第2課時函數(shù)的最大(小)值第三章3.2.1單調(diào)性與最大(小)值<<<1.了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值.(重點(diǎn))3.會借助函數(shù)的單調(diào)性求最值.(難點(diǎn))4.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決日常生活中的問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)噴泉噴出的拋物線型水柱到達(dá)“最高點(diǎn)”后便落下，經(jīng)歷了先“增”后“減”的過程，從中我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)性與函數(shù)的最值之間似乎有著某種“聯(lián)系”，這節(jié)課讓我們來研究函數(shù)的最大值與最小值.導(dǎo)語一、函數(shù)的最大值和最小值二、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值課時對點(diǎn)練三、探究生活中的實(shí)際問題隨堂演練內(nèi)容索引函數(shù)的最大值和最小值一提示函數(shù)y=-x2-2x的圖象有最高點(diǎn)A，函數(shù)y=-2x+1，x∈[-1，+∞)的圖象有最高點(diǎn)B，函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點(diǎn)C.如圖所示是函數(shù)y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈[-1，+∞))，y=f(x)的圖象.請標(biāo)出三個圖象的最高點(diǎn).問題1提示

圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值，即函數(shù)的最大值.你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的？問題2函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)?x∈D，都有f(x)

M；(2)?x0∈D，使得

.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.≤f(x0)=M同樣的，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)?x∈D，都有f(x)

m；(2)?x0∈D，使得

.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.≥f(x0)=m(1)最大(小)值的幾何意義：最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)并不是所有的函數(shù)都有最大(小)值.(3)一個函數(shù)至多有一個最大(小)值，但取得最大(小)值時的x0可以有多個.(4)研究函數(shù)最值需先研究函數(shù)的定義域和單調(diào)性.(5)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函數(shù)f(x)的最大(小)值，只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使f(x0)=M時，M才是函數(shù)的最大(小)值，否則不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值.

注

意

點(diǎn)<<<

例

1作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖.由圖象可知，當(dāng)x=±1時，f(x)取最大值1.當(dāng)x=0時，f(x)取最小值0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.解圖象法求函數(shù)最值的一般步驟

反思感悟

已知f(x)=|x-1|+|x-2|，(1)作出f(x)的圖象；跟蹤訓(xùn)練1

解(2)求f(x)的最值.通過圖象可知，f(x)的最小值為1，無最大值.解二利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值提示

最大值為f(b)，最小值為f(a).若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值分別是多少？問題3提示

函數(shù)的最大值或最小值不一定在端點(diǎn)處取到，需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.如我們將例1中函數(shù)的定義域調(diào)整為區(qū)間(-1，2]，顯然函數(shù)f(x)的最大值仍然為1，最小值仍然為0，但是取得最值時對應(yīng)的x的值都不在端點(diǎn)處.是否所有存在最值的函數(shù)，最大值或最小值一定在端點(diǎn)處取到？問題4

例

2

解

證明

例

2

解(2)求函數(shù)f(x)在[1，5]上的最值.

例2條件不變，若對?x∈[1，5]，m≥f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.延伸探究

1只需m大于等于f(x)在區(qū)間[1，5]上的最大值即可，由例2(2)可知，該最大值為3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，

+∞).解

例2條件不變，求函數(shù)f(x)在[1，+∞)上的最值.延伸探究

2由例2(1)知函數(shù)f(x)在[1，+∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時，f(x)有最大值f(1)=3，f(x)無最小值.解

延伸探究3

解(1)利用單調(diào)性求最值的一般步驟①判斷函數(shù)的單調(diào)性.②根據(jù)單調(diào)性找到最值點(diǎn)，并計(jì)算出最值.(2)函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系①若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b).②若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a).③求最值時一定要注意所給區(qū)間的開閉，若是開區(qū)間，則不一定有最大(小)值.

反思感悟探究生活中的實(shí)際問題三

(課本例4)“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位：m)與時間t(單位：s)之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少(精確到1m)？例

3

解

例

3

解(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解解應(yīng)用題的步驟是①審清題意；②建立數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；③總結(jié)結(jié)論，回歸題意.

反思感悟

將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷量就減少10個，為得到最大利潤，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤為多少？跟蹤訓(xùn)練

2設(shè)售價(jià)為x元，利潤為y元，單個漲價(jià)(x-50)元，銷量減少10(x-50)個，銷量為500-10(x-50)=(1

000-10x)個，則y=(x-40)(1

000-10x)=-10(x-70)2+9

000.故當(dāng)x=70時，ymax=9

000.即售價(jià)為70元時，利潤最大，最大利潤為9

000元.解1.知識清單：(1)函數(shù)的最大值、最小值定義.(2)求解函數(shù)最值的方法.(3)利用函數(shù)最值解決生活中的實(shí)際問題.2.方法歸納：配方法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū)：(1)在利用單調(diào)性求最值時，勿忘求函數(shù)的定義域.(2)求含參數(shù)的二次函數(shù)的最值時不要忘記按對稱軸與區(qū)間的位置分類討論.隨堂演練四1234

√

解析1234

√

解析1234

√

解析12344.如圖，用長度為24

m的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為

m.

解析3課時對點(diǎn)練五題號12345678答案AADBCDB題號911121315答案BCDD對一對答案1234567891011121314151610.答案12345678910111213141516

14.答案12345678910111213141516

14.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.則f(x)的圖象開口向上，其對稱軸方程為x=1，(1)f(x)在[-2，1]上單調(diào)遞減，在(1，3]上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1)=2.又因?yàn)閒(-2)>f(3)，所以f(x)max=f(-2)=11.(2)①當(dāng)t>1時，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞增，16.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516

基礎(chǔ)鞏固

√答案12345678910111213141516選項(xiàng)B，C在[1，4]上均單調(diào)遞增，選項(xiàng)A，D在[1，4]上均單調(diào)遞減，代入端點(diǎn)值，可知A正確.解析

√答案12345678910111213141516當(dāng)1≤x≤3時，6≤2x+4≤10，當(dāng)-1≤x<1時，5≤x+6<7.∴f(x)min=f(-1)=5，f(x)max=f(3)=10.解析

√答案12345678910111213141516

解析

√答案12345678910111213141516

解析5.某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1=-x2+21x和L2=2x(其中x為銷售量，單位：輛).若該公司在兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為A.90萬元 B.60萬元

C.120萬元

D.120.25萬元√

解析答案123456789101112131415166.函數(shù)f(x)=x2-2x-1，當(dāng)x∈(-2，4]時，恒有f(x)≥m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(-∞，-2) B.(-∞，7)

C.(-∞，7] D.(-∞，-2]√答案12345678910111213141516f(x)=(x-1)2-2的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，4]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(-2，4]上的最小值為f(1)=-2.又因?yàn)楫?dāng)x∈(-2，4]時，f(x)≥m恒成立，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-2].解析7.若函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇1，3]，則函數(shù)F(x)=1-2f(x+2)的值域是A.[-9，-5] B.[-5，-1]

C.[-1，3] D.[1，3]由于函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇1，3]，則1≤f(x+2)≤3，-6≤-2f(x+2)≤-2，所以-5≤1-2f(x+2)≤-1.解析答案12345678910111213141516√

答案12345678910111213141516

解析

解析答案12345678910111213141516(-∞，2]10.畫出函數(shù)y=-x(|x-2|-2)，x∈[-1，5]的圖象，并根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值.答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516解

√綜合運(yùn)用答案12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

解析答案12345678910111213141516

解析12.若函數(shù)f(x)=x2-4x+5在區(qū)間[0，m]上的最大值為5，最小值為1，則m的取值范圍為A.[1，2] B.[2，3]

C.[1，3] D.[2，4]√答案12345678910111213141516f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，x∈[0，m].由函數(shù)f(x)的最小值為1，f(2)=1，知m≥2.又函數(shù)f(x)的最大值為5，f(0)=5，f(4)=5，所以2≤m≤4.解析

解析答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解答案123456789101112