專題05均值不等式培優(yōu)歸類題型1公式基礎(chǔ)重要基礎(chǔ)不等式（1）_（）；（2）（）；（3）2（）；（4）__或（）；（5）1．（2025·遼寧鞍山·二模）已知、是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．2．（24-25高三·安徽合肥·模擬）若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·湖南長沙·期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．題型2取等條件利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.1．（24-25高二下·江蘇·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小值是2B．函數(shù)的最小值為4C．“且”是“”的充分不必要條件D．不等式與有相同的成立條件2．（24-25高一上·北京·期末）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三·全國·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2 D．當(dāng)時(shí)，4．（24-25高三·上海·模擬）已知兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于它們的幾何平均值，類比此定理，有以下結(jié)論：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，即當(dāng)均為正實(shí)數(shù)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；利用上述結(jié)論，判斷下列命題真假，則真命題為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．（2023·河北·三模）已知，那么以下關(guān)于式子的分析判斷正確的選項(xiàng)是（

）（1）；（2）上式當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立；（3）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值A(chǔ)．以上全正確 B．（1）錯(cuò) C．（2）錯(cuò) D．（3）錯(cuò)題型3基本型：湊配對勾型對勾型結(jié)構(gòu)：，容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，對勾添加常數(shù)型對于形如，則把cx+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化1．（2025高三浙江階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．93．（2025高三·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，則的最大值為（

）A． B．0 C．4 D．4．（24-25高二下·北京·期中）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A．1 B．2 C．4 D．2或45．（22-23高三全國·階段練習(xí)）函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－3題型4重要基礎(chǔ)：分離常數(shù)型構(gòu)造分離常數(shù)型構(gòu)造法：，可以考慮直接分離常數(shù)構(gòu)造對勾型，或者分母換元構(gòu)造對勾。1．（24-25高三下·廣東東莞·階段練習(xí)）若則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三·云南昭通·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．3．（23-24高按·安徽蕪湖·模擬）已知，則的最小值為（

）A． B．C． D．4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B．12 C．9 D．5．（24-25高三·云南昆明·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值6 D．最小值8題型5“1”的代換：基礎(chǔ)模型“1”的代換.利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換。1．（24-25高三·貴州貴陽·階段練習(xí)）若隨機(jī)變量，且，其中m，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高三·黑龍江哈爾濱模擬）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．3．（24-25高三重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．9 B． C．4 D．64．（24-25高一下·貴州遵義·期中）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．12 C． D．275．（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．題型6“1”的代換：單變量隱“和”構(gòu)造型單變量隱“和”構(gòu)造型：形如1．（23-24高三·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x滿足，則的最小值為（

）A．9 B．18 C．27 D．362．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（

）A．9 B．3 C． D．3．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，則的最小值為（

）A．25 B．6 C．10 D．54．（24-25高一上·浙江麗水·期中）設(shè)，則的最小值為（

）A．81 B．27 C．9 D．35．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．20 B．25 C．30 D．35題型7“1”的代換：“積、和”混合同除型“積、和”混合同除型原理：1.關(guān)系：如與，可以通過同除（乘）ab互化。2.化歸：如化為，則復(fù)合“1”的代換模型結(jié)構(gòu)。1．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，則的最小值為（

）A．12 B．9 C．8 D．62．（24-25高三·廣東廣州·模擬）已知，且，求的最小值為（

）A．9 B．12 C．15 D．183．（22-23高三·新疆·階段練習(xí)）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·四川成都·模擬）已知，，則的最小值是（

）A． B． C． D．175．（24-25高三上·陜西西安·期末）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．9題型8“1”的代換：“積、和”混合解不等式型“積、和”混合解不等式型原理：1.原理：如有“和”有“積”，則結(jié)合所求的是和（或積），則對積（或和）用均值，達(dá)到“消去”積（或和）的目的，然后再解關(guān)于積（或和）的一元二次不等式。2.易錯(cuò)：對于求和型，需要滿足條件等式中的和的系數(shù)比與所求的系數(shù)比相等。如：滿足，求。若，求型，則失敗。需要用反解代入等其它方法1．（24-25高三·湖南長沙·模擬）已知，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．323．（24-25高三·云南昭通·模擬）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（24-25高三上·山東泰安·期末）若，則的最小值為（

）A．12 B．16 C．20 D．255．（24-25高三·山東濱州·模擬）若，，且，則的最小值為（

）A． B．25 C．5 D．1題型9構(gòu)造分母型：單分母基礎(chǔ)型形如pa+b=t，求型，則可以湊配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進(jìn)行變換湊配。1．（24-25高二下·河北保定·階段練習(xí)）已知，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（24-25高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（19-20高二上·天津·期中）已知，，，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．94.（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．45.（24-25高三上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．題型10構(gòu)造分母型：雙分母基礎(chǔ)型形如a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進(jìn)行變換湊配。1.．（24-25高一上·重慶·期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．22.（24-25高三·浙江金華·階段練習(xí)）已知且，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．3.（24-25高三·河南漯河·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．24.（2025·福建泉州·二模）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5.（24-25高三·福建三明·階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型11構(gòu)造分母型：三角函數(shù)型三角函數(shù)型構(gòu)造：利用定值結(jié)構(gòu)構(gòu)造求解。利用三角函數(shù)兩角和與差等恒等公式求解1.（20-21高一上·山西臨汾·期末）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.（20-21高三陜西安康·階段練習(xí)）已知?角滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．183.（2023·河南開封·模擬預(yù)測）已知銳角滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．4.（20-21高一上·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)的最小值為（

）A． B．3C． D．5.（23-24高一上·浙江杭州·期末）設(shè)，則的最小值為.題型12構(gòu)造分母型：待定系數(shù)（湊配）型型如1．（21-22高三上·河南·階段練習(xí)）已知，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（22-23高三上·河北保定·階段練習(xí)）不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．4、（22-23高二下·浙江溫州·期中）點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），為直線外一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．5.（23-24高三上·四川巴中·開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7題型13構(gòu)造分母：分離再構(gòu)造型對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解1.（21-22高三上·遼寧·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)（），則的最小值為（

）A．6 B．4 C．3 D．22.（2022·安徽·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（23-24高三·廣東佛山·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．4.（23-24高三·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．25.（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）若，，且，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．4題型14因式分解型1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）1.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.（23-24高一上·福建龍巖·期末）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．4 C． D．53.（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．4.（24-25高三·河北石家莊·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為.5.（24-25高一上·河南·期末）設(shè)，，且，則的最大值為．題型15齊次同除換元型一般是齊次型分式，可以考慮同除，構(gòu)造單變量型，或者構(gòu)造對勾型。基本規(guī)律一般情況下，滿足（1）分式；（2）分子分母齊次。則可以同除構(gòu)造單變量來求最值。1.（23-24高三·上海浦東新·模擬）已知實(shí)數(shù)，則的最大值為．2.（22-23高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知中有且僅有一個(gè)元素，則的最小值為．3.（2021高三·浙江杭州·階段練習(xí)）若，則的取值范圍是．4.（22-23高三·浙江·模擬）已知a，b，，記，則T最大值為.5.（22-23高一上·上海寶山·階段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是.題型16反解代入消元型條件等式和所求等式之間互化難以實(shí)現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。當(dāng)題目中有2個(gè)字母時(shí)，利用題目的方程將所求式子進(jìn)行消元是常用方法.1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且滿足，則的最小值為.2.（2020·江蘇南京·南京市第五高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為___________.3.（2021·天津薊州·天津市薊州區(qū)第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，，且，則的最小值為.4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.5.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.題型17換元型換元型：1.二次配方型，可以三角換元2.和前邊分母構(gòu)造換元型一樣，可以代數(shù)換元，3.齊次分式同除型，可以代數(shù)換元，1.（22-23高三·浙江·階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112.（21-22高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．3.（22-23高一上·浙江杭州·期末）若，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．4.（2025·河北衡水·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．5.（24-25高三·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2題型18兩次均值型一般情況下均值用兩次，要保證相同字母“取等”條件和數(shù)值一致。兩次均值，逐次消去，取等條件一致才能成立1.（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．62.（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.（2022秋·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B．2 C．4 D．題型19萬能“K”型設(shè)K法的三個(gè)步驟：⑴、問誰設(shè)誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值1.（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為．2.（24-25高三·河北·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為.3.（22-23高二上·湖南懷化·期末）已知正數(shù)滿足：，則的最小值是．4.（22-23高三·浙江麗水·階段練習(xí)）若正數(shù)滿足，且，則A．為定值，但的值不定 B．不為定值，但是定值C．，均為定值 D．，的值均不確定題型20無條件：“裂項(xiàng)”型1.（24-25高三·上海·階段練習(xí)）設(shè)是正實(shí)數(shù)，則的最大值為.2（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為.3.（22-23高三·湖北武漢模擬）是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．4.（23-24高一上·上海徐匯·期中）若x，