第十四章

期權(quán)風(fēng)險對沖理論與策略

期權(quán)希臘值的動態(tài)對沖策略

期權(quán)定價

期權(quán)希臘字母對沖

期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)312提綱CONTENTS4一、期權(quán)定價1.期權(quán)的定義期權(quán)（Option）是指賦予其購買者在規(guī)定期限內(nèi)按雙方約定的價格（執(zhí)行價格，ExercisePrice或StrikingPrice）購買或出售一定數(shù)量某種資產(chǎn)（標(biāo)的資產(chǎn)或潛含資產(chǎn)，UnderlyingAssets）的權(quán)利的合約。期權(quán)是一種交易權(quán)利，它賦予其購買者在未來規(guī)定期限內(nèi)按雙方事先約定的價格購買或出售一定數(shù)量某種資產(chǎn)的權(quán)利，期權(quán)持有者有權(quán)利選擇按照規(guī)則執(zhí)行期權(quán)，或者放棄期權(quán)。第一節(jié)期權(quán)定價2.期權(quán)的分類(1)按照執(zhí)行權(quán)利的內(nèi)容劃分，期權(quán)可以分為看漲期權(quán)、看跌期權(quán)。看漲期權(quán)看跌期權(quán)指期權(quán)的買方向期權(quán)的賣方支付一定數(shù)額的權(quán)利金后，即擁有在期權(quán)合約的有效期內(nèi)，按事先約定的價格向期權(quán)賣方買入一定數(shù)量的期權(quán)合約規(guī)定的特定商品的權(quán)利，但不負(fù)有必須買進的義務(wù)。指期權(quán)的買方向期權(quán)的賣方支付一定數(shù)額的權(quán)利金后，即擁有在期權(quán)合約的有效期內(nèi)，按事先約定的價格向期權(quán)賣方賣出一定數(shù)量的期權(quán)合約規(guī)定的特定商品的權(quán)利，但不負(fù)有必須賣出的義務(wù)。

2.期權(quán)的分類

美式期權(quán)歐式期權(quán)

百慕大期權(quán)

(2)按照期權(quán)執(zhí)行權(quán)利的時間劃分，可分為美式期權(quán)、歐式期權(quán)、百慕大期權(quán)指在期權(quán)合約規(guī)定的有效期內(nèi)任何時候都可以行使權(quán)利指在期權(quán)合約規(guī)定的到期日方可行使權(quán)利，期權(quán)的買方在合約到期日之前不能行使權(quán)利，過了期限，合約則自動作廢一種可以在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權(quán)的期權(quán)，百慕大期權(quán)可以被視為美式期權(quán)與歐式期權(quán)的混合體【例14-1】期權(quán)的風(fēng)險對沖功能假定股票的價格為100元，期權(quán)的價格為100元。某金融機構(gòu)的交易員賣出了40份該股票的看漲期權(quán)，則期權(quán)持有者有權(quán)購買4000股的股票。當(dāng)假定期權(quán)的希臘字母Δ為0.8時，交易員的頭寸可通過購買3200股股票來對沖。此時，期權(quán)頭寸所對應(yīng)的盈利（虧損）會被股票頭寸上的虧損（盈利）來抵消。譬如，如果股票價格上漲1元，買入的股票會升值3200元，而期權(quán)價格將上漲0.8元，賣出期權(quán)頭寸會帶來損失3200元；如果股票價格下跌1美元，買入股票會損失3200元，期權(quán)價格下跌0.8元，賣出期權(quán)會帶來3200元收益）。由此可見，購入期權(quán)后，不論未來股票價格是上漲還是下跌都可以通過持有期權(quán)進行風(fēng)險對沖。2.期權(quán)的分類3.期權(quán)的定價期權(quán)定價方法無套利定價風(fēng)險中性定價

Black-Scholes定價二叉樹定價

3.期權(quán)的定價

3.期權(quán)的定價

3.期權(quán)的定價(二)風(fēng)險中性定價?在風(fēng)險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。股票的期望價格一般可表示為：假定投資者對有無風(fēng)險無偏好差異，則由此，可解出風(fēng)險中性概率：故此，期權(quán)價格：3.期權(quán)的定價SuVuSV?SdVdp1-p?除上述從期望收益角度推導(dǎo)外，事實上，在風(fēng)險中性的條件下，參數(shù)值滿足條件(不作要求)：

，即假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運動，則：再設(shè)定：??=1∕??(第三個條件的設(shè)定則可以有所不同，這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件)，由以上三式可得，當(dāng)????很小時：其中，，故此，可得期權(quán)定價公式：?對于【例14-2】的求解：投資者是風(fēng)險中性意味著：從而期權(quán)的即期價格為：

3.期權(quán)的定價

3.期權(quán)的定價3.期權(quán)的定價(三)多期二叉樹模型Su4

Su3Su2Su2

SuSuSSSSdSdSd2Sd2Sd3

Sd4一個T=4

t的二叉樹圖利用概率論的知識，可以導(dǎo)出確定有關(guān)常數(shù)?對于【例14-2】的求解：考慮一個五期的二叉樹定價模型，通過上述的定價思路，通過不斷逆推可得在五期二叉樹定價模型中（見右圖），該期權(quán)的價格為2.08。?從估計結(jié)果看低于風(fēng)險中性定價和無套利定價結(jié)果。3.期權(quán)的定價3.期權(quán)的定價(四)Black-Scholes定價模型1973年，美國芝加哥大學(xué)教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起了強烈反響。同年，RobertC.Merton獨立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。在部分我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。BS發(fā)表（1973年5-6月）略晚于芝加哥期權(quán)交易所1973年4月掛牌。兩位作者先投稿Journal

of

Political

Economy，拒稿原因：金融太多經(jīng)濟學(xué)太少。后來投稿給ReviewofEconomicsandStatistics，也遭到拒稿。最后在Fama和Miller與JPE雜志編輯打招呼后才得以發(fā)表JPE

3.期權(quán)的定價(四)Black-Scholes定價模型BS假設(shè)：(1)證券價格服從伊藤過程；（2）沒有賣空限制；（3）沒有交易成本和稅收；（4）衍生工具在到期前不發(fā)放紅利；（5）套利機會均已消除；（6）證券可以連續(xù)交易；（7）期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險收益率保持不變?yōu)槌?shù)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運動：普通布朗運動：引入漂移率和方差率，標(biāo)準(zhǔn)布朗運動漂移率為0，方差為dt。令漂移率期望為a，方差率的期望值為b2,則可得到變量x的普通布朗運動：

注：普通布朗運動隨時間增加，需要加上一個飄移項，表示離開起始位置的程度，同時，運動是正態(tài)規(guī)律?？傮w走勢是一個疊加的運動過程。(四)Black-Scholes定價模型3.期權(quán)的定價

3.期權(quán)的定價※證明：令，由此可得：基于上述設(shè)定，我們可以求得衍生產(chǎn)品價格的期望：3.期權(quán)的定價同時，結(jié)合衍生產(chǎn)品價格的方差公式：因為：故此，衍生產(chǎn)品價格的方差為：3.期權(quán)的定價

3.期權(quán)的定價3.期權(quán)的定價故此，對于一個無股息股票看漲期權(quán)的布萊克-斯科斯斯-莫頓定價公式：其中，，同理，息股票看跌期權(quán)的布萊克-斯科斯斯-莫頓定價公式：3.期權(quán)的定價

3.期權(quán)的定價3.期權(quán)的定價：Python實現(xiàn)3.期權(quán)的定價：Python實現(xiàn)3.期權(quán)的定價：Python實現(xiàn)二、期權(quán)希臘字母對沖1.期權(quán)風(fēng)險的來源

廣義的期權(quán)風(fēng)險包括價格波動風(fēng)險、市場流動性風(fēng)險、行權(quán)交收風(fēng)險、合約到期風(fēng)險、強行平倉風(fēng)險，以及人為操作失誤或計算機系統(tǒng)故障等因素導(dǎo)致的操作風(fēng)險等。本章所關(guān)注的期權(quán)風(fēng)險是指對于期權(quán)持有者來說，期權(quán)價格朝著不利于持有者的方向變動，從而可能給投資者帶來損失的風(fēng)險，這主要來源于期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的價格變動。根據(jù)B-S公式：

上述式中，

為看漲期權(quán)價值，

為看跌期權(quán)價值，

為標(biāo)的資產(chǎn)價格，

為執(zhí)行價格，

為到期時間，

為以連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險利率，

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)。由以上公式可知期權(quán)價值與以下五個因素有關(guān)：標(biāo)的資產(chǎn)價格、執(zhí)行價格、到期時間、無風(fēng)險利率和資產(chǎn)的波動率。這五個因素的波動會導(dǎo)致期權(quán)出現(xiàn)價格大幅波動，可能令期權(quán)買方損失全部權(quán)利金或令期權(quán)賣方面臨較大虧損，因此投資者應(yīng)了解如何管理頭寸，有效控制風(fēng)險敞口。在實踐中我們常用希臘值（Greeks）來度量交易中的特定風(fēng)險。

（14-1）（14-2）第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.期權(quán)風(fēng)險對沖的含義

期權(quán)風(fēng)險對沖的關(guān)鍵是對風(fēng)險的度量希臘值（Greeks）方法——首先可以通過基于Taylor展示式的資產(chǎn)組合價值隨市場因子變化的二階形式來展現(xiàn)令期權(quán)價格為

，其中，

表示標(biāo)的物資產(chǎn)的當(dāng)前價格，

表示當(dāng)前時間，

表示無風(fēng)險利率，

表示標(biāo)的物資產(chǎn)價格的波動率，則期權(quán)價格的泰勒展開式為：式（144）中的導(dǎo)數(shù)項便是希臘值。期權(quán)的希臘值就是這樣一套風(fēng)險管理工具，是量化期權(quán)頭寸各種風(fēng)險因素的一種指標(biāo)。通過希臘值，可以動態(tài)管理市場中的各種風(fēng)險敞口，并根據(jù)對價格變動方向或價格波動率的預(yù)期構(gòu)造出各種各樣的期權(quán)策略。（14-3）（14-4）第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

一階希臘字母式期權(quán)價格對變量的一階導(dǎo)數(shù)，即變量變動一單位期權(quán)價格變動幾個單位，表示期權(quán)風(fēng)險的一階敏感性第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖靈敏度指標(biāo)公式含義反映金融衍生品價格對其標(biāo)的物資產(chǎn)價格的線性敏感性

反映金融衍生品價格對時間變化的敏感性

反映衍生證券價格對其標(biāo)的物資產(chǎn)價格波動率的線性敏感性

反映金融衍生品價格關(guān)于利率的線性敏感性反映金融衍生品價格對其標(biāo)的物資產(chǎn)價格的彈性關(guān)系1.一階希臘字母對沖

值

衡量當(dāng)其他參數(shù)不變的情況下，標(biāo)的資產(chǎn)價格變化導(dǎo)致的期權(quán)價格變化幅度，即反映期權(quán)價格對其標(biāo)的資產(chǎn)價格的線性敏感性。從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，

代表了期權(quán)的公允價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)，

是

的函數(shù)，同時它也是執(zhí)行價格和到期時間的函數(shù)。由于

描述的是衍生品價格對標(biāo)的物價格的敏感度，這樣的投資組合是可以被有效對沖的，通過對沖后即形成

中性的投資組合。歐式看漲期權(quán)的

為：

（14-5）歐式看跌期權(quán)的

為：

（14-6）第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值不付紅利的歐式看漲期權(quán)Delta證明

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值特性：因為期權(quán)的權(quán)利金會隨著期貨價格的變化而變化，看漲期權(quán)的權(quán)利金會隨期貨價格的增加而增加，即同向變動，而看跌期權(quán)的權(quán)利金則正好相反，是反向變動。因此，看漲期權(quán)的

值為正數(shù)，而看跌期權(quán)的

值為負(fù)，而標(biāo)的資產(chǎn)的

值為1。除此之外，

的絕對值介于0與1之間，并且具有可加性。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖#看漲期權(quán)delta股票價格時間變化規(guī)律s=np.linspace(10,50,41)x=40r=0.01t=np.linspace(1,12,24)newtime=np.zeros((len(s),len(t)))foriinrange(0,len(s)):newtime[i]=t/12newtime=newtime.Tnewprice=np.zeros((len(t),len(s)))foriinrange(0,len(t)):newprice[i]=spad=np.ones((len(t),len(s)))#續(xù)左delta=blsdelta(newprice,40*pad,0.01*pad,newtime,0.35*pad)plt.figure()ax3=plt.axes(projection='3d')X,Y=np.meshgrid(s,t)Z=deltaax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='rainbow')plt.xlabel('股票價格')plt.ylabel('時間')plt.title('看漲期權(quán)delta股票價格時間變化規(guī)律')plt.show()1.一階希臘字母對沖

值——中性與對沖策略

中性性質(zhì)，表明其價值不受標(biāo)的資產(chǎn)的價格小幅變動的影響。這種投資組合的成分通常包括期權(quán)和與其相對應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)，讓正負(fù)相消，使投資組合的價格對標(biāo)的資產(chǎn)的價格相對不敏感?；谥行缘膶_策略可以分為靜態(tài)對沖策略和動態(tài)對沖策略。①靜態(tài)對沖策略。期貨價格和標(biāo)的資產(chǎn)的價格是線性的，但是期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格為非線性（凸性）關(guān)系，二者相關(guān)系數(shù)的絕對值小于1。對于看漲期權(quán)而言，隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格升高，期權(quán)權(quán)利金升高的速度越來越快；隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格下降，期權(quán)權(quán)利金下降速度越來越慢。看跌期權(quán)價格隨標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化方向則相反。期權(quán)的這種特性使得期權(quán)套期保值更為復(fù)雜。由于期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格的收益曲線為非線性，這意味著當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格發(fā)生變化時，原先的套頭比將不再適用，即原先的套期保值組合將不再是市場中性。從這個角度看，簡單的等量對沖策略僅僅只能對沖掉標(biāo)的資產(chǎn)的部分價格風(fēng)險，而不是全部。如果要完全規(guī)避價格風(fēng)險，也就是說要達到中性，那么期權(quán)市值與現(xiàn)貨市值比例應(yīng)為1∶

。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值——中性與對沖策略【例14-3】假設(shè)A銀行股票看漲期權(quán)的

為0.5，那么這意味著當(dāng)股票價格變動一個單位時，該看漲期權(quán)的價格則變動這個單位的50%。假設(shè)該期權(quán)目前的價格是5元，合約單位是10000股票價格是100元。假設(shè)整個持倉過程中該看漲期權(quán)的

不變，那么當(dāng)股票價格變?yōu)?01（99）元時，看漲期權(quán)的價格就變?yōu)?.5（4.5）元。如果王先生買入開倉了一張A銀行的看漲期權(quán)，那么為使他手中的總持倉的

變?yōu)?，他就會賣出5000股股票，于是他的總持倉就是一張看漲期權(quán)多頭頭寸（對應(yīng)10000股）和5000股股票空頭頭寸，此時，總持倉的

=10000*0.5-5000=0。自此，王先生實現(xiàn)了一個

中性對沖策略。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值——中性與對沖策略【例14-3】

從上面兩個表格我們可以看到，王先生在開倉時刻買入一張期權(quán)（此刻的股票價格為100元，期權(quán)價格為5元），同一時刻他賣空了5000股股票ETF，此時他的總收益為450000元，通過使用

中性對沖策略，不管一段時間之后股價是上升（101元）抑或是下降（99元），王先生將期權(quán)和股票同時平倉后的總虧損都是450000元，即整個過程王先生的總盈虧為0。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖持倉情況期權(quán)頭寸股票頭寸開倉時刻買入開倉1張股票EF看漲期權(quán)賣空5000股股票EF平倉時刻（S=101）賣出平倉1張股票EF看漲期權(quán)買入5000股股票EF補倉平倉時刻（S=99）賣出平倉1張股票EF看漲期權(quán)買入5000股股票EF補倉盈虧情況期權(quán)盈虧股票盈虧總盈虧開倉時刻-50000+500000450000平倉時刻（S=101）+55000-505000-450000平倉時刻（S=99）+45000-495000-4500001.一階希臘字母對沖

值——中性與對沖策略

中性性質(zhì)，表明其價值不受標(biāo)的資產(chǎn)的價格小幅變動的影響。這種投資組合的成分通常包括期權(quán)和與其相對應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)，讓正負(fù)相消，使投資組合的價格對標(biāo)的資產(chǎn)的價格相對不敏感?；谥行缘膶_策略可以分為靜態(tài)對沖策略和動態(tài)對沖策略。②動態(tài)對沖策略。動態(tài)對沖策略。動態(tài)對沖則在靜態(tài)對沖的基礎(chǔ)上更進一步，是更為精細(xì)化的規(guī)避價格風(fēng)險的方式。由于期權(quán)

的

是不斷變化的，靜態(tài)

中性對沖策略僅僅是在展期時根據(jù)新

進行了頭寸調(diào)整，而在非展期時，有的時候

若發(fā)生巨大變化，因頭寸仍沒有得到及時調(diào)整，對沖組合將會出現(xiàn)無法規(guī)避大部分價格風(fēng)險的情況，因此我們需要引入動態(tài)

中性對沖策略，即我們不僅在展期時考慮

的變化，同時在非展期期間，若現(xiàn)貨價格的變化超過一定閾值，或是每隔若干分鐘則重新計算一次組合的

，然后根據(jù)新的

來調(diào)整標(biāo)的物的頭寸，使之實現(xiàn)新的平衡。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值——中性與對沖策略【例14-4】假定交易員賣出100000單位的歐式期權(quán)，當(dāng)前股票市值為54元，期權(quán)行使價格為57元，股票波動率為10%，期限為10周，試用期權(quán)的動態(tài)Delta對沖策略，求解整個期權(quán)存活周期中的對沖成。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖周股票價格Delta股票購買數(shù)量總的購買成本（單位：千美元）累積購買成本（單位：千美元）利率05406273.622.60%154.20.1351-122-0.6672.952.10%253.60.0724-6271-33.6139.342.30%.................................................959.10.9958206212.19570.981.20%1060.30.000000.00570.981.30%扣除出售股票的收入57*100000=570萬元，則整個期權(quán)存活期，實現(xiàn)完全Delta對沖總的對沖成本為570.98*10000-5700000=9774.473元。1.一階希臘字母對沖

值期權(quán)價格對時間的偏導(dǎo)數(shù)，可以理解為期權(quán)價格隨時間變化的速率，度量了金融衍生產(chǎn)品價格對時間變化的敏感性。對于一個無股息的歐式看漲期權(quán)，

計算的公式可由BS公式計算得出：

（145）對于一個股票歐式看跌期權(quán)，計算

的公式為：

（146）因為

，所以看跌期權(quán)的

比看漲期權(quán)的大

。期權(quán)價格將隨時間增加而減少，即當(dāng)?shù)狡跁r間越小，越接近到期日時，期權(quán)價格越低。通常期權(quán)的

為負(fù)（實值看漲匯率期權(quán)等除外）。由于時間走向是唯一確定的，因此不需要對時間進行套保，即無需消除時間風(fēng)險。但是

衡量了期權(quán)買方隨時間的變化而損失的價值，因此在進行

中性對沖時，

起著很重要的作用。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值——不付紅利的歐式看漲期權(quán)證明

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值通常以天結(jié)算，為計算公歷日的

，天數(shù)為365；為計算交易日的

，天數(shù)為252。期權(quán)長頭方的

通常為負(fù)，因為在其他條件不變的情況下，隨著期限的減少，期權(quán)價值會有所降低。下圖給出了一個看漲期權(quán)的

與標(biāo)的資產(chǎn)關(guān)系的曲線。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖#看漲期權(quán)Theta股票價格時間變化規(guī)律s=np.linspace(10,100,91)x=50r=0.05t=np.linspace(1,12,24)newtime=np.zeros((len(s),len(t)))foriinrange(0,len(s)):newtime[i]=t/12newtime=newtime.Tnewprice=np.zeros((len(t),len(s)))foriinrange(0,len(t)):newprice[i]=spad=np.ones((len(t),len(s)))theta=blstheta(newprice,x*pad,r*pad,newtime,0.2*pad)#續(xù)左plt.figure()ax3=plt.axes(projection='3d')X,Y=np.meshgrid(s,t)Z=thetaax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='rainbow')plt.xlabel('股票價格')plt.ylabel('時間')plt.title('看漲期權(quán)Theta股票價格時間變化規(guī)律')plt.show()1.一階希臘字母對沖

值【例14-5】A公司股票當(dāng)前市價為100美元，期權(quán)行使價格為101美元，無風(fēng)險利率為4%，股票波動率為15%，期權(quán)期限為20周。這時，

=100，

=101，

=0.04，

=0.15，

=0.3846，期權(quán)的

為：因此，每公歷日的

為-6.8062/365=-0.0186，每交易日的

為-6.8062/252=-0.0270。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值衡量的是期權(quán)價格對標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率的一階敏感性。如果

絕對值很大，表示此交易組合的價值會對波動率變化非常敏感；如果

絕對值很小，表明交易組合的價值受波動率變化影響很小。用公式計算為期權(quán)價格對波動率的一階導(dǎo)：

對于一個無股息看漲期權(quán)，

公式為：第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖不付紅利的歐式看漲期權(quán)

值證明第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖不付紅利的歐式看漲期權(quán)

值證明第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值歐式及美式期權(quán)的

總為正，并且與股票價格的變化如下圖所示：

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖s=np.linspace(10,100,91)x=50r=0.05t=np.linspace(1,12,24)newtime=np.zeros((len(s),len(t)))foriinrange(0,len(s)):newtime[i]=t/12newtime=newtime.Tnewprice=np.zeros((len(t),len(s)))foriinrange(0,len(t)):newprice[i]=spad=np.ones((len(t),len(s)))vega=blsvega(newprice,x*pad,r*pad,newtime,0.2*pad)#續(xù)左plt.figure()ax3=plt.axes(projection='3d')X,Y=np.meshgrid(s,t)Z=vegaax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='rainbow')plt.xlabel('股票價格')plt.ylabel('時間')plt.title('看漲期權(quán)Vega股票價格時間變化規(guī)律')plt.show()1.一階希臘字母對沖

值【例14-6】同樣采用股票A：當(dāng)前股票價格為100美元，對應(yīng)的期權(quán)行使價格為101美元，市場無風(fēng)險利率為4%，股票波動率為15%，期權(quán)期限為20周。這時，

=100，

=101，

=0.04，

=0.15，

=0.3846，期權(quán)的

為：表示的經(jīng)濟含義為：當(dāng)股票波動率增加1%時，期權(quán)價格會相應(yīng)增長0.01×24.605=0.24605。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值期權(quán)價格隨利率變化的速率。用公式可以表示為期權(quán)價格對利率的偏導(dǎo)數(shù)：

對于一個無股息股票歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)，其

為：第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖不付紅利的歐式看漲期權(quán)

值證明第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值當(dāng)利率上漲時，看漲期權(quán)的價格將隨利率

上漲

。由此可以發(fā)現(xiàn)，

可以當(dāng)作替換標(biāo)的資產(chǎn)與對應(yīng)期權(quán)的分析指標(biāo)，當(dāng)利率上升，可以選擇期權(quán)頭寸，剩余選擇存入銀行獲取利息。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖s=np.linspace(10,100,91)x=50r=0.05t=np.linspace(1,12,24)newtime=np.zeros((len(s),len(t)))foriinrange(0,len(s)):newtime[i]=t/12newtime=newtime.Tnewprice=np.zeros((len(t),len(s)))foriinrange(0,len(t)):newprice[i]=spad=np.ones((len(t),len(s)))Rho=blsrho(newprice,50*pad,0.05*pad,newtime,0.2*pad)#續(xù)左plt.figure()ax3=plt.axes(projection='3d')X,Y=np.meshgrid(s,t)Z=Rhoax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='rainbow')plt.xlabel('股票價格')plt.ylabel('時間')plt.title('看漲期權(quán)Rho股票價格時間變化規(guī)律')plt.show()1.一階希臘字母對沖

值【例14-7】對于一個不付紅利的歐式看漲期權(quán)，其對應(yīng)股票價格為100美元，期權(quán)到期執(zhí)行價格為101美元，當(dāng)前市場無風(fēng)險利率為4%，持有期限為20周（=0.3846年），股票價格波動率為15%。則可得期權(quán)的

為：其表示的經(jīng)濟含義為：當(dāng)利率增加1%時（如由4%增加到5%），期權(quán)價格相應(yīng)增長大約為0.01×19.3074=0.19.3074。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖1.一階希臘字母對沖

值期權(quán)價格變動與標(biāo)的資產(chǎn)市場價格變動的彈性。用公式可以表示為期權(quán)價格對資產(chǎn)市場價格變動的偏導(dǎo)數(shù)：

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖#看漲期權(quán)Lambda股票價格時間變化規(guī)律s=np.linspace(10,100,91)x=50r=0.05t=np.linspace(1,12,24)newtime=np.zeros((len(s),len(t)))foriinrange(0,len(s)):newtime[i]=t/12newtime=newtime.Tnewprice=np.zeros((len(t),len(s)))foriinrange(0,len(t)):newprice[i]=spad=np.ones((len(t),len(s)))#續(xù)左bllambda=blslambda(newprice,50*pad,0.05*pad,newtime,0.2*pad)plt.figure()ax3=plt.axes(projection='3d')X,Y=np.meshgrid(s,t)Z=bllambdaax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='rainbow')plt.xlabel('股票價格')plt.ylabel('時間')plt.title('看漲期權(quán)Lambda股票價格時間變化規(guī)律')plt.show()1.一階希臘字母對沖

值【例14-8】股票當(dāng)前市價為100美元，期權(quán)行使價格為101美元，無風(fēng)險利率為4%，股票波動率為15%，期權(quán)期限為20周。各項參數(shù)為

=100，

=101，

=0.04，

=0.15，

=0.3846，則期權(quán)的

為：這表明當(dāng)股票現(xiàn)貨市場價格增加1%時，股票期權(quán)價格會相應(yīng)增長13.62%。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

二階希臘字母是研究影響一階希臘字母變動的因素，一階希臘字母假設(shè)只有單一變量變動，當(dāng)多個變量同時變動時，一階希臘字母的值就會發(fā)生變化，而二階希臘字母可以判斷一階希臘字母變動的方向和幅度，從而更好的介紹期權(quán)價格的變化。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖靈敏度指標(biāo)公式含義反映Delta對沖隨著波動率變化的有效性或者Vega對沖對于標(biāo)的即期價格變化的有效性。

反映Delta相對于相對于時間流逝的即使變化率

反映靈敏度系數(shù)δ對標(biāo)的物資產(chǎn)價格S的靈敏性

反映Vega相對于時間的變化率反映隱含波動率反映Rho相對于波動性的變化率2.二階希臘字母對沖

值衡量期權(quán)

相對于波動性變化的敏感度，在公式上表示為

對標(biāo)的資產(chǎn)價格的偏導(dǎo)：

用于監(jiān)測保持或者對沖資產(chǎn)組合的敏感度測量，幫助交易員來預(yù)測對沖隨著波動率變化的有效性而變化或者對沖對于標(biāo)的即期價格變化的有效性。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

值又稱

衰減，衡量

相對于時間流逝的變化率，尤其在監(jiān)測超過周末的無風(fēng)險對沖頭寸時極為有效。用公式表示為期權(quán)價值的二階導(dǎo)數(shù)，第一次是對價格，第二次是對時間，同時也可以

作為對于標(biāo)的價格導(dǎo)數(shù)：計算每天的

衰減率，可以用

來除以每年的天數(shù)。要注意的是，當(dāng)距離期權(quán)到期日時間比較長的時候，這樣算會比較精確；如果距離到期日很近，

本身就會變得比較快，并使

衰減的每天估計不準(zhǔn)確。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

值度量了金融衍生產(chǎn)品價格變化對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的非線性靈敏感，也可以理解為

的變動速度。用公式表示為期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階導(dǎo)，或者是

對標(biāo)的資產(chǎn)價格的導(dǎo)數(shù)：線性產(chǎn)品的

為0，因此線性產(chǎn)品不能用于改變交易組合的

。改變

必須采用價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格呈非線性關(guān)系的產(chǎn)品，例如期權(quán)。如果要使交易組合

呈中性，期權(quán)交易頭寸應(yīng)為：

。其中，

為交易組合的

，

為期權(quán)的

。對于一個無股息看漲及看跌期權(quán)，關(guān)系為：

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

值、和之間存在某種關(guān)系，BS公式分析表明，對于一個無股息資產(chǎn)上由看漲、看跌期權(quán)以及其他金融衍生產(chǎn)品所組成的交易組合一定滿足：對于中性交易組合，，因此：該式說明當(dāng)很大并且為正時，交易組合的雖然也很大，但為負(fù)，反之亦然。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

值

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖#看漲期權(quán)Gamma股票價格時間變化規(guī)律s=np.linspace(10,100,91)x=50r=0.05t=np.linspace(1,12,24)newtime=np.zeros((len(s),len(t)))foriinrange(0,len(s)):newtime[i]=t/12newtime=newtime.Tnewprice=np.zeros((len(t),len(s)))foriinrange(0,len(t)):newprice[i]=s#續(xù)左pad=np.ones((len(t),len(s)))gamma=blsgamma(newprice,50*pad,0.05*pad,newtime,0.2*pad)plt.figure()ax3=plt.axes(projection='3d')X,Y=np.meshgrid(s,t)Z=gammaax3.plot_surface(X,Y,Z,cmap='rainbow')plt.xlabel('股票價格')plt.ylabel('時間')plt.title('看漲期權(quán)gamma股票價格時間變化規(guī)律')plt.show()2.二階希臘字母對沖

值【例14-9】股票當(dāng)前市價為100美元；期權(quán)行使價格為101美元；無風(fēng)險利率為4%；股票波動率為15%；期權(quán)期限為20周。即

=100，

=101，

=0.04，

=0.15，

=0.3846。期權(quán)為：說明當(dāng)股票價格變化為時，期權(quán)的變化為0.0427。【例14-10】當(dāng)前交易員B的交易組合為

中性，其

為-4000。某交易所期權(quán)的

與

分別為0.58及2。交易員B為了使得交易組合的

與

均為中性，他可以進行以下操作：(1)買入2000單位期權(quán)（20個期權(quán)合約）保證

中性；(2)賣出1160份標(biāo)的資產(chǎn)以保證

中性。

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

值

測量的是

相對于時間的變化率。

是期權(quán)價值方程的二階導(dǎo)數(shù)，第一次是對波動性，第二次是對時間：

這個指標(biāo)的具體運用通常做法為

，從而減少

每天每一百分比的變化值。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖2.二階希臘字母對沖

值【例14-11】當(dāng)前，交易員B的交易組合為

中性，

為-4000，

為-6000。交易所有兩個期權(quán)，期權(quán)1與期權(quán)2的

，

，

值如表所示。解答：為了保證組合及呈中性，期權(quán)1與期權(quán)2的頭寸表示和，則有：解得=28000和=14667。因此交易員B可以分別在投資組合中加入28000個期權(quán)1及14667個期權(quán)2，使得交易組合及中性。加入這兩種期權(quán)后，交易組合的變?yōu)?8000×0.4+14667×0.5=18534，因此必須賣出18534份標(biāo)的資產(chǎn)才能保持組合為中性。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖DeltaGammaVega組合0-4000-6000期權(quán)10.40.32.0期權(quán)20.50.31.52.二階希臘字母對沖

值衡量

相對于波動性的敏感程度，或者測量波動性變化對

對沖的影響。

用公式表示為期權(quán)價值方程的二階導(dǎo)數(shù)，第一次是對波動性，第二次是對利率：

第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖3.三階希臘字母對沖同理，三階希臘字母就是在二階希臘字母的基礎(chǔ)上，研究對二階希臘字母的影響。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖靈敏度指標(biāo)公式含義判斷是否維持Gamma對沖資產(chǎn)

反映Gamma相對于標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化率

反映Gamma相對于波動率變化的變化率

反映Vomma相對于波動性變化的敏感度3.三階希臘字母對沖

值又稱

衰減，衡量

對時間的變化率，可以用于判斷能否維持

對沖資產(chǎn)，是一個很有效的敏感度指標(biāo)。用公式表示為期權(quán)價值方程的三階導(dǎo)數(shù)，兩次對標(biāo)的資產(chǎn)，一次對時間：

可以幫助交易員預(yù)測對沖對時間的有效性，通常會除以一年的天數(shù)來得到每天的

改變量。當(dāng)離到期日比較遠時這個字母的作用會比較準(zhǔn)確，但是當(dāng)期權(quán)接近到期日時，

本身就變得非?？?，所以對于

的每天估計會不太準(zhǔn)確。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖3.三階希臘字母對沖

值又稱

的

，測量

相對于標(biāo)的價格的變化率。

是價值方程相對于標(biāo)的物即期價格的三階導(dǎo)數(shù)。在監(jiān)管無風(fēng)險對沖或者

對沖一個資產(chǎn)組合時，

是很有用的。

值

衡量期權(quán)的

相對于波動性變化的敏感度。用公式表示為期權(quán)價值對波動性的三階導(dǎo)數(shù)。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖3.三階希臘字母對沖

值

測量的是

相對于波動率變化的變化率。用公式表示為期權(quán)價值的三階導(dǎo)數(shù)，兩次對標(biāo)的資產(chǎn)價格，一次對波動性。

是確保

對沖資產(chǎn)時很好的敏感度指標(biāo)，這是因為

可以幫助交易員預(yù)測對沖有效性隨著波動性變化的變化?？偟膩碚f，投資者可以通過使用希臘字母中性策略來進行風(fēng)險管理?？紤]到通過對沖來消除投資組合的時間損耗意義不大，而無風(fēng)險利率在短期內(nèi)變化又很小，因而在進行中性對沖策略時，較多使用的是Delta、Gamma和Vega中性，較少使用Theta和Rho中性及其他高階希臘字母中性策略。但是其實所謂中性，只能說是在構(gòu)造頭寸之初投資組合的一個或者幾個變量是中性的，但是隨后而來的變化可能會對這種中立性產(chǎn)生不利的影響。我們所能做的也只是使得Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho在某一個時刻上都達到中性狀態(tài)，并且他們針對的只是價格發(fā)生微小變化時的情況，當(dāng)價格發(fā)生劇烈變動的時候這些希臘字母就不適用了，這時候可能就需要采取其他的策略來管理風(fēng)險了?？傊顿Y者要根據(jù)變動著的實際情況選擇最適合的工具進行風(fēng)險管理。第二節(jié)期權(quán)希臘字母對沖三、期權(quán)風(fēng)險對沖恒等

式及其套利實現(xiàn)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式，又稱期權(quán)平價關(guān)系，是指標(biāo)的資產(chǎn)、歐式認(rèn)購和認(rèn)沽期權(quán)（有相同到期日和行權(quán)價）之間存在必然關(guān)系，具體平價公式如下：其中，

、

分別表示到期日為

，行權(quán)價為

的歐式認(rèn)購、認(rèn)沽期權(quán)的價格，

代表無風(fēng)險利率，

表示標(biāo)的的股價。對沖恒等式的成立需要滿足以下條件：1、市場不存在套利機會；2、交易費用為零；3、可以自由買空賣空；4、具有固定的無風(fēng)險利率，且投資者可以按無風(fēng)險利率自由借貸；5、在期權(quán)到期日前，股票沒有支付紅利。第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)平價公式證明：對于一個無股息股票的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的B-S-M定價公式為：且：可得：等式兩邊可以看出兩個投資組合，可見，在標(biāo)的資產(chǎn)相同情況下，對行權(quán)價和到期日均一致的認(rèn)購期權(quán)和認(rèn)沽期權(quán)來說，若兩個投資組合的期末收益一致，則其初始投入也應(yīng)該是一致的。也就是說，在任一時刻的認(rèn)購期權(quán)加上其行權(quán)價折現(xiàn)，應(yīng)該與當(dāng)時標(biāo)的資產(chǎn)價格加上認(rèn)沽期權(quán)價格之和等同。若左右兩式之差不為零，意味著市場上可能存在套利機會。第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)1.背景介紹期權(quán)平價關(guān)系是金融市場理論重要的組成部分，期權(quán)市場定價偏離平價關(guān)系的程度可以衡量期權(quán)市場的定價效率。實踐中，因為期權(quán)定價敏感高效，在高杠桿和高時間成本效應(yīng)下，更聚焦標(biāo)的中短期走勢，因此期權(quán)交易者應(yīng)把主要決策權(quán)重立足中短線研判周期上。目前在交易的場內(nèi)股票期權(quán)標(biāo)的只有50ETF（代碼：510050）。50ETF是上證50指數(shù)的被動式跟蹤基金，采取完全復(fù)制方式，追求完全的收益與風(fēng)險特征，50ETF是上證50指數(shù)的實體形式。本文從歐式期權(quán)平價關(guān)系出發(fā)，介紹平價公式套利原理，并以50ETF為交易對象，介紹期權(quán)平價公式套利實現(xiàn)方案。第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)2.套利的原理套利策略以B-S期權(quán)平價公式為根基：平價公式說明，對于相同標(biāo)的、同一執(zhí)行價和到期日的認(rèn)購、認(rèn)沽期權(quán)與現(xiàn)貨之間存在穩(wěn)定的價格關(guān)系，若期權(quán)價格偏離平價公式，則存在無風(fēng)險套利機會。因此，我們可以構(gòu)建以偏離差值為收益基礎(chǔ)的套利策略。令期權(quán)價差為：（1）當(dāng)

時，即Spread<0時，采用多頭套利模式，賣出認(rèn)購期權(quán)

，買入認(rèn)沽期權(quán)

和現(xiàn)貨，獲得套期收益：（2）當(dāng)

時

，即Spread<0時，采用空頭套利模式，買入認(rèn)購期權(quán)

，賣出認(rèn)沽期權(quán)

和融券賣出現(xiàn)貨，現(xiàn)金無風(fēng)險投資，持有到期并交割還券，獲得套期收益：這種理論不受制于任何期權(quán)定價模型的影響而始終保持成立。并且無需考慮波動率因素，可根據(jù)其來判斷期權(quán)價格是否偏離合理價格，從而發(fā)現(xiàn)套利機會。第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)3.期權(quán)平價公式套利實現(xiàn)策略設(shè)計

（1）選取上證50ETF為期權(quán)標(biāo)的，數(shù)據(jù)選取2019年10月24日-2020年4月30日上證50ETF的日收盤價；采用上海同業(yè)拆借（SHIBOR）隔夜利率衡量無風(fēng)險利率；以上數(shù)據(jù)來至wind。

（2）在模型假設(shè)上，首先假設(shè)期權(quán)市場上該類套利機極易被發(fā)現(xiàn)，換句話說，前一日收盤價出現(xiàn)套利機會，次日一開盤投資者便可以獲得這個套利機會；交易費用上，一張50ETF期權(quán)合約中國結(jié)算公司收取0.3元，經(jīng)手費2元，行權(quán)0.6元，其余費用歸券商所有，券商一般收取7元/張、10元/張到20元/張，本例中假設(shè)每張合約為10元的成本，對應(yīng)單位標(biāo)的一次完整的交易成本為0.001元，初始本金為200000。期權(quán)標(biāo)的上證50交易型開放式指數(shù)證券投資基金上市日期2019年10月24日合約類型認(rèn)購期權(quán)和認(rèn)沽期權(quán)合約單位10000份行權(quán)方式到期日行權(quán)（歐式）策略交易費用10元/張第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)3.期權(quán)平價公式套利實現(xiàn)策略設(shè)計由于在這模型中考慮到交易成本費用，因此，修正理論模型，當(dāng)

，可采用多頭套利模式，賣出認(rèn)購期權(quán)C，買入認(rèn)沽期權(quán)P和現(xiàn)貨，獲得套期收益：

；當(dāng)

，采用空頭套利模式，買入認(rèn)購期權(quán)C，賣出認(rèn)沽期權(quán)P和融券賣出現(xiàn)貨，現(xiàn)金無風(fēng)險投資，持有到期并交割還券，獲得套期收益

：

。第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)3.期權(quán)平價公式套利實現(xiàn)實證結(jié)果我們對2020年7月23日至2020年12月25日的數(shù)據(jù)進行回測，結(jié)果如圖147、148所示。將每日獲得的平均收益率與上證50ETF收益率進行比較，可知在7-10月間平均收益率較大，此時上證50ETF也是振幅比較大的階段，即在波動性大的時候，這個策略更能體現(xiàn)其價值，獲得更高的收益。期權(quán)套利平均的收益基本是優(yōu)于上證50ETF收益的，并且，在上證指數(shù)和上證50ETF收益率下降的時候，這個套利策略能扭轉(zhuǎn)收益下降的局面，獲得正向收益。第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)3.期權(quán)平價公式套利實現(xiàn)實證結(jié)果本策略最終取得累計收益率9.97%，年化收益率達到24%，而最大回撤僅為0.00%；夏普比率為1.61，說明該策略效果相對較好。策略評價期權(quán)平價關(guān)系的成立表示著我國又向成熟的證券市場邁出了一步，股票市場和期權(quán)市場信息傳遞較為通暢，期權(quán)市場已經(jīng)很大程度上發(fā)揮了自己的作用，具有其作為金融衍生品所特有的價格發(fā)現(xiàn)、套利定價、信息揭示和提高資源配置效率等功能，期權(quán)市場的運行具有一定的規(guī)律性。為保障期權(quán)市場的風(fēng)險控制與價格發(fā)現(xiàn)的功能，我國應(yīng)繼續(xù)學(xué)習(xí)成熟證券市場進行交易種類和制度的完善，指導(dǎo)期權(quán)合理定價，陸續(xù)增發(fā)其他期權(quán)以保證市場的連續(xù)性和完整。累計收益率年化收益率最大回撤率夏普比率9.97%24%0.00%1.61第三節(jié)期權(quán)風(fēng)險對沖恒等式及其套利實現(xiàn)3.期權(quán)平價公式套利實現(xiàn)策略程序（part1）importnumpyasnpimportpandasaspdimportscipy.ioasscioimportdatetimefromscipyimportstatsfrommathimportlog,exp,sqrtimportmatplotlib.pyplotaspltplt.rcParams["font.sans-serif"]=["SimHei"]plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False#正常顯示畫圖時出現(xiàn)的中文和負(fù)號defexcel_to_data(path):ws=pd.read_excel(path,sheet_name='Sheet1',header=None,keep_default_na=False)delws[0]data=np.array(ws.iloc[:,:])returndatamark=excel_to_data('PCP.xlsx')#數(shù)據(jù)說明：mark中第一列保存期權(quán)行權(quán)價格，第二類保存到期期限，第三列保存期權(quán)類型（C/P1/0）#數(shù)據(jù)區(qū)間：2015.7.23-2015.12.25上證50ETF期權(quán)（當(dāng)前還上市交易的84個期權(quán)合約品種）的日收盤價，共計105個交易日#無風(fēng)險利率選用一年期的shibor，期權(quán)標(biāo)的為上證50ETF收盤價#數(shù)據(jù)缺失：數(shù)據(jù)中期權(quán)價格為零的，表示數(shù)據(jù)缺失#數(shù)據(jù)來源：wind數(shù)據(jù)庫#模型假設(shè)：1.假設(shè)期權(quán)市場上該類套利機會極易被發(fā)現(xiàn)，換句話說，#前一日收盤價出現(xiàn)套利機會，次日一開盤投資者便可以獲得這個套利機會；#2.一張50ETF期權(quán)合約中國結(jié)算公司收取0.3元，經(jīng)手費2元，行權(quán)0.6元，#其余費用歸券商所有，券商一般收取7元/張、10元/張到20元/張，本例中假設(shè)每張合約為10元的成本，