運城市實驗中學2023-2024學年第一學期期中試題九年級數(shù)學試題（卷）（時間120分鐘滿分120分）注意事項：1．答卷前務必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡收回．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1.如果反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，那么此反比例函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，熟練運用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式是解題關鍵．設該函數(shù)解析式為，將點代入求解即可．【詳解】解：設該函數(shù)解析式為，將點代入，可得，解得，∴該函數(shù)解析式為．故選：A．2.如圖，已知直線，若，，則等于（）A.4 B.3 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，首先根據(jù)得到，進而得到，然后代數(shù)求解即可．熟記：“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．【詳解】∵∴∴，即解得．故選：A．3.一個幾何體如圖水平放置，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)簡單組合體的三視圖得出結(jié)論即可．【詳解】解：由題意知，該幾何體的主視圖為，故選：B．【點睛】本題主要考查簡單組合體的三視圖，熟練掌握簡單組合體的三視圖的知識是解題的關鍵．4.對于反比例函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.點在這個函數(shù)圖象上 B.這個函數(shù)的圖象位于第二、四象限C.這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 D.y隨x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．把代入函數(shù)解析式即可判斷出A選項正確；根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象可判斷B、C、D選項的正誤．【詳解】解：A．把代入函數(shù)得，所以點在這個函數(shù)圖象上，故A選項正確，不符合題意；B．函數(shù)的圖象位于第二、四象限，故B選項正確，不符合題意；C．反比例函數(shù)圖象既是軸對稱軸圖形又是中心對稱圖形，故C選項正確，不符合題意；D．對于函數(shù)，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故D選項錯誤，符合題意．故選：D．5.如圖，正五邊形的幾條對角線的交點分別為，它們分別是所在對角線的黃金分割點．若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了正多邊形的相關性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)及判定，首先根據(jù)正五邊形的相關性質(zhì)判定四邊形為平行四邊形，進而求出的長度，再根據(jù)黃金分割點進行計算即可得到的長.黃金分割點等相關內(nèi)容，熟練掌握黃金分割點的計算方法是解決本題的關鍵【詳解】解：∵五邊形為正五邊形∴，,∴同理可得∴∵∴同理可證明∴四邊形為平行四邊形∴,，同理：，∵、為的黃金分割點∴，∴，∴，故選：A．6.已知都在雙曲線上，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由可得，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，在每個象限內(nèi)隨增大而減小，求解即可.【詳解】解：由可得，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，且在每個象限內(nèi)隨增大而減小，又∵，∴；故選：D.7.在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的取值范圍，分別討論和時的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點進行選擇正確答案．【詳解】解：當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)的的圖象經(jīng)過一、三象限，故A選項的圖象符合要求，當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，沒有符合條件的選項．故選：．【點睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象問題；用到的知識點為：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的值相同，則兩個函數(shù)圖象必有交點；一次函數(shù)與軸的交點與一次函數(shù)的常數(shù)項相關．8.據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了“小孔成像”實驗，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體在幕布上形成倒立的實像（點A、B的對應點分別是C、D）．若物體的高為，小孔O到地面距離為，則實像的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應用：先證明得到，再證明得到，再把①和②相加變形得到，然后把，，代入計算即可，利用平行線構(gòu)建相似三角形，然后用相似三角形對應邊的比相等的性質(zhì)求相應線段的長或表示線段之間的關系．【詳解】解：依題意，∵，∴，∴∵，∴，∴則得，∴∴∵，∴解得故選：A9.如圖，在中，，在三角形內(nèi)部放一個周長為16的矩形，使得點E、F在斜邊上，點D、G分別在直角邊上，則矩形的寬等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用三角形面積求高，過點A作于點H，交于點I，根據(jù)三角形的面積可以先求出的長，然后證明，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得出，設，即，計算即可．【詳解】解：過點A作于點H，交于點I，如圖所示：∵，，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，，∴，∴四邊形為矩形，，∴，∴，設，矩形的周長是16，，即，解得：，則，矩形的寬是．故選：B．10.如圖1，點、在反比例函數(shù)的圖象上，過點、作軸的垂線，垂足分別為，，延長線段交軸于點，當時，陰影部分的面積；如圖2，點、在反比例函數(shù)的圖象上，過點、作軸的垂線，垂足分別為，，連接，交于于點，當時，陰影部分的面積，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與三角形的面積，掌握反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關鍵．由題意得∽，再根據(jù)面積比等于相似比的平方求出，由得，結(jié)合求出；設，，則，，，，根據(jù)求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①，∽，，，而，，，，，，，，，②設，，由圖可知：，，，，，，，即，解得，．故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若，則的值為_____．【答案】【解析】【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例性質(zhì)即可求解，解題的關鍵是正確理解比例的性質(zhì)．【詳解】∵，∴，，，∴，故答案為：．12.如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一個寬，長的矩形．當水面觸到杯口邊緣時，邊恰有一半露出水面，那么此時水面高度是_____．【答案】####【解析】【分析】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，先由勾股定理求出，再過點作于，由的比例線段求得結(jié)果即可，正確把握相關性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】如圖所示，過作于點，由題意可得：，，在中，由勾股定理得：∵，，∴，∴，∴，解得：，故答案為：．13.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是________．【答案】（-1，2）或（1，-2）【解析】【詳解】解：根據(jù)位似變換的位似比，可直接求A′的坐標為（-1，2）．或（1，-2）故答案為（-1，2）或（1，-2）【點睛】此題主要考查了位似變換的性質(zhì)，解題時根據(jù)位似比直接由相似的性質(zhì)求解即可，此題比較簡單，是?？碱}．14.如圖，矩形的頂點A和對稱中心恰好在反比例函數(shù)上，若矩形的面積為8，則k的值為________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，設矩形的對稱中心的坐標為，根據(jù)矩形對稱中心為對角線的中點可得點A的坐標為，則點C的坐標為，據(jù)此求出，再根據(jù)矩形的面積為8得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：設矩形的對稱中心的坐標為，則點A的坐標為，∴點C的坐標為，∴，∵矩形的面積為8，∴，∴，∴，故答案為：．15.如圖，在中，，點D為線段三等分點，過點B作，交射線于點E，連接，則的長為________．【答案】或【解析】【分析】分兩種情況討論：①當點D是靠近點C的三等分點時，如圖，過點C作于點H，證出，，得到，從而證出四邊形是矩形即可求解；②當點D是靠近點B的三等分點時，如圖，過點C作于點H，作于點N，證出，，設，則，求出，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：①當點D是靠近點C的三等分點時，如圖，過點C作于點H，∵，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，；②當點D是靠近點B的三等分點時，如圖，過點C作于點H，作于點N，，四邊形是矩形，，由①知，，，，設，則，，，，，在中，，故答案為：6或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關知識，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．（1）以原點為位似中心，在軸的右側(cè)按放大，畫出的一個位似；（2）畫出將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；（3）與是位似圖形嗎？若是，請在圖中標出位似中心，并寫出點的坐標，若不是請說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）是，【解析】【分析】（1）把、的橫縱坐標都乘以2得到、的坐標，然后描點即可；（2）利用點平移的坐標規(guī)律寫出、、的坐標，然后描點即可；（3）延長、、，它們相交于點，則可判斷與是位似圖形．【小問1詳解】解：如圖，為所作；【小問2詳解】如圖，為所作；【小問3詳解】和是位似圖形；如圖，點為所求，坐標為．【點睛】本題考查了作圖位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．17.在一節(jié)數(shù)學課上，小紅畫出了某四棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為等腰梯形，已知該四棱柱的側(cè)面積為．（1）三視圖中，有一圖未畫完，請在圖中補全；（2）根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，俯視圖中的長度為________；（3）左視圖中矩形的面積為________；（4）這個四棱柱的體積為________．【答案】（1）見解析（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)所在面在前，所在的面在后，得到主視圖中應補充兩條虛線，畫出圖形即可；（2）由俯視圖為等腰梯形，可得，再根據(jù)四棱柱的側(cè)面積為，計算即可得出答案；（3）作于，于，則四邊形是矩形，證明得到，由勾股定理計算出，由此即可得出答案；（4）先由梯形的面積公式計算出底面積，再乘以高即可得到答案．【小問1詳解】解：所在的面在前，所在的面在后，主視圖中應補充兩條虛線，補充完整如圖所示：【小問2詳解】解：俯視圖為等腰梯形，，該四棱柱側(cè)面積為，，，故答案為：；【小問3詳解】解：如圖，作于，于，，俯視圖為等腰梯形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，左視圖中矩形的面積為：，故答案為：8；【小問4詳解】解：由題意得：這個四棱柱的體積為，故答案為：32．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)、求幾何體的體積等知識點，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關鍵．18.如圖，是等邊三角形，點D是邊上一點，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，交于點F．（1）求證：；（2）當時，求的值．【答案】（1）見解析（2）3【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）先證是等邊三角形，再證，根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可證明；（2）根據(jù)可得，再證，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可得，進而可得的值．【小問1詳解】證明：由旋轉(zhuǎn)可得：，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，，，；【小問2詳解】解：，是等邊三角形，，，，又，即，，，，又是等邊三角形，，．19.如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，與反比例函數(shù)交于點，．（1）請求出，，的值；（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解集：________；（3）點是軸上一動點，連接，，當周長最小時，點的坐標為________．【答案】（1），，；（2）或；（3）．【解析】【分析】此題考查了待定系數(shù)法確定反比例解析式與一次函數(shù)解析式，軸對稱以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)是解題的關鍵．（）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，再把代入即可求解；（）根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷；（）找出點關于軸對稱的點，連接，與軸交于點，在求出直線解析式即可；【小問1詳解】∵直線和反比例函數(shù)圖象過點，∴，，解得：，，∴反比例函數(shù)解析式為，∵點在圖象上，∴，綜上可知：，，；【小問2詳解】由（）得：，∴點，當，即直線圖象在圖象上方，根據(jù)圖象可得，或，故答案為：或；【小問3詳解】如圖，點關于軸對稱的點，連接，與軸交于點，∴，利用得到，則根據(jù)兩點之間線段最短，點為所求點，此時周長最小，設直線解析式為，且過點，，∴，解得：，∴直線解析式為，則當時，，∴點，故答案為：．20.隘街某店鋪在窗戶上方安裝一個遮陽棚，如圖所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚固定點A距離地面高度，遮陽棚與墻面的夾角為．在某一時刻，一位身高的顧客在太陽光下的影長，求此時遮陽棚在地面上的影長．（，結(jié)果精確到）【答案】【解析】【分析】過點作于點，作于點，求出，證明，則，解得，即可得到遮陽棚在地面上的影長．【詳解】解：過點作于點，作于點，則四邊形為矩形，，在中，，，，同一時刻太陽光線是平行的，，又，，，，即，解得，，答：此時遮陽棚在地面上的影長等于．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證明是解題的關鍵．21.請閱讀下列材料，并完成相應的任務．梅涅勞斯（）是公元1世紀時的希臘數(shù)學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線與三角形的三邊或其延長線相交（交點不能是三角形的頂點），可以得到六條線段，三條不連續(xù)線段的乘積等于剩下三條線段的乘積．該定理被稱為梅涅勞斯定理，簡稱梅氏定理．如圖1，直線交線段于點，交線段于點，交延長線于點，可截得六條線段、、、、、，則這六條線段滿足．下面是該定理的一部分證明過程：證明：如圖2，過點作，交延長線于點則有（依據(jù)），…（1）上述過程中的依據(jù)指的是________；（2）請將該定理的證明過程補充完整．（3）在圖1中，若點是的中點，，則的值為________；（4）在圖1中，若，，則的值為________．【答案】（1）平行線分線段成比例（2）證明過程補充見解析（3）（4）【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)題意，上述過程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；（2）根據(jù)平行線分線段成比例，得到，進而得到，得證．（3）根據(jù)題意點是的中點，，再由圖示三角形的各線段對應關系得到，再由，得到，由此得到答案．（4）過點作交的延長線于點，由此得到，，由相似三角形的性質(zhì)得到，，由此得到答案．【小問1詳解】解：上述過程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例【小問2詳解】該定理的證明過程補充完整如下：，，即【小問3詳解】點是的中點，，，，,即，，，．【小問4詳解】如圖，過點作交的延長線于點，，，，，，，，，，，，，，，，，，．22.綜合與實踐【問題情境】“綜合與實踐課”上，老師提出：在研究圖形的變化時，要多關注運動過程中的不變量．如圖，四邊形是正方形，點在邊上運動，連接，以為對角線構(gòu)造正方形，連接．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）“善思小組”發(fā)現(xiàn)，在點運動的過程中，線段與的數(shù)量關系保持不變．請直接寫出與的數(shù)量關系：________；【問題探究】（2）“縝密小組”注意到，當點運動時，與的比值也保持不變．請你求出這個比值；【問題延伸】（3）如圖，連接，交于點，若，，請求出的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到，，，證明即可；（）連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到，，，證明，再由性質(zhì)求解即可；（）同（）可證或，由相似三角形的性質(zhì)即可求解；【小問1詳解】∵四邊形和是正方形，∴，，，