【備考期末】懷化市中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．若一個函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)．列表：描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，觀察描出的這些點(diǎn)的分布，作出函數(shù)圖象；研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：點(diǎn)，，，在函數(shù)圖象上，則______，______；填“”，“”或“”當(dāng)函數(shù)值時，求自變量x的值；在直線的右側(cè)的函數(shù)圖象上有兩個不同的點(diǎn)，，且，求的值；若直線與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時PN有最大值，最大值是多少？3．綜合與探究如圖，拋物線y＝﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連接CM，將線段MC繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD，連接CD、BD．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線l的表達(dá)式；（2）①請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示），并求點(diǎn)D落在直線l上時t的值；②求點(diǎn)M運(yùn)動的過程中線段CD長度的最小值．4．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，分別以AC，BC為邊向外側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC和△DCF面積的關(guān)系是______________；（請?jiān)跈M線上填寫“相等”或“不等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請說明理由；（3）解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，且AC與BD的和為10，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外側(cè)作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，運(yùn)用（2）的結(jié)論，圖中陰影部分的面積和是否有最大值？如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．圖1圖2圖35．如圖1，點(diǎn)EF在直線l的同一側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)K，使KE與KF的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)E關(guān)于l的對稱點(diǎn)E′，連接FE′交直線L于點(diǎn)K，則點(diǎn)K即為所求．（1）（實(shí)踐運(yùn)用）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如圖2．①求該拋物線的解析式；②在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PC的最小值．（2）（知識拓展）在對稱軸上找一點(diǎn)Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)．6．如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．如果拋物線恰好經(jīng)過這三個點(diǎn)之中的兩個點(diǎn)．（1）試推斷拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C之中的哪兩個點(diǎn)？簡述理由；（2）求常數(shù)a與b的值：（3）將拋物線先沿與y軸平行的方向向下平移2個單位長度，再與沿x軸平行的方向向右平移個單位長度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)．設(shè)這個新拋物線的頂點(diǎn)是D．試探究的形狀．8．定義：如果一條直線把一個封閉的平面圖形分成面積相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條中分線．如三角形的中線所在的直線是三角形的一條中分線．（1）按上述定義，分別作出圖1，圖2的一條中分線．（2）如圖3，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．①求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A，C，D，P為頂點(diǎn)的平行四邊形的一條中分線經(jīng)過點(diǎn)O．若存在，求出中分線的解析式；若不存在，請說明理由．9．已知拋物線（n為正整數(shù)，且）與x軸的交點(diǎn)為和．當(dāng)時，第1條拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，其他以此類推．（1）求的值及拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______）；以此類推，第條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（______，_______）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_________．（3）探究以下結(jié)論：①是否存在拋物線，使得為等腰直角三角形？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．②若直線與拋物線分別交于點(diǎn)，則線段的長有何規(guī)律？請用含有m的代數(shù)式表示．10．小云在學(xué)習(xí)過程中遇到一個函數(shù)．下面是小云對其探究的過程，請補(bǔ)充完整：（1）當(dāng)時，對于函數(shù)，即，當(dāng)時，隨的增大而，且；對于函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而，且；結(jié)合上述分析，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而．（2）當(dāng)時，對于函數(shù)，當(dāng)時，與的幾組對應(yīng)值如下表：012301綜合上表，進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，隨的增大而增大．在平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)時的函數(shù)的圖象．（3）過點(diǎn)(0，m)（）作平行于軸的直線，結(jié)合（1）（2）的分析，解決問題：若直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，則的最大值是．二、中考幾何壓軸題11．如圖1，已知直角三角形，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，．（1）發(fā)現(xiàn)問題：線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；的度數(shù)為______；（2）拓展與探究：若將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：如圖3所示，若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)落到邊上時，邊上另有一點(diǎn)，，，連接，請直接寫出的長度．12．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，則BN＝．（1）（類比探究）如圖2，DE是△ABC的中位線，M、N是AB邊的勾股點(diǎn)（AM＜MN＜NB），連接CM、CN分別交DE于點(diǎn)G、H．求證：G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．（2）（知識遷移）如圖3，C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，連結(jié)PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度數(shù)．（3）（拓展應(yīng)用）如圖4，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)（x＞0）上的動點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．13．如圖1，已知，，點(diǎn)D在上，連接并延長交于點(diǎn)F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關(guān)系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)小于時，得到圖2，連接并延長交于點(diǎn)F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展：圖1中，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G．當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時，若，，直接寫出的長．14．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中和△DCE中，，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．填空：①的值為；②∠ABE的度數(shù)為．（2）類比探究：如圖2，在△ABC中和△DCE中，，，點(diǎn)D是BC的垂線AF上任意一點(diǎn)．請判斷的值及∠ABE的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請直接寫出BE的長．15．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．16．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．17．綜合與實(shí)踐背景閱讀：“旋轉(zhuǎn)”即物體繞一個點(diǎn)或一個軸做圓周運(yùn)動．在中國古典專著《百喻經(jīng)·口誦乘船法而不解用喻》中記載：“船盤回旋轉(zhuǎn)，不能前進(jìn)．”而圖形旋轉(zhuǎn)即：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．綜合實(shí)踐課上，“睿智”小組專門探究了正方形的旋轉(zhuǎn)，情況如下：在正方形中，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點(diǎn)，，，分別是點(diǎn)，，，的對應(yīng)點(diǎn)）．設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作猜想：（1）如圖1，若點(diǎn)是中點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，，則線段與的數(shù)量關(guān)系是_______；線段與的數(shù)量關(guān)系是________．探究驗(yàn)證：（2）如圖2，在（1）的條件下，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，順次連接點(diǎn)，，，，．判斷四邊形的形狀，并說明理由．拓展延伸：（3）如圖3，若，在正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．連接，并過點(diǎn)作于點(diǎn)．請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出的值．18．（教材呈現(xiàn)）下面是華師版八年級下冊教材第89頁的部分內(nèi)容．如圖，G，H是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩點(diǎn)，且AG=CH，E，F(xiàn)分別是邊AB和CD的中點(diǎn)求證：四邊形EHFG是平行四邊形證明：連接EF交AC于點(diǎn)O∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，AB∥CD又∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)∴AE=CF又∵AB∥CD∴∠EAO=∠FCO又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF請補(bǔ)全上述問題的證明過程．（探究）如圖①，在△ABC中，E，O分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，D、F分別是線段AO、CO的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF，將△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△DGF，若四邊形DEFG的面積為8，則△ABC的面積為．（拓展）如圖②，GH是正方形ABCD對角線AC上的兩點(diǎn)，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)．若正方形ABCD的面積為16，則四邊形EHFG的面積為．19．（1）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F，G．則_______．（2）類比探究：如圖2，把上題中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，請求出的度數(shù)；通過以上兩例探索，請寫出一個關(guān)于與的數(shù)量關(guān)系的正確結(jié)論：_________________；（3）拓展延伸：如圖3，若以正方形的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)正方形的中心為P，平面上一點(diǎn)F到P的距離為．①直接寫出的度數(shù)；②當(dāng)時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；并探索是否有最大值？如果有，請求出；如果沒有，請說明理由．20．綜合與實(shí)踐動手操作利用正方形紙片的折疊開展數(shù)學(xué)活動．探究體會在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，點(diǎn)為正方形的邊上的一個動點(diǎn)，，將正方形對折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．思考探索（1）將正方形展平后沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，折痕為，連接，如圖2．①點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，_________的長為半徑的圓上；②_________；③為_______三角形，請證明你的結(jié)論．拓展延伸（2）當(dāng)時，正方形沿過點(diǎn)的直線（不過點(diǎn)）折疊后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部或邊上．①面積的最大值為____________；②連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，則的最小值為____________．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）見解析；（2）①，；②x=3或x=-1；③2；④【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像的畫法，從左至右依次連接個點(diǎn)，即可解決；（2）①根據(jù)A點(diǎn)與B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決即可；根據(jù)C點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，判斷兩點(diǎn)所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)圖像解決即可.②當(dāng)時，判斷其所在的函數(shù)圖像，然后結(jié)合函數(shù)解析式計(jì)算解決即可.③由圖可知時，所以兩點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，然后根據(jù)函數(shù)的對稱性解決即可.④結(jié)合函數(shù)圖像，與函數(shù)圖象有三個不同的交點(diǎn)，可知必須與兩函數(shù)圖像分別相交才可以，據(jù)此解決即可；【詳解】解：如圖所示：，，A與B在上，y隨x的增大而增大，；，，C與D在上，觀察圖象可得；②當(dāng)時，，不符合；當(dāng)時，，或；，在的右側(cè)，時，點(diǎn)關(guān)于對稱，，；④由圖象可知，當(dāng)與分段函數(shù)分別相交時才會有三個不同的交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖像y＞0，且y＜2，故a的取值范圍為.2．A解析：（1）（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，當(dāng)m＝2時，PN的最大值為．【分析】（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三種情況，利用方程或方程組求解即可得到答案；（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．【詳解】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，設(shè)即：﹣12a＝4，解得：則拋物線的表達(dá)式為（2）存在，理由：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），則AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直線AC的表達(dá)式為：，①當(dāng)AC＝AQ時，如圖1，則AC＝AQ＝5，設(shè)：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，由勾股定理得：解得：n＝3或4（舍去4），故點(diǎn)Q（1，3）；②當(dāng)AC＝CQ時，如圖1，CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝則QM＝MB＝，故點(diǎn)Q（，）；③當(dāng)CQ＝AQ時，則在的垂直平分線上，設(shè)直線AC的中點(diǎn)為K（，2），過點(diǎn)與CA垂直直線的表達(dá)式中的k值為，直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并解得：（舍去）；故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝∵∴PN有最大值，當(dāng)m＝2時，PN的最大值為：．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和等腰三角形的存在性問題，線段長度的最值問題，要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．3．A解析：（1）A（﹣3，0），y＝﹣x+；（2）①點(diǎn)D落在直線l上時，t＝6﹣2；②CD的最小值為．【分析】（1）解方程求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的表達(dá)式；（2）①分點(diǎn)M在AO上運(yùn)動、點(diǎn)M在OB上運(yùn)動兩種情況，DN⊥x軸于N，證明△MCO≌△DMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出t；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短解答．【詳解】（1）當(dāng)y＝0時，﹣x2﹣x+=0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣3，0），B（1，0），當(dāng)x＝0時，y＝，即C（0，），設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，解得，，則直線l的表達(dá)式為y＝﹣x+；（2）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動時，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，由題意可知，AM＝t，OM＝3﹣t，MC⊥MD，則∠DMN+∠CMO＝90°，∠CMO+∠MCO＝90°，∴∠MCO＝∠DMN，在△MCO與△DMN中，，∴△MCO≌△DMN（AAS），∴MN＝OC＝，DN＝OM＝3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（﹣3+t+，t﹣3）將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣x+得，t﹣3＝﹣×（﹣3+t+）+，t＝6﹣2，即點(diǎn)D落在直線l上時，t＝6﹣2；②∵△COD是等腰直角三角形，∴CM＝MD，∴線段CM最小時，線段CD長度的最小，∵M(jìn)在AB上運(yùn)動，∴當(dāng)CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM＝CO＝，根據(jù)勾股定理得，CD的最小值為．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)特點(diǎn).4．B解析：（1）相等；（2）成立，理由見解析；（3）陰影部分的面積和有最大值,最大值為25【解析】解：（1）相等；（2）成立；理由如下：如圖，延長BC到點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四邊形ACDE、四邊形BCFG均為正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，∴S△ABC=S△DFC.（3）圖中陰影部分的面積和有最大值理由：由（2）的結(jié)論可知：設(shè)AC=m,則BD=10-m,∵AC⊥BD.∴.∴∴陰影部分的面積和有最大值,最大值為255．A解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為3；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．【詳解】分析：（1）①由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可將拋物線的解析式變形為交點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出a值，此題得解；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱可得出連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P，此時PA+PC的值最小，根據(jù)拋物線的解析式可求出其對稱軸為直線x=1，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過點(diǎn)B、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出線段BC的長即可；（2）連接AC并延長AC交拋物線對稱軸與點(diǎn)Q，此時|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長（三角形兩邊之差小于第三邊），由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出過點(diǎn)A、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解．詳解：（1）①∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0）、B（3，0），∴拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．∵拋物線過點(diǎn)C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．②∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P，此時PA+PC的值最小，如圖3所示．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x=1．利用待定系數(shù)法可求出過點(diǎn)B、C的直線為y=x﹣3，當(dāng)x=1時，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2），PA+PC的最小值為BC==3．（2）連接AC并延長AC交拋物線對稱軸與點(diǎn)Q，此時|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長，如圖4所示．利用待定系數(shù)法可求出過點(diǎn)A、C的直線為y=﹣3x﹣3，當(dāng)x=1時，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣6）．點(diǎn)睛：本題是二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的三種形式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；②由點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，找出當(dāng)PA+PC的值最小時點(diǎn)P的位置；（2）利用三角形的三邊關(guān)系找出使|QA﹣QC|的值最大時點(diǎn)Q的位置．6．A解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）；（2）存在，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【分析】(1)解方程，可求得A、B的坐標(biāo)，令，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)利用勾股定理計(jì)算出，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式為，可設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），分三種情況討論：當(dāng)CQ＝AC時，當(dāng)AQ＝AC時，當(dāng)AQ＝QC時，然后分別解方程求出m即可得到對應(yīng)的Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】(1)當(dāng)，，解得x1＝﹣2，x2＝4，所以，，x＝0時，y＝﹣8，∴；(2)設(shè)直線BC的解析式為，把，代入解析式得：，解得，∴直線BC的解析式為，設(shè)Q（m，2m﹣8）（0＜m＜4），當(dāng)CQ＝CA時，，解得，，（舍去）；∴Q，當(dāng)AQ＝AC時，，解得：（舍去），m2＝0（舍去）；當(dāng)QA＝QC時，，解得，∴Q．綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系，會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．7．A解析：（1）點(diǎn)A、B在拋物線上，理由見解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）軸，故B、C中只有一個點(diǎn)在拋物線上，算出AC的解析式，交y軸于點(diǎn)，拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀．【詳解】（1）∵軸，故B、C中只有一個點(diǎn)在拋物線上，∵，交y軸于點(diǎn)．且拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求．∴點(diǎn)A、B在拋物線上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了與待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及判斷點(diǎn)是否在圖像上，平移變換勾股定理等知識，求解析式是解題的關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）①，；②存在，或或【分析】（1）對角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線；（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②根據(jù)拋物線解析式求出，，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過對角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過對角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對角線時，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對角線時，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)．中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對角線時，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，中分線解析式為．【詳解】解：（1）如圖，對角線所在的直線為平行四邊形的中分線，直徑所在的直線為圓的中分線，（2）①將代入拋物線，得，解得，拋物線解析式，頂點(diǎn)為；②將代入拋物線解析式，得，解得或4，，，令，則，，當(dāng)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，過對角線的交點(diǎn)的直線將該平行四邊形分成面積相等的兩部分，所以平行四邊形的中分線必過對角線的交點(diǎn)．Ⅰ．當(dāng)為對角線時，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為；Ⅱ．當(dāng)為對角線時，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即．中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為；Ⅲ．當(dāng)為對角線時，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為，即，中分線經(jīng)過點(diǎn)，中分線解析式為，綜上，中分線的解析式為式為或?yàn)榛驗(yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．C解析：（1）；y＝?（x?2）＋4；（2）（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由見詳解；②CC＝2m．【分析】（1）），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4，即可求解；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝，即可求解；（3）①△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋），即可求解；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC=y?y，即可求解．【詳解】解：（1），則＝2，則＝2＋2＝4，將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，則點(diǎn)（4，0），將點(diǎn)A、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，同理可得：＝2，＝4；故y＝?（x?）＋＝?（x?2）＋4；（2）同理可得：＝3，＝9，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，），以此推出：點(diǎn)[（n＋1），（n＋1）]，故所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y＝；故答案為：（n，n）；[（n＋1），（n＋1）]；y＝x；（3）①存在，理由：點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)An（2n，0）、點(diǎn)（n，n），△AAnBn為等腰直角三角形，則AAn＝2ABn，即（2n）＝2（n＋n），解得：n＝1（不合題意的值已舍去），拋物線的表達(dá)式為：y＝?（x?1）＋1；②y＝?（m?n＋1）＋（n?1），y＝?（m?n）＋n，CC＝y(tǒng)?y＝?（m?n）＋n＋（m?n＋1）?（n?1）＝2m．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，這種找規(guī)律類型題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，通常比較容易．10．（1）減小，減小，減?。唬?）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案；（2）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，進(jìn)行描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，當(dāng)時，函數(shù)有最大值，代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，在函數(shù)中，∵,∴函數(shù)在中，隨的增大而減?。弧?，∴對稱軸為：，∴在中，隨的增大而減?。痪C合上述，在中，隨的增大而減??；故答案為：減小，減小，減??；（2）根據(jù)表格描點(diǎn)，連成平滑的曲線，如圖：（3）由（2）可知，當(dāng)時，隨的增大而增大，無最大值；由（1）可知在中，隨的增大而減?。弧嘣谥?，有當(dāng)時，，∴m的最大值為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的作出函數(shù)圖像，并求函數(shù)的最大值．二、中考幾何壓軸題11．（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)解析：（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、角的和差即可求出的度數(shù)；（3）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再分別在和中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）在中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，同理可得：，，在中，，，，又，，，，，，，；（2）結(jié)論成立，理由如下：如圖，分別取AB的中點(diǎn)為M，取AD的中點(diǎn)為N，連接FM、CM、EN、FN，，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，是的中位線，，，同理可得：，，繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，，，，，，，，，同理可得：，，在和中，，，，，是等邊三角形，，，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)G作，交AE延長線于點(diǎn)F，在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，，，在中，，，，則在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．BN=或；（1）見解析；（2）∠B＝15°；（3）見解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝B解析：BN=或；（1）見解析；（2）∠B＝15°；（3）見解析．【分析】定義：根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長；（1）根據(jù)已知條件可得到CG＝GM，CH＝HN，得到DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，根據(jù)條件求出（BN）2＝（MN）2+（AM）2，即可得到結(jié)果；（2）連接PD，根據(jù)已知條件可得PC2+BD2＝CD2，進(jìn)而求出∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，得到2∠A+∠A＝90°，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，），即可求得BF、EF，根據(jù)已知條件可得BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，即可求得結(jié)果；【詳解】定義：∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，∴或，∴BN=．（1）如圖，∵CD＝DA，CE＝EB，∴DE∥AB，∴CG＝GM，CH＝HN，∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，∵BN2＝MN2+AM2，∴BN2＝MN2+AM2，∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，∴EH2＝GH2+DG2，∴G、H是線段DE的勾股點(diǎn)．(2)如圖所示，連接PD，∵AC＝PC，∴∠A＝∠APC，∴∠PCD＝2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點(diǎn)，∴AC2+BD2＝CD2，∴PC2+BD2＝CD2，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2，∴PD＝BD，∴∠PDC＝2∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠PDC＝∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，∴2∠A+∠A＝90°，解得∠A＝30°，則∠B＝∠A＝15°．（3）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動點(diǎn)，∴b＝．∵直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)x＝a時，y＝﹣x+2＝2﹣a，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；當(dāng)y＝時，有﹣x+2＝，解得：x＝2﹣，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．∴BF＝＝（2﹣），EF＝,＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個直角三角形，∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的擴(kuò)展應(yīng)用，結(jié)合中位線定理、圓周角定理等知識點(diǎn)解題是關(guān)鍵．13．(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進(jìn)而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(2)仍舊成立，理由如下：延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示設(shè)BD延長線DM交AE于M點(diǎn)，∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，故AF與EF的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.故答案為：AF=EF；(3)如下圖所示：∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四邊形AEGC為矩形，∴AC=EG，且AB=BE，∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，∴在Rt△ABC中由30°所對的直角邊等于斜邊的一半可知：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是延長DF到G點(diǎn)并使FG=DC，進(jìn)而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線．14．（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)椋^而推出；（2）利用已知解析：（1）①1；②90°；（2）(2),，理由見解析；（3）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件可知為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明，即可得出答案；②根據(jù)，得出，因?yàn)椋^而推出；（2）利用已知條件證明△ACD∽△BCE，即可推出,；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時，如圖2所示，由已知條件可得出，在中運(yùn)用勾股定理可求出AD的值，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時，如圖3所示，可證明，，再運(yùn)用（2）中結(jié)論即可得出BE的值．【詳解】解：（1）①∵，，∴為等邊三角形∴∴∴∴的值為1；故答案為：1；②∵∴∵∴∴∵∴故答案為：90°．（2）,.理由如下：在Rt△ABC中，，.∴.同理：.∴.又.∴.∴△ACD∽△BCE.∴,.∴.（3）當(dāng)點(diǎn)E在AF右邊時，如圖2所示：∵，，，∴，∴∵∴；當(dāng)點(diǎn)E在AF左邊時，如圖3所示同理，可得，∵∴∴∴∵∵∴綜上所述，BE的值為或.【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于三角形相似的綜合題目，涉及的知識點(diǎn)有全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定、解直角三角形、勾股定理的應(yīng)用等多個知識點(diǎn)，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的數(shù)形結(jié)合思想和整體轉(zhuǎn)化思想．15．（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF解析：（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由詳見解析；（2）DE＝．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）∵把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共線，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；②成立，理由：如圖2，把△ABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如圖3，把△AEC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF，則AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，此題是開放性試題，運(yùn)用類比的思想；首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．16．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上．顯然，點(diǎn)P是這兩個圓的交點(diǎn)，由于兩圓有兩個交點(diǎn)，接下來需對兩個位置分別進(jìn)行討論．然后，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題．【詳解】解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）點(diǎn)A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點(diǎn)P在以BD為直徑的圓上，∴點(diǎn)P是這兩圓的交點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交BP于點(diǎn)E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點(diǎn)B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②當(dāng)點(diǎn)P在如圖3②所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點(diǎn)A作AE⊥AP，交PB的延長線于點(diǎn)E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問題是解決第（3）的關(guān)鍵．17．（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=O解析：（1）；；（2）矩形，見解析；（3）見解析，．【分析】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，根據(jù)勾股定理可得OA=OD，利用SAS可證明△AOA′≌△DOD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AA′=DD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOB′=，根據(jù)可得△OAA′∽△OBB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，根據(jù)點(diǎn)是中點(diǎn)即可得出，根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形；（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)平角的定義及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得，利用AAS可證明△ABM≌△A′B′N，可得AM=A′N，利用AAS可證明△APM≌△A′PN，可得，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A′OP=∠AOA′=，∠QOB′=，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠POQ=∠A′OB′，即可證明△OQP∽△OB′A′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接OA、OA′、OD、OD′，∵將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴OA=OA′、OD=OD′，∠AOA′=∠DOD′=，∴△AOA′≌△DOD′，∴AA′=DD′，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴OB=，∴OA=，∵將正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，旋轉(zhuǎn)角為，∴∠BOB′=∠AOA′=，∵，∴△OAA′∽△OBB′，∴=，∴，故答案為：；（2）四邊形是矩形；理由如下：∵正方形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形，∴，，，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．（3）如圖，補(bǔ)全圖形如下：連接OA、OA′，作AM⊥BP于M，A′N⊥BP于N，∵，∴AB=BC=，∴OA′=OA==，∵∠OB′A′=90°，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴△ABM≌△A′B′N，∴AM=A′N（AAS），∵，，∴△APM≌△A′PN，∴AP=A′P，∵OA=OA′，∴∠A′OP=∠AOA′=，∵OB=OB′，OQ⊥BB′，∴∠QOB′=，∴∠QOB′+∠B′OP=∠A′OP+∠B′OP，即∠POQ=∠A′OB′，∵∠OQP=∠OB′A′=90°，∴△OQP∽△OB′A′，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形及相似三角形的判定定理并正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形及相似三角形是解題關(guān)鍵．18．教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可解析：教材呈現(xiàn)：見解析；探究：16；拓展：4【分析】教材呈現(xiàn)：先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；探究：先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等底同高可得，從而可得，然后根據(jù)三角形中位線定理即可得；拓展：先根據(jù)正方