一元一次不等式組（知識講解）【學習目標】1.理解不等式組的概念；2.會解一元一次不等式組，并會利用數(shù)軸正確表示出解集；3.會利用不等式組解決較為復雜的實際問題，感受不等式組在實際生活中的作用．【要點梳理】要點一、不等式組的概念定義：一般地，關于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組．如，等都是一元一次不等式組．特別說明：(1)這里的“幾個”不等式是兩個、三個或三個以上．(2)這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù)．要點二、解一元一次不等式組1.一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個不等式的解集的公共部分叫做這個一元一次不等式組的解集．特別說明：(1)找?guī)讉€不等式的解集的公共部分的方法是先將幾個不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，然后找出它們重疊的部分．(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組可能出現(xiàn)無解的情況．2.一元一次不等式組的解法解一元一次不等式組的方法步驟：（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集．（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個不等式組的解集．要點三、一元一次不等式組的應用列一元一次不等式組解應用題的步驟為：審題→設未知數(shù)→找不等關系→列不等式組→解不等式組→檢驗→答．特別說明：(1)利用一元一次不等式組解應用題的關鍵是找不等關系．(2)列不等式組解決實際問題時，求出不等式組的解集后，要結(jié)合問題的實際背景，從解集中聯(lián)系實際找出符合題意的答案，比如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取非負整數(shù)．【典型例題】類型一、一元一次不等式組??定義??列一元一次不等式組 1．下列各式不是一元一次不等式組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷即可得到結(jié)果；解：符合一元一次不等式組的定義，故A是；因為有a、b兩個未知數(shù)，故B不是；符合一元一次不等式組的定義，故C是；符合一元一次不等式組的定義，故D是；故答案選B．【點撥】本題主要考查了一元一次不等式的定義，準確判斷是解題的關鍵．舉一反三：【變式】將一箱蘋果分給若干個學生，每個學生都分到蘋果．若每個學生分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位學生分8個蘋果，則有一個學生所分蘋果不足8個．若學生的人數(shù)為，則列式正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個．由此得出不等式組．解：根據(jù)小朋友的人數(shù)為，根據(jù)題意可得：，故選：C．【點撥】此題主要考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)題意找出不等式的取值范圍是解決問題的關鍵．2．若mx－8≤4－2x是關于x的一元一次不等式，則m的取值是______．【答案】m≠－2【分析】先把不等式變形為（m＋2）x≤12，根據(jù)不等式的定義即可求出m的求值．解：mx－8≤4－2x，mx＋2x≤4＋8，(m＋2)x≤12，∴m＋2≠0，解得m≠－2，故答案為m≠－2．【點撥】此題主要考察不等式的定義．舉一反三：【變式】某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標簽，一次服用藥品的劑量設為，則的取值范圍是__．【答案】【分析】根據(jù)題意分別表示出分3次服用和分4次服用的劑量范圍，再綜合兩種情況分析即可得出結(jié)論．解：若每天服用3次，則所需劑量為之間，若每天服用4次，則所需劑量為之間，所以，一次服用這種藥的劑量為之間，所以．故答案為：．【點撥】本題考查不等式的實際應用問題，能夠準確分情況討論出不同的范圍再綜合分析是解題關鍵．類型二、一元一次不等式組??求解集??解特殊不等式組 3．解不等式組，請結(jié)合題意完成本題的解答（每空只需填出最后結(jié)果）．解不等式①，得：解不等式②，得：把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：∴不等式組的解集為：【答案】；；見詳解；．【分析】分別解兩個不等式，然后在數(shù)軸上表示解集，再根據(jù)公共部分確定不等式組的解集．解：解不等式①，得，解不等式②，得，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來為：所以原不等式組解集為：．故答案為：；；．【點撥】本題考查了解一元一次不等式組并把解集在數(shù)軸上表示，熟練掌握一元一次不等式的解法是解決本題的關鍵．舉一反三：【變式】解下列不等式組并將解集在下列數(shù)軸上表示出來．【答案】(1)，數(shù)軸上表示見分析；(2)，數(shù)軸上表示見分析【分析】（1）先求出每個不等式的解集，再確定不等式組的解集并表示在數(shù)軸上即可；（2）先求出每個不等式的解集，再確定不等式組的解集并表示在數(shù)軸上即可．解：（1）解不等式①得；解不等式②得．∴不等式組的解集為．把解集表示在數(shù)軸上為：（2）由①得，由②得，所以原不等式的解是，所以在數(shù)軸上表示為【點撥】本題考查了不等式組的解法和在數(shù)軸上表示解集，確定不等式解集時，要熟記口訣，去分母時注意不要漏乘沒有分母的項．4．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式．解：∵，∴可化為．由有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，得①②解不等式組①，得；解不等式組②，得，∴的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．(1)一元二次不等式的解集為_______；(2)試解一元二次不等式；(3)試解不等式．【答案】(1)或；(2)一元二次不等式的解集為0＜x＜5(3)的解集為1＜x＜4【分析】（1）利用平方差公式進行因式分解；（2）利用提公因式法對不等式的左邊進行因式分解，再求解可得；（3）需要分類討論：①

②據(jù)此求解可得．解：（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0∴或解得：x＞3或x＜-3．故答案為：或；（2）∵，∴可化為．由有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，異號得負，得①

②解不等式組①，得0＜x＜5；解不等式組②，無解，∴的解集為0＜x＜5，即一元二次不等式的解集為：0＜x＜5．（3）由有理數(shù)的除法法則：兩數(shù)相除，異號得負，得①

②解不等式組①，得1＜x＜4；解不等式組②，無解，∴的解集為1＜x＜4．【點撥】本題考查不等式組的解法，一元一次不等式組的應用．利用了轉(zhuǎn)化的思想，這種轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)為：兩數(shù)相乘（除），同號得正，異號得負的符號法則．舉一反三：【變式】閱讀理解題：（1）原理：對于任意兩個實數(shù)、，若，則和同號，即：或若，則和異號，即：或（2）分析：對不等式來說，把和看成兩個數(shù)和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就轉(zhuǎn)化求解不等式組（Ⅰ）和（Ⅱ）．（3）應用：解不等式①②【答案】（3）①或；②【分析】（3）①根據(jù)題中所給方法進行分類求解不等式即可；②先提取公因式，然后再根據(jù)題中所給方法進行求解即可．解：（3）①，∴當時，解得：；當時，解得：；∴原不等式的解集為或；②∴當時，解得：；當時，不等式組無解；∴原不等式的解集為．【點撥】本題主要考查不等式組的求解，解題的關鍵是根據(jù)題中所給方法進行求解．類型三、一元一次不等式組??求整數(shù)解5．解不等式組：，把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，并求出整數(shù)解．【答案】，數(shù)軸見分析，整數(shù)解為：，0，1，2【分析】分別求出不等式組中兩個不等式的解集，找出解集的公共部分確定出解集，找出整數(shù)解即可．解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為：不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：整數(shù)解為：，0，1，2【點撥】本題主要考查了解一元一次不等式組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．舉一反三：【變式】解不等式組，并寫出這個不等式組的所有整數(shù)解．【答案】不等式組的解集為；不等式組的所有整數(shù)解為【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法，先分別解出各個一元一次不等式，再結(jié)合“大取大、小取小、大小小大中間找、大大小小無解了”取不等式組解集，最后寫出其所有整數(shù)解即可得到答案．解：，由①得，即，解得；由②得，即，解得；不等式組的解集為，不等式組的所有整數(shù)解為．【點撥】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式的解法、理解并靈活運用“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了”求不等式組的解集是解決問題的關鍵．類型三、一元一次不等式組??求解集中的參數(shù) 6．已知關于的不等式組當時，求不等式組的解集；若不等式組的解集是，求的值；若不等式組有三個整數(shù)解，則的取值范圍是______．【答案】(1)不等式組的解集為：；(2)(3)【分析】（1）將代入不等式組，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定不等式組的解集；（2）利用“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍；（3）根據(jù)不等式組中確定不等式組的整數(shù)解，然后利用“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍．（1）解：當時，，∴原不等式組解得：，∴不等式組的解集為：；（2）解：當不等式組的解集是時，，解得；（3）解：由，當不等式組有三個整數(shù)解時，則不等式組的整數(shù)解為、、，又∵且，∴，解得．故答案為：．【點撥】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．舉一反三：【變式】已知：關于x的不等式組當a＝5時，求該不等式組的解集；若不等式組有且僅有3個整數(shù)解，求a的取值范圍．【答案】(1)1＜x＜9；(2)【分析】（1）把a＝5代入不等式，然后分別求值各個不等式的解，取公共部分即可；（2）用含a的式子表示不等式的解，結(jié)合不等式組有且僅有3個整數(shù)解，即可求解．（1）解：當a＝5時，不等式組為由①得x＜9由②得x＞1∴不等式組的解集是1＜x＜9；解：由①得x＜9由②得∵不等式組有且僅有3個整數(shù)解∴故【點撥】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握解不等式組的基本步驟是解題的關鍵．7．已知關于的不等式組只有3個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】求出不等式組中兩不等式的解集，根據(jù)不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小無解；大小小大取中間的法則表示出不等式組的解集，由不等式組只有三個整數(shù)解，根據(jù)解集取出三個整數(shù)解，即可得出a的范圍．解：解不等式得：，解不等式得：，此不等式組有3個整數(shù)解，這3個整數(shù)解為，0，1，實數(shù)的取值范圍是．【點撥】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式的解集，正確得出不等式組的解集是解題關鍵．舉一反三：【變式】嘉淇準備完成題目，解一元一次不等式組，發(fā)現(xiàn)常數(shù)“□”印刷不清楚．(1)他把“□”猜成－2，請你解一元一次不等式組；(2)若的整數(shù)解有3個，請求常數(shù)“□”的取值范圍．【答案】(1)無解；(2)2＜□≤3；【分析】（1）先分別解出每個不等式的解集，取它們公共部分即為不等式組的解；（2）設常數(shù)“□”為a，根據(jù)不等式組的解可得a的取值范圍（1）解：解不等式x-（-2)＜1，得x＜-1，解不等式x-1≥0，得x≥1，∴該不等式組無解；（2）解：設常數(shù)“□”為a，解不等式x-a＜1，得x＜1+a，解不等式x-1≥0，得x≥1，∴不等式組的解集為1≤x＜1+a∵該不等式組有3個整數(shù)解，∴3＜a+1≤4，解得：2＜a≤3，即常數(shù)“□”的取值范圍2＜□≤3．【點撥】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法，能根據(jù)不等式組的解集得到a的范圍是解答的關鍵．類型五、一元一次不等式組??方程（組）??不等式組8．已知：關于的方程組的解為負數(shù)，求的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，根據(jù)解為負數(shù)列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解．解：，得：，解得，得：，解得，∵方程組的解為負數(shù)∴，解得．∴．【點撥】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式組，正確的計算是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】關于x、y的二元一次方程組的解滿足不等式組，求m的取值范圍．【答案】0＜m＜【分析】將方程組兩方程相加減可得x+y、x﹣y，代入不等式組可得關于m的不等式組，求解可得．解：，①+②得：3x+3y＝3+2m，即x+y＝，①﹣②，得：x﹣y＝2m﹣1，∵，∴，解得：0＜m＜．【點撥】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式組，根據(jù)題意得出關于m的不等式組是解題的關鍵．【變式2】（1）解二元一次方程組；（2）已知（1）中的解滿足，求正整數(shù)a的值．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根據(jù)代入法解二元一次方程組即可求解；（2）把（1）中的解代入不等式中得，，解一元一次不等式組，即可求得正整數(shù)解．解：（1）由①得③，將③代入②得，，解得，將代入③得，∴此方程組解為（2）把（1）中的解代入不等式中得，，∴，解得，∵a是正整數(shù)，∴．【點撥】本題考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集，正確的計算是解題的關鍵．類型六、一元一次不等式組??一元一次不等式組的應用9．市食品部門需運輸一批生鮮到某區(qū)，現(xiàn)有和型兩種冷鏈運輸車，其中型冷鏈運輸車一次可運輸千克生鮮，型冷鏈運輸車一次可運輸千克生鮮．型冷鏈運輸車一次需費用元，型冷鏈運輸車一次需費用元．(1)市食品部門用兩種冷鏈車共輛運輸這批生鮮．若運輸生鮮不少于千克，且總費用小于元，請羅列所有的運輸方案．(2)在（1）問的條件下，由于型和型兩種冷鏈運輸車，運輸時走不同高速路線，型需元過路費，型需元過路費，求如何安排兩種車型運輸?shù)倪^路費總和最少？【答案】(1)運輸方案有種：①用型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛，②用型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛，③用型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛：(2)安排型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛，過路費總和最少．【分析】（1）型冷鏈運輸車一次可運輸千克生鮮，型冷鏈運輸車一次可運輸千克生鮮，運輸生鮮不少于千克，型冷鏈運輸車一次需費用元，型冷鏈運輸車一次需費用元，總費用小于元，設用型冷鏈運輸車輛，則型冷鏈運輸車輛，由此即可求解；（2）由（1）可知，運輸方案有種，型需元過路費，型需元過路費，過路費總和最少，設過路費總和為元，由此即可求解．解：（1）解：設用型冷鏈運輸車輛，則型冷鏈運輸車輛，根據(jù)題意得，解得，∵是整數(shù)，∴可取，，，

∴運輸方案有種：①用型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛，②用型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛，③用型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛．（2）解：設過路費總和為元，則，

當，即時，隨的增大而增大，∴時，取最小值，最小值為（元），∴安排型冷鏈運輸車輛，型冷鏈運輸車輛，過路費總和最少．【點撥】本題主要考查一元一次不等式，理解題目中的數(shù)量關系，列不等式組是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】某網(wǎng)店銷售甲、乙兩種羽毛球，已知甲種羽毛球每筒的售價比乙種羽毛球多15元，王老師從該網(wǎng)店購買了2筒甲種羽毛球和3筒乙種羽毛球，共花費255元．(1)該網(wǎng)店甲、乙兩種羽毛球每筒的售價各是多少元？(2)根據(jù)消費者需求，該網(wǎng)店決定用不超過8780元購進甲、乙兩種羽毛球共200筒，且甲種羽毛球的數(shù)量大于乙種羽毛球數(shù)量的，已知甲種羽毛球每筒的進價為50元，乙種羽毛球每筒的進價為40元．所購進羽毛球均可全部售出，請求出網(wǎng)店所獲利潤（元）與甲種羽毛球進貨量（筒）之間的函數(shù)關系式，并說明當為何值時所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)甲種羽毛球每筒的售價為60元，乙種羽毛球每筒的售價為45元(2)當為78時，所獲利潤最大，最大利潤為1390元【分析】（1）設甲種羽毛球每筒的售價為元，乙種羽毛球每筒的售價為元，由條件可列方程組，則可求得答案；（2）購進甲種羽毛球筒，則乙種羽毛球為筒，由條件可得到關于的不等式組，則可求得的取值范圍，用可表示出，可得到關于的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．（1）解：設甲種羽毛球每筒的售價為元，乙種羽毛球每筒的售價為元，根據(jù)題意可得，解得，答：甲種羽毛球每筒的售價為60元，乙種羽毛球每筒的售價為45元．（2）解：若購進甲種羽毛球筒，則乙種羽毛球為筒，根據(jù)題意可得：，解得，由（1）知利潤，，隨的增大而增大，且，又為整數(shù)，當時，最大，，答：當為78時，所獲利潤最大，最大利潤為1390元．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的應用，弄清題意找準等量關系列出方程組、找準不等關系列出不等式組、找準各量之間的數(shù)量關系列出函數(shù)解析式是解題的關鍵.【變式2】在抗擊新冠肺炎疫情期間，市場上防護口罩出現(xiàn)熱銷，某藥店售出一批口罩．已知3包兒童口罩和2包成人口罩共個，5包兒童口罩和3包成人口罩共個．(1)求兒童口罩和成人口罩的每包各是多少個？(2)某家庭欲購進這兩種型號的口罩共5包，為使其中口罩總數(shù)量不低于個，且不超過個，①有哪幾種購買方案？②若每包兒童口罩8元，每包成人口罩元，哪種方案總費用最少？【答案】(1)兒童口罩每包2個，成人口罩每包個(2)①有兩種購買方案：方案一：購買兒童口罩2包，則購買成人口罩3包；方案二：購買兒童口罩3包，則購買成人口罩2包；②購買兒童口罩3包，則購買成人口罩2包總費用最少【分析】（1）設兒童口罩每包x個，成人口罩每包y個，根據(jù)：3包兒童口罩和2包成人口罩共26個，5包兒童口罩和3包成人口罩共40個列方程組求解即可；（2）①設購買兒童口罩m包，根據(jù)這兩種型號的口罩共5包，為使其中口罩總數(shù)量不低于26個，且不超過34個列出不等式組，確定m的取值，進而解決問題；②分別求出每個方案的費用即可解決問題．解：（1）解：設兒童口罩每包x個，成人口罩每包y個，根據(jù)題意得，，解得，∴兒童口罩每包2個，成人口罩每包個；（2）解：①設購買兒童口罩m包，則購買成人口罩包，根據(jù)題意得，，解得，，∵m為整數(shù)，∴或，∴共有兩種購買方案：方案一：購買兒童口罩2包，則購買成人口罩3包；方案二：購買兒童口罩3包，則購買成人口罩2包．②方案一的總費用為：元；方案二的總費用為：元．∵，∴方案二的總費用最少．【點撥】此題主要考查了二元一次方程組的應用