2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫——彈簧振子的振動周期和頻率考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡諧振動是描述許多物理系統(tǒng)運動的重要模型。請根據(jù)你對彈簧振子的理解，回答以下問題：1.定義簡諧振動。2.寫出彈簧振子的振動周期、頻率和角頻率的定義式，并說明它們之間的關(guān)系。3.一個質(zhì)量為m的物體連接在勁度系數(shù)為k的彈簧下端，在光滑水平面上做簡諧振動。試說明增加物體的質(zhì)量，其振動周期將如何變化？請簡述理由。二、彈簧振子的周期公式是解決相關(guān)問題的核心。請完成以下計算：1.一個質(zhì)量為0.5kg的物體掛在勁度系數(shù)為200N/m的彈簧下端，靜止時彈簧伸長10cm。求該系統(tǒng)做簡諧振動時的周期和頻率。（取\(\pi^2\approx9.87\)）2.已知一個彈簧振子的周期為2.0s，振子質(zhì)量為0.4kg。求使其振動周期減為1.0s，應(yīng)如何改變彈簧的勁度系數(shù)？三、考慮更復(fù)雜的彈簧系統(tǒng)。兩個完全相同的輕彈簧，勁度系數(shù)均為k，連接一個質(zhì)量為m的物體。1.若將兩個彈簧串聯(lián)起來，連接該物體，使其在水平面上做簡諧振動（忽略摩擦和彈簧質(zhì)量），求系統(tǒng)的振動周期。2.若將兩個彈簧并聯(lián)起來，連接該物體，使其在豎直方向上做簡諧振動（彈簧處于原長時物體位于平衡位置），求系統(tǒng)的振動周期。四、實際應(yīng)用中，常常需要將彈簧振子模型進行適當(dāng)修正或組合。請分析：1.一根輕彈簧下端懸掛一個質(zhì)量為m的物體，平衡時彈簧伸長量為\(\Deltax_0\)。現(xiàn)用手將物體向下拉離平衡位置一個微小距離后釋放，求其振動周期。（彈簧仍處于彈性限度內(nèi)）2.一個質(zhì)量為m的物體，分別連接在勁度系數(shù)為k1和k2的兩個輕彈簧上（彈簧可以串聯(lián)或并聯(lián)），請分別說明串聯(lián)和并聯(lián)情況下，系統(tǒng)的等效勁度系數(shù)k_eff是如何計算的，并寫出公式。五、比較與拓展。單擺是另一種典型的簡諧振動模型。1.寫出在重力場中，質(zhì)量為m、擺長為L的單擺做小角度擺動時的周期公式。2.比較彈簧振子和單擺的周期公式，說明它們振動周期的決定因素有何異同。試卷答案一、1.物體在平衡位置附近，所受合外力大小與位移大小成正比，方向與位移方向相反，且總是指向平衡位置的回復(fù)力，其運動可描述為簡諧振動。2.周期\(T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}\)頻率\(f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\)角頻率\(\omega=2\pif=\frac{2\pi}{T}\)關(guān)系：\(T=\frac{1}{f}\)或\(\omega=2\pif\)3.增加物體的質(zhì)量，其振動周期將變長。理由：根據(jù)周期公式\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)，周期T與質(zhì)量m的平方根成正比，質(zhì)量m增大，周期T增大。二、1.物體靜止時，彈簧的彈力等于重力：\(kx_0=mg\)。得\(x_0=\frac{mg}{k}=\frac{0.5\times9.8}{200}=0.0245\)m=2.45cm。此為平衡位置，彈簧的形變可視為微小。系統(tǒng)做簡諧振動，其恢復(fù)力由合外力提供，近似為彈簧的彈力，符合\(F=-kx\)形式。周期\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0.5}{200}}=2\pi\sqrt{\frac{1}{400}}=\frac{\pi}{10}\)s。頻率\(f=\frac{1}{T}=\frac{10}{\pi}\)Hz。2.原周期\(T_1=2.0\)s，對應(yīng)質(zhì)量\(m\)和勁度系數(shù)\(k\)。新周期\(T_2=1.0\)s。根據(jù)公式\(T\propto\sqrt{\frac{m}{k}}\)，有\(zhòng)(\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{m}{k_2}}/\sqrt{\frac{m}{k_1}}=\sqrt{\frac{k_1}{k_2}}\)。即\(\frac{1.0}{2.0}=\sqrt{\frac{k_1}{k_2}}\)，得\(\frac{k_1}{k_2}=\left(\frac{1.0}{2.0}\right)^2=\frac{1}{4}\)。所以\(k_2=4k_1=4\times200=800\)N/m。為使振動周期減為1.0s，應(yīng)將彈簧的勁度系數(shù)增大到原來的4倍，即變?yōu)?00N/m。三、1.串聯(lián)時，彈簧總伸長量等于各彈簧伸長量之和。設(shè)系統(tǒng)總伸長量為x，物體受合力為\(F=-k_1x_1=-k_2x_2=-k(x-x_1)=-k(x-x_2)\)。由于\(x_1+x_2=x\)，代入得\(-k_1x_1=-k(x-x_1)\)和\(-k_2x_2=-k(x-x_2)\)。解得\(x_1=\frac{k}{k_1+k}x\)，\(x_2=\frac{k}{k_1+k}x\)。系統(tǒng)可視為一個等效彈簧，其勁度系數(shù)\(k_{\text{eff}}\)滿足\(\frac{F}{x}=-k_{\text{eff}}\)。而\(F=-k(x-x_1)=-k\left(x-\frac{k}{k_1+k}x\right)=-k\frac{k}{k_1+k}x=-\frac{k^2}{k_1+k}x\)。所以\(k_{\text{eff}}=\frac{k^2}{k_1+k}\)。代入\(k_1=k,k_2=k\)，得\(k_{\text{eff}}=\frac{k^2}{k+k}=\frac{k}{2}\)。周期\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{eff}}}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k/2}}=2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}\)。2.并聯(lián)時，各彈簧承受的彈力相同。設(shè)共同彈力為F，物體受合力為\(F=F_1=F_2=-k_1x=-k_2x\)。由于\(F=k_{\text{eff}}x\)，所以\(k_{\text{eff}}x=k_1x=k_2x\)。得\(k_{\text{eff}}=k_1+k_2\)。計算公式：串聯(lián)等效勁度系數(shù)\(k_{\text{eff}}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\)；并聯(lián)等效勁度系數(shù)\(k_{\text{eff}}=k_1+k_2\)。四、1.物體處于平衡位置時，彈簧的彈力等于重力：\(mg=k\Deltax_0\)。得\(k=\frac{mg}{\Deltax_0}\)。將物體向下拉離平衡位置一個微小距離后釋放，設(shè)位移為x（向下為正），則物體受合力為\(F=mg-k(x+\Deltax_0)=mg-k\Deltax_0-kx=-kx\)。因為\(mg=k\Deltax_0\)，所以\(F=-kx\)。此系統(tǒng)近似做簡諧振動，恢復(fù)力提供向下的合力。周期\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/\Deltax_0}}=2\pi\sqrt{\frac{\Deltax_0}{g}}\)。即系統(tǒng)的振動周期為\(2\pi\sqrt{\frac{\Deltax_0}{g}}\)。2.串聯(lián)等效勁度系數(shù)\(k_{\text{eff}}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\)計算思路：將兩個串聯(lián)彈簧視為一個整體，其總伸長量等于各部分伸長量之和。根據(jù)胡克定律和平衡條件推導(dǎo)出整體勁度系數(shù)與各部分勁度系數(shù)的關(guān)系。并聯(lián)等效勁度系數(shù)\(k_{\text{eff}}=k_1+k_2\)計算思路：將兩個并聯(lián)彈簧視為一個整體，其總彈力等于各部分彈力之和。根據(jù)胡克定律和平衡條件推導(dǎo)出整體勁度系數(shù)與各部分勁度系數(shù)的關(guān)系。五、1.單擺在小角度擺動（θ<<1rad）時，回復(fù)力近似為\(F\approx-mg\sin\theta\approx-mg\theta\)。角位移\(\theta\)與擺角弧度近似相等，設(shè)擺長為L，則\(\theta=\frac{x}{L}\)，位移\(x\approxL\theta\)?；貜?fù)力\(F\approx-mg\frac{x}{L}\)。根據(jù)牛頓第二定律\(F=ma=m(L\alpha)\)，其中\(zhòng)(\alpha\)為角加速度。得\(mL\alpha=-mg\frac{x}{L}\)，即\(\alpha=-\frac{g}{L}\frac{x}{L}=-\frac{g}{L^2}x\)。得\(\alpha=-\frac{g}{L}\theta\)，此為角加速度與角位移成正比且方向相反的表達(dá)式，符合簡諧振動的角加速度公式\(\alpha=-\omega^2\theta\)。所以\(\omega^2=\frac{g}{L}\)，角頻率\(\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}\)。周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)。2.相同點：兩者周期公式均包含\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)或等效形式\(\sqrt{\frac{\te