2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——函數(shù)分析與傅里葉變換考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)A,B,C是集合，下列命題中正確的是（）。(A)若A∩B?C，則A?C∪B(B)若A?B，則A×C?B×C(C)若A-B≠?，則A∩B≠?(D)若A×B=B×A，則A=B2.平面點集E={(x,y)∈R2|x2+y2≤1}與F={(x,y)∈R2|x2+y2<1}的關(guān)系是（）。(A)E?F(B)F?E(C)E=F(D)E包含F(xiàn)但F不包含E3.點列{p?}=(x?,y?)收斂于p?=(x?,y?)的充分必要條件是（）。(A)x?→x?且y?→y?(n→∞)(B)|p?-p?|→0(n→∞)(C)x?2+y?2→x?2+y?2(n→∞)(D)存在兩個子列{p??}和{p??}均收斂于p?4.函數(shù)f(x)在點x?連續(xù)是f(x)在x?處有極限的（）。(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件5.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上（）。(A)必有最大值和最小值(B)必有最大值但未必有最小值(C)未必有最大值但必有最小值(D)未必有最大值也未必有最小值二、填空題（每題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）6.若點集A包含于B，記作_________。7.函數(shù)f(x)={x2,x<0;x,x≥0}在x=0處的左右極限分別是_________和_________。8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間I上_________（填“一定”或“一定不”）連續(xù)。9.級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)??1/(n+1)的收斂性是_________（填“絕對收斂”、“條件收斂”或“發(fā)散”）。10.函數(shù)f(x)=sin(x)在[0,2π]上按周期為2π展開的傅里葉級數(shù)中，a?系數(shù)等于_________。三、解答題（請寫出詳細(xì)的解答過程）11.（6分）證明：閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)必然有界。12.（8分）設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對任意x?,x?∈[a,b]，有|f(x?)-f(x?)|≤L|x?-x?|（L為常數(shù)）。證明：f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。13.（10分）討論級數(shù)∑(n=1to∞)(n+1)/(n2+1)的收斂性。14.（10分）將函數(shù)f(x)=x[-π,π]上的定義的周期為2π的函數(shù)f(x)展開為傅里葉級數(shù)，其中f(x)=x，-π≤x<π。寫出其傅里葉系數(shù)a?和b?的表達式（無需計算具體值）。15.（10分）計算傅里葉變換對F{f}(ω)=∫(-∞to∞)f(t)e^{-iωt}dt，其中f(t)=u(t)（單位階躍函數(shù)，u(t)=1,t≥0;u(t)=-1,t<0），的結(jié)果（即求f(t)的傅里葉變換F{f}(ω)）。16.（10分）設(shè)函數(shù)f(x)在(-l,l)上滿足f(x)=x2，-l<x<l。求f(x)的傅里葉級數(shù)展開式（只需寫出系數(shù)表達式）。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.A4.A5.A二、填空題6.A?B7.0,08.一定9.條件收斂10.0三、解答題11.解析思路：利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理）。因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，根據(jù)有界性定理，f(x)在[a,b]上有界，即存在常數(shù)M>0，使得對任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。因此，f(x)在[a,b]上有界。12.解析思路：利用一致連續(xù)性的定義。根據(jù)題意，f(x)滿足對任意x?,x?∈[a,b]，有|f(x?)-f(x?)|≤L|x?-x?|。取任意ε>0，令δ=ε/L（L≠0），則當(dāng)|x?-x?|<δ時，有|f(x?)-f(x?)|≤L|x?-x?|<L(ε/L)=ε。根據(jù)一致連續(xù)性定義，f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。13.解析思路：利用比較判別法?？紤]級數(shù)通項的極限形式lim(n→∞)(n+1)/(n2+1)=lim(n→∞)(1/n+1/n2)=0。由于極限為0，需進一步判斷絕對收斂性。將通項與p-級數(shù)進行比較，(n+1)/(n2+1)≈1/n2當(dāng)n很大時。因為∑(n=1to∞)1/n2是p=2>1的p-級數(shù)，收斂。根據(jù)比較判別法（或極限比較判別法），級數(shù)∑(n=1to∞)(n+1)/(n2+1)絕對收斂，因此收斂。14.解析思路：利用傅里葉級數(shù)定義。周期為2π的函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)計算公式為：a?=(1/π)∫(-πtoπ)f(x)cos(nx)dx(n=0,1,2,...)b?=(1/π)∫(-πtoπ)f(x)sin(nx)dx(n=1,2,3,...)對于f(x)=x，計算a?：a?=(1/π)∫(-πtoπ)xdx=0（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分）a?=(1/π)∫(-πtoπ)xcos(nx)dx=0（xcos(nx)是奇函數(shù)）b?=(1/π)∫(-πtoπ)xsin(nx)dx利用分部積分法，令u=x,dv=sin(nx)dx，則du=dx,v=-(1/n)cos(nx)。b?=(1/π)[-x/(n)cos(nx)|(-πtoπ)+(1/n)∫(-πtoπ)cos(nx)dx]=(1/π)[-π/(n)cos(nπ)+π/(n)cos(-nπ)+(1/n)*0]=(1/π)[-π/(n)(-1)?+π/(n)(-1)?]=(2π/(nπ))(-1)??1=2(-1)??1/n因此，a?=0(n≥0),b?=2(-1)??1/n(n≥1)。15.解析思路：利用傅里葉變換定義和單位階躍函數(shù)的性質(zhì)。f(t)=u(t)是非奇非偶函數(shù)。其傅里葉變換F{f}(ω)為：F{f}(ω)=∫(-∞to∞)u(t)e^{-iωt}dt=∫(0to∞)e^{-iωt}dt=[-(1/iω)e^{-iωt}](0to∞)=lim(τ→∞)[-(1/iω)e^{-iωτ}+(1/iω)e^0]=-(1/iω)*0+(1/iω)=1/(iω)=(1/ω)*(-i)=-i/(ω)（這里假設(shè)極限存在，通常通過收斂因子處理或直接使用定義結(jié)果）16.解析思路：利用傅里葉級數(shù)定義。f(x)=x2在(-l,l)上的傅里葉系數(shù)計算公式為：a?=(2/l)∫(0tol)f(x)cos(nπx/l)dx=(2/l)∫(0tol)x2cos(nπx/l)dx(n=0,1,2,...)a?=(2/l)∫(0tol)x2dx=(2/l)[x3/3|(0tol)]=2l2/3a?=(2/l)∫(0tol)x2cos(nπx/l)dx(n≥1)b?=(2/l)∫(0tol)f(x)sin(nπx/l)dx=(2/l)∫(0tol)x2sin(nπx/l)dx(n=1,2,3,...)由于f(x)=x2是偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只含余弦項（a?），即b?=0(n≥1)。計算a?(n≥1)通常需要分部積分多次。令u=x2,dv=cos(nπx/l)dx，則du=2xdx,v=(l/(nπ))sin(nπx/l)。a?=(2/l)[(x2/(nπ))sin(nπx/l)|(0tol)-(2/l)∫(0tol)xsin(nπx/l)dx]=0-(4/l2)∫(0tol)xsin(nπx/l)dx對∫(0tol)xsin(nπx/l)dx再次使用分部積分，令u=x,dv=sin(nπx/l)dx，則du=dx,v=-(l/(nπ))cos(nπx/l)?！?0tol)xsin(nπx/l)dx=[-(x/(nπ))cos(nπx/l)|(0tol)+(1/(nπ))∫(0tol)cos(nπx/l)dx]=[-(l/(nπ))cos(nπ)+0]+(l/(n2π2))[sin(nπx/l)