2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的概率與統(tǒng)計(jì)分析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請將正確選項(xiàng)的字母填入括號內(nèi)。每小題3分，共30分）1.在一個(gè)由大量近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)中，若粒子不可分辨，且每個(gè)粒子可以處在能量為ε_i的能級上，占有數(shù)為N_i，則最概然分布滿足的條件是（）。A.等概率原理B.能量最小原理C.玻爾茲曼分布D.費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)2.根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，一個(gè)由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，其內(nèi)能U對粒子數(shù)N的偏導(dǎo)數(shù)（?U/?N）_V=NkT-?F/?N，其中F為亥姆霍茲自由能。此關(guān)系成立的前提條件是（）。A.粒子遵守費(fèi)米統(tǒng)計(jì)B.粒子遵守玻色統(tǒng)計(jì)C.粒子不可分辨D.系統(tǒng)溫度T=03.對于一個(gè)由N個(gè)可分辨粒子組成的系統(tǒng)，若共有K個(gè)能級，能級i上的能量為ε_i，占有數(shù)為n_i，則微觀狀態(tài)數(shù)W為（）。A.W=K!B.W=∑n_i!C.W=(∑n_i)!/(n_1!n_2!...n_K!)D.W=N!4.在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中，麥克斯韋速度分布描述的是（）。A.定域體系在溫度T和體積V下的最概然分布B.非定域體系在溫度T和體積V下的最概然分布C.體系在給定粒子數(shù)、能量和體積下的等概率分布D.體系在給定粒子數(shù)、能量和壓強(qiáng)下的等概率分布5.熵的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)定義S=klnW中，W代表的是（）。A.體系可能達(dá)到的宏觀狀態(tài)數(shù)目B.體系可能達(dá)到的微觀狀態(tài)數(shù)目C.體系內(nèi)部的能量狀態(tài)數(shù)目D.體系內(nèi)部的粒子排列方式數(shù)目6.一個(gè)體系由兩部分組成，A部分有N_A個(gè)粒子，B部分有N_B個(gè)粒子，總粒子數(shù)為N。若體系總能量為E，則A部分有n個(gè)粒子，能量為ε的微觀狀態(tài)數(shù)，與B部分有(N-n)個(gè)粒子，能量為(E-ε)的微觀狀態(tài)數(shù)的乘積，等于（）。A.整個(gè)體系具有N個(gè)粒子、E總能量的微觀狀態(tài)數(shù)B.A部分具有n個(gè)粒子、ε能量的微觀狀態(tài)數(shù)C.B部分具有(N-n)個(gè)粒子、(E-ε)能量的微觀狀態(tài)數(shù)D.07.對于費(fèi)米子體系，在溫度T和體積V一定時(shí)，能級ε_i上的平均粒子數(shù)<n_i>為（）。A.n_i=(g_i/exp[(ε_i-μ)/kT]+1)^(-1)B.n_i=(g_i/exp[(ε_i+μ)/kT]-1)^(-1)C.<n_i>=g_i*exp(-βμ)/(exp(βε_i)-1)D.<n_i>=g_i*exp(βμ)/(exp(βε_i)+1)8.根據(jù)麥克斯韋分布，理想氣體分子的最概然速率v_p，平均速率<v>和方均根速率<v^2>^0.5三者的大小關(guān)系為（）。A.v_p><v>><v^2>^0.5B.<v>>v_p><v^2>^0.5C.<v^2>^0.5><v>>v_pD.v_p><v^2>^0.5><v>9.一個(gè)系統(tǒng)由N個(gè)可分辨粒子組成，共有K個(gè)單粒子能級，能級i的簡并度為g_i，粒子可否進(jìn)入同一能級。若系統(tǒng)總能量為E，則在給定N和E下，微觀狀態(tài)數(shù)W為（）。A.W=(N!/(n_1!n_2!...n_K!))*(g_1^k_1g_2^k_2...g_K^k_K)B.W=(E!/(ε_1!ε_2!...ε_K!))C.W=∑[N!/(n_1!n_2!...n_K!)]D.W=(N!/(g_1^k_1g_2^k_2...g_K^k_K))10.統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本假設(shè)之一是：對于可分辨的定域體系，在可允許的宏觀態(tài)下，體系所有微觀態(tài)的出現(xiàn)是（）。A.等概率的B.不等概率的C.有確定先后順序的D.取決于觀察者的二、填空題（請將答案填入橫線上。每空3分，共30分）1.在麥克斯韋分布中，速率在v與v+dv之間的分子數(shù)dN_v正比于________和________的乘積。2.根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，粒子數(shù)按能級分布n_i=g_i*exp(-βε_i)/Z，其中Z為配分函數(shù)，β=1/kT，g_i為能級ε_i的________度。3.對于理想氣體，分子速率平方的平均值<v^2>=3kT/m，其中m為分子質(zhì)量，k為玻爾茲曼常量，T為________。4.熵S=klnW中的W是指體系________狀態(tài)的數(shù)目，k是________常量。5.費(fèi)米子體系遵從的統(tǒng)計(jì)分布是________分布，其最概然分布要求每個(gè)量子態(tài)上最多只能容納________個(gè)粒子。6.玻色子體系遵從的統(tǒng)計(jì)分布是________分布，其最概然分布對粒子數(shù)是否可數(shù)________。7.在溫度T和體積V保持不變的情況下，理想氣體的內(nèi)能U只是________的函數(shù)。8.統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，系綜是指包含________個(gè)相同但獨(dú)立子系的假想集合。9.體系在給定宏觀條件下，實(shí)際發(fā)生的微觀過程總是沿著________增大的方向進(jìn)行。10.漲落現(xiàn)象是統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)________的直接體現(xiàn)，能量的一級漲落量<(?E)^2>^0.5與其平均值<E>的平方根之比約為________。三、計(jì)算題（請寫出詳細(xì)的解題步驟。每題15分，共45分）1.有N個(gè)粒子，每個(gè)粒子可以處在兩個(gè)能級E_1=0和E_2=ε（ε>0）上，粒子不可分辨。體系與外界有能量交換，但粒子數(shù)守恒。求體系在溫度T下的最概然分布，并求體系平均能量<E>和能量方均根漲落量<(?E)^2>^0.5。2.證明：對于由近獨(dú)立粒子組成的定域體系，在溫度T和體積V一定時(shí)，亥姆霍茲自由能F=-kTlnZ，其中Z為配分函數(shù)。要求先寫出最概然分布，再推導(dǎo)出F的表達(dá)式。3.有N個(gè)可分辨粒子，分為A、B兩部分，A有n個(gè)粒子，B有N-n個(gè)粒子。粒子可處在能量為ε_i的能級上，占有數(shù)為N_i，且每個(gè)能級i有g(shù)_i個(gè)簡并度。若A部分粒子數(shù)n保持不變，求A部分粒子按能級分布所構(gòu)成的微觀狀態(tài)數(shù)W_A。---試卷答案一、選擇題1.C2.C3.C4.B5.B6.A7.A8.C9.A10.A二、填空題1.v^2,f(v)2.簡并3.溫度4.微觀,玻爾茲曼5.費(fèi)米-狄拉克,一6.玻色-愛因斯坦,無關(guān)7.溫度8.可數(shù),無限大9.熵10.漲落,<E>三、計(jì)算題1.解：*最概然分布：體系有N個(gè)粒子，每個(gè)粒子有2種狀態(tài)（0或ε），共有N個(gè)粒子，總狀態(tài)數(shù)為2^N。設(shè)N_0個(gè)粒子處在能級0，N_2=N-N_0個(gè)粒子處在能級ε。則滿足n_0+n_2=N的微觀狀態(tài)數(shù)為C(N,N_0)=N!/(N_0!N_2!)。要找最概然分布，需在所有滿足n_0+n_2=N的分布中找到使C(N,N_0)最大的那個(gè)。根據(jù)等概率原理或拉格朗日未定乘子法，最概然分布要求n_0=N_0=N/2。若N為偶數(shù)，則唯一解為N_0=N/2,N_2=N/2；若N為奇數(shù)，則最概然分布是N_0=N//2或N_0=N//2+1（N//2表示N除以2的整數(shù)部分），這兩種分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)相同。*平均能量<E>：<E>=∑n_iε_iP_i。對于最概然分布，P_i=C(N,n_i)/2^N。若N為偶數(shù)，<E>=0。若N為奇數(shù)，<E>=ε*[(N//2+1)/2^N+(N//2)/2^N]=ε/2。*能量方均根漲落量<(?E)^2>^0.5：體系總能量E=N_2ε。對于最概然分布，E=Nε/2。漲落量平方<(?E)^2>=<(N_2ε-Nε/2)^2>=<(N_2-N/2)^2>=N*(1/2)^N。因此，<(?E)^2>^0.5=sqrt(N)*(1/2)^N/2。2.證明：*最概然分布：設(shè)體系有N個(gè)粒子，分為K個(gè)單粒子能級，能級i的能量為ε_i，簡并度為g_i，粒子可分辨。體系在給定N,E,V下，所有微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等（等概率原理）。令N_i為能級i上的占有數(shù)，則∑n_i=N,∑n_iε_i=E。最概然分布要求對給定的N,E,V，使微觀狀態(tài)數(shù)W=∏[g_i^(n_i)/n_i!]，在約束條件下的取值最大。使用拉格朗日未定乘子法，構(gòu)造函數(shù)L=∑[g_i^(n_i)/n_i!]+α(∑n_i-N)+β(∑n_iε_i-E)。對每個(gè)i，?L/?n_i=g_i^(n_i)*[ln(g_i)-ln(n_i)]+α+βε_i=0。解得最概然分布：n_i=g_i*exp(α+βε_i)=(g_i/Z)*exp(βε_i)，其中Z=exp(α)*∑g_i*exp(βε_i)=∑g_i*exp(-βμ_i)，μ_i為能級ε_i的化學(xué)勢，β=1/kT。配分函數(shù)Z=∑g_i*exp(-βμ_i)=∑g_i*exp(-βε_i-βμ)。*推導(dǎo)F：亥姆霍茲自由能F=U-TS。U=∑n_iε_i=-?(lnZ)/?β。T=1/β。S=klnW。W=Z^N/N!。對大N，lnW≈NlnZ-NlnN+N。S≈k[NlnZ-NlnN+N]=Nk[lnZ-lnN+1]=Nk[lnZ-lnN]+Nk。F=U-TS=-?(lnZ)/?β-T*Nk[lnZ-lnN]=-?(lnZ)/?β-(1/β)*Nk(lnZ-lnN)。因?yàn)?(lnZ)/?β=∑n_iε_i=E，所以F=E-T*Nk(lnZ-lnN)=E-T*Nk*lnZ+NkT*lnN。又因?yàn)镹kT=kT*N=U+F，所以F=U-kTlnZ。即F=-kTlnZ。3.解：*A部分微觀狀態(tài)數(shù)：A部分有n個(gè)可分辨粒子，分布在K個(gè)單粒子能級上，能級i的能量為ε_i，簡并度為g_i。令A(yù)_i為能級i上處在A部分的占有數(shù)，則∑A_i=n。A部分所有可能的粒子分布構(gòu)成的微觀狀態(tài)數(shù)為W_A=∏[g_i^(A_i)/A_i!]，其中i=1toK。這相當(dāng)于從K個(gè)不同的“盒子”（能