2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——函數(shù)逼近與數(shù)據(jù)擬合考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將答案填在題后的括號內(nèi)）1.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)w(x)的最佳一致逼近是指找到一個函數(shù)g(x)，使得∫_a^b|f(x)-g(x)|w(x)dx取最小值，其中g(shù)(x)屬于給定的函數(shù)類。這個“最佳一致逼近”指的是()。(A)∫_a^b|f(x)-g(x)|²w(x)dx最小(B)max_x∈[a,b]|f(x)-g(x)|最小(C)min_g∈H∫_a^b|f(x)-g(x)|w(x)dx(D)min_g∈Hmax_x∈[a,b]|f(x)-g(x)|2.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，P_n(x)是以{1,x,x²,...,xⁿ}為基的n次拉格朗日插值多項(xiàng)式，則根據(jù)插值理論，下列說法正確的是()。(A)P_n(x)在[0,1]上必唯一(B)P_n(x)一定滿足插值條件P_n(x_i)=f(x_i)，?i=0,1,...,n(C)當(dāng)n增加時，P_n(x)在[0,1]上的誤差總會減小(D)P_n(x)可以精確表示任何在[0,1]上的連續(xù)函數(shù)f(x)3.給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂)，其中x₀,x₁,x₂互異，若要構(gòu)造一個次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式p(x)=ax²+bx+c，使得它滿足最小二乘擬合準(zhǔn)則，即∑_i=0²[p(x_i)-y_i]²最小，則法方程組中系數(shù)矩陣的行列式等于()。(A)0(B)3(C)x₀²+x₁²+x₂²(D)(x₀-x₁)(x₀-x₂)(x₁-x₂)4.對于給定的n+1個數(shù)據(jù)點(diǎn)(x₀,y₀),(x₁,y₁),...,(x_n,y_n)，其中x_i互異，以下關(guān)于分段線性插值和拉格朗日插值（次數(shù)為n）的說法中，正確的是()。(A)分段線性插值的誤差總小于拉格朗日插值的誤差(B)拉格朗日插值多項(xiàng)式是唯一的，而分段線性插值分段函數(shù)集合不唯一(C)當(dāng)n很大時，拉格朗日插值多項(xiàng)式的舍入誤差可能很大(D)分段線性插值的光滑度通常高于拉格朗日插值5.在使用三次樣條插值時，若節(jié)點(diǎn)為x₀,x₁,...,x_n，為了得到自然邊界條件，即要求S''(x₀)=0且S''(x_n)=0。這種樣條被稱為()。(A)端點(diǎn)三次樣條(B)緊支集三次樣條(C)自然樣條(D)帶有邊界約束的三次樣條二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.若f(x)在[a,b]上具有連續(xù)的n+1階導(dǎo)數(shù)，且P_n(x)是以{1,x,x²,...,xⁿ}為基的n次拉格朗日插值多項(xiàng)式，則插值誤差R(x)=f(x)-P_n(x)可以表示為R(x)=f[x,x₀,...,x_n]*(________)，其中*表示乘積。2.設(shè)H₃(x)是區(qū)間[-1,1]上的切比雪夫多項(xiàng)式T₃(x)=4x³-3x，則H₃(x)在[-1,1]上的零點(diǎn)為________。3.在最小二乘擬合問題中，若選擇以{1,x,x²}為基構(gòu)造擬合多項(xiàng)式，則法方程組的系數(shù)矩陣是一個________階方陣。4.已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(1,1),(2,3),(3,2)，使用最小二乘法擬合直線y=ax+b，得到的a和b的值分別為0.4和1.0。則該直線擬合的均方誤差平方和S_yy（即∑(y_i-?_i)²）為________。5.對于自然三次樣條S(x)，若在節(jié)點(diǎn)x_i處的二階導(dǎo)數(shù)S''(x_i)已知，則根據(jù)三次樣條的性質(zhì)，可以證明h_ih_i+1S''(x_i)+2(h_i+h_i+1)S''(x_i+1)+h_i+1S''(x<sub{i+1</sub>})=________，其中h_i=x_i+1-x_i。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）1.已知函數(shù)f(x)=e^x在[0,1]上的節(jié)點(diǎn)為x₀=0,x₁=0.5,x₂=1。構(gòu)造以{1,x,x²}為基的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式P₂(x)，并計(jì)算f(0.25)的近似值（要求寫出P₂(x)的表達(dá)式和計(jì)算過程）。2.給定數(shù)據(jù)如下：x:1234y:2468（1）求通過點(diǎn)(1,2),(3,6)的線性插值多項(xiàng)式L₁(x)。（2）求通過所有四個點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)S₁(x)的表達(dá)式（分段寫出）。3.設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為(0,1),(1,3),(2,2)。試用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的一次多項(xiàng)式y(tǒng)=ax+b。四、證明題（每小題10分，共20分）1.證明：在區(qū)間[a,b]上，次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P_n(x)中，以權(quán)函數(shù)w(x)≥0且在[a,b]上不恒為零的情況下，使得∫_a^b|P_n(x)-f(x)|²w(x)dx最小的P_n(x)是唯一的。2.證明：若函數(shù)S(x)是區(qū)間[a,b]上的自然三次樣條插值函數(shù)，且節(jié)點(diǎn)x₀,x₁,...,x_n滿足a=x₀<x₁<...<x_n=b，則S(x)在(a,b)內(nèi)至少有n-1個二階零點(diǎn)。---試卷答案一、選擇題1.(D)2.(B)3.(A)4.(C)5.(C)二、填空題1.Π(x-x<sub>0</sub})(x-x₁)...(x-x_n)2.-1/√3,0,1/√33.34.0.25.0三、計(jì)算題1.P₂(x)=e¹*[(x-0.5)(x-1)]/[(0-0.5)(0-1)]+e^0.5*[(x-0)(x-1)]/[(0.5-0)(0.5-1)]+e¹*[(x-0)(x-0.5)]/[(1-0)(1-0.5)]P₂(x)=-2e*(x-0.5)(x-1)+2√e*x(x-1)+2e*x(x-0.5)P₂(0.25)≈1.2842.(1)L₁(x)=(x-3)/(3-1)*2+(x-1)/(1-3)*4=-x+4(2)S₁(x)=2,x∈[1,2);S₁(x)=(x-2)/1*6+(8-6)/(4-3)*(x-2)=2x,x∈[2,3);S₁(x)=(x-3)/1*8+(6-8)/(3-4)*(x-3)=-2x+10,x∈[3,4]3.法方程組為：n*∑y=∑ax+∑bx∑xy=∑ax²+∑bx代入數(shù)據(jù)：3*6=6a+6b6=5a+3b解得：a=1,b=1擬合一次多項(xiàng)式為y=x+1四、證明題1.令Q(x)=P_n(x)-P_n^opt(x)，其中P_n^opt(x)是使積分最小的多項(xiàng)式。則∫_a^b[Q(x)]²w(x)dx=∫_a^b[P_n(x)-P_n^opt(x)]²w(x)dx≥0。展開后∫_a^bP_n(x)²w(x)dx是常數(shù)，∫_a^bP_n^opt(x)²w(x)dx是該積分的最小值，∫_a^b2P_n(x)P_n^opt(x)w(x)dx=0。因此∫_a^b[Q(x)]²w(x)dx=0，由于w(x)≥0且不恒為0，故Q(x)=0恒成立，即P_n(x)=P_n^opt(x)，唯一性得證。2.設(shè)f(x)=S''(x)。根據(jù)自然樣條條件，f(x₀)=S''(x₀)=0,f(x_n)=S''(x_n)=0。由積分方程h_if(x_i)+2(h_i+h_i+1)f(x_i+1)+h_i+1f(x_i+1)=0得到關(guān)于f(x₁),...,f(x_n-1)的線性方程組：[2(h₁+h₂)]f(x₁)+h₂f(x₂)=-h₁f(x₀)=0h₁f(x₁)+[2(h₂+h₃)]f(x₂)+h₃f(x₃)=0...h_i-1f(x_i-1)+[2(h_i+h_i+1)]f(x_i)+h_i+1f(x_i+1)=0...h_n-2f(x_n-2)+