數(shù)列專題：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的8種常用方法一、利用an與S1、利用求通項(xiàng)時(shí)，要注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況。已知求的三個(gè)步驟：（1）先利用求出.（2）用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式．（3）對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．2、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)條件求數(shù)列通項(xiàng)公式的基本思路是兩個(gè)：將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng),即利用將和轉(zhuǎn)化為項(xiàng).（2）可將條件看作是數(shù)列的遞推公式，先求出，然后題目即轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式．二、累加法求通項(xiàng)1、適用于：an+12、若a則an?an?1=f(n?1)；a兩邊分別相加得：a三、累乘法求通項(xiàng)1、適用于：an+12、若an+1則anan?1=fn?1，a兩邊分別相乘得：a四、構(gòu)造法求通項(xiàng)對(duì)于不滿足an+1=a1、形如an+1=1\*GB3①若c=1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列；=2\*GB3②若d=0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；=3\*GB3③若c≠1，d≠0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求。（1）待定系數(shù)法：設(shè)an+1+λ=c(a與題設(shè)an+1=can所以有：a因此數(shù)列an+dc?1構(gòu)成以（2）逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我們從遞推關(guān)系an+1=can有an=can?1+d，兩式相減有：an+1?a再利用累加法即可求得通項(xiàng)公式。我們可以看到此方法比較復(fù)雜。2、形如：an+1=pan+=1\*GB3①若p=1時(shí)，即：an+1=an=2\*GB3②若p≠1時(shí)，即：an+1=pan（1）兩邊同除以pn+1.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列，即：a令bn=a（2）兩邊除以qn+1.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等比數(shù)列，即：a令bn=a（3）待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè)an+1+λ?q注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求p≠q，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。3、形如an+1=pan+kn+b（其中k（1）逐項(xiàng)相減法（階差法）（2）待定系數(shù)法通過配湊可轉(zhuǎn)化為a解題基本步驟：=1\*GB3①確定fn=kn+b=2\*GB3②設(shè)等比數(shù)列bn=(an+xn+y)，公比為=3\*GB3③列出關(guān)系式an+xn+y=p(an?1=4\*GB3④比較系數(shù)求x，y=5\*GB3⑤解得數(shù)列an+xn+y的通項(xiàng)公式，并得出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。五、不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)1、定義：方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法．2、在數(shù)列中，已知，且時(shí)，（是常數(shù)），（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列；（4）當(dāng)時(shí)，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；3、形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為（*）．（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．(其中、可利用，求得)4、設(shè)，滿足遞推關(guān)系，初值條件．令，即，令此方程的兩個(gè)根為，(1)若,則有（其中）

(2)若,則有（其中）5、設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),且由確定著數(shù)列,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),題型一Sn與an型求通項(xiàng)【例1】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系（，），求的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】由得，則時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，，∴【變式1-1】數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是以5為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，所以，故選：C．【變式1-2】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的值為___________.【答案】0【解析】，，兩式作差，得，即,所以，所以或，當(dāng)時(shí)，從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列，公差為，與已知相矛盾，當(dāng)時(shí)，，又，所以，而，所以，由題知，令，得，即，所以，得故答案為：0.【變式1-3】已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足所以當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，有所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)n=1不符合，所以，故選：D【變式1-4】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的通項(xiàng)公式為____．【答案】【解析】由得：，即，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：不滿足；故答案為：.題型二累加型求通項(xiàng)【例2】在數(shù)列中，，，則（）A．958B．967C．977D．997【答案】C【解析】，，則…上述式子累加得，，故選：C.【變式2-1】已知數(shù)列滿足，，，求通項(xiàng)公式．【答案】.【解析】因?yàn)椋?，所以，，，……，，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闈M足上式，所以.【變式2-2】已知數(shù)列滿足，，則________．【答案】2021【解析】由得：，則，由于，故，故，故，故答案為：2021.【變式2-3】已知數(shù)列滿足，則（）A．B．2525C．D．2526【答案】C【解析】解析：由已知，∴數(shù)列為等差數(shù)列，，∴∴．∴故選：C．【變式2-4】在數(shù)列中，已知，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】由題意，，得：，運(yùn)用累加法：，，即，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，成立，所以題型三累乘型求通項(xiàng)【例3】已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，，，，，所以，即，又，所以；故選：A【變式3-1】若數(shù)列滿足，則（）A．2B．6C．12D．20【答案】D【解析】由得，，.故選：D【變式3-2】已知數(shù)列滿足，則___________．【答案】【解析】將代入可得，解得，由可得，兩式相減得即，所以，也滿足，故對(duì)任意的，，故答案為：【變式3-3】設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式_________【答案】【解析】依題意，，所以，又因?yàn)椋?，所以，，所以，?jīng)檢驗(yàn)，也符合上式.所以.綜上所述，.【變式3-4】在正項(xiàng)數(shù)列中，，，.則的通項(xiàng)______.【答案】【解析】對(duì)兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)可得.令，則，，所以，所以，故，由累乘法可得，因?yàn)?，故，則，，均滿足，因此，對(duì)任意的，.題型四常數(shù)型構(gòu)造求通項(xiàng)【例4】已知數(shù)列中，，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】所以所以數(shù)列是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C【變式4-1】在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，由，得，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．故選：A【變式4-2】數(shù)列滿足且，則此數(shù)列第5項(xiàng)是（）A．15B．255C．16D．63【答案】B【解析】∵，∴，∴是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則．∴，∴．故選：B．【變式4-3】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，即，，，是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.，，.故選：B.【變式4-4】已知數(shù)列，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，，根據(jù)遞推公式可得出，，，進(jìn)而可知，對(duì)任意的，，在等式兩邊取對(duì)數(shù)，可得，令，則，可得，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，，即.故選：B.題型五n階型構(gòu)造同除求通項(xiàng)【例5】數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為___________.【答案】．【解析】∵，所以，即，∴是等差數(shù)列，而，所以，所以．故答案為：．【變式5-1】若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得當(dāng)時(shí)，，設(shè)，得，也滿足上式，故，，故，故選：A【變式5-2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t，于是同除得，因此數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)，則，所以.故選：D【變式5-3】在數(shù)列中，，，則的值為()A．B．C．D．無法確定【答案】A【解析】∵，，∴，解得.∵，∴，兩式相減得，，∴，∴是以＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，兩邊同除以，則，∴是以為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，∴，∴.故選：A.【變式5-4】已知在數(shù)列中，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，整理得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A題型六分式型取倒數(shù)求通項(xiàng)【例6】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且各項(xiàng)滿足公式，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)，且各項(xiàng)滿足公式，則，，，以此類推，對(duì)任意的，，由可得，所以，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，，因此，.故選：B.【變式6-1】已知數(shù)列滿足：，，則()A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，，即，故，又因?yàn)?，所以?shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，從而，解得.故選：C.【變式6-2】已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，則，取倒數(shù)有，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；則，則則故選：D【變式6-3】數(shù)列滿足，．（1）求，，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】（1），，．；（2）；（3）【解析】（1）由，．可得，，．（2）由，兩邊取倒數(shù)化簡(jiǎn)可得：，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為題型七相鄰三項(xiàng)型構(gòu)造求通項(xiàng)【例7】已知數(shù)列滿足：，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，由得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，僅比為4，首項(xiàng)為4，所以．故選：C．【變式7-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則__________．【答案】【解析】由題意得，所以，解得，又因?yàn)椋谑?，因此?shù)列是以為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，故，于是，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，故，故,故答案為：【變式7-2】已知數(shù)列中，，，，求（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，則，∴，解得或，當(dāng)，時(shí)，，∴是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，.當(dāng)，時(shí),，∴是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，設(shè)，解得，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，∴，故選：A.【變式7-3】已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式_________.【答案】【解析】由,得，則，由得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，故答案為：.題型八不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)【例8】已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】令.先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得.將不動(dòng)點(diǎn)代入遞推公式，得，整理得，，∴.令，∴，.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.∴的通項(xiàng)公式為.將代入，得.∴.【變式8