理由如下：由（2）可知：的最大值為，則，如圖，過點(diǎn)、分別作直線、垂直于直線，在直線上的點(diǎn)右側(cè)取點(diǎn)，過