第四章4第4課時(shí)黃金分割一、選擇題1．已知點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC，BC，且AC＞BC，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割C．如果線段AB被點(diǎn)C黃金分割，那么BC與AB的比叫做黃金比D．0.618是黃金比的近似值2．若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，則下列說法正確的有()①AB＝eq\f(\r(5)＋1,2)AC；②AC＝eq\f(3－\r(5),2)AB；③AB∶AC＝AC∶BC；④AC≈0.618AB.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題3．相鄰兩邊長的比值是黃金比的矩形，叫做黃金矩形，從外形上看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長邊的長等于10厘米，那么與它相鄰的邊的長等于________厘米．(結(jié)果保留根號(hào))4．已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AP＞BP)，若AB＝2，則AP－BP＝________．三、解答題5．如圖1，已知點(diǎn)C和點(diǎn)D均為線段AB的黃金分割點(diǎn)，CD＝6cm，求AB的長．圖16．在人體軀干上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即腳底到肚臍的長度與身高的比值越接近0.618越給人以美感．小華媽媽的腳底到肚臍的長度與身高的比值為0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)選擇穿多高的高跟鞋看起來才會(huì)更美？(結(jié)果精確到0.1cm)探索存在題如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.(1)求∠B的度數(shù)．(2)我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形，它的腰長與底邊長的比(或者底邊長與腰長的比)等于黃金比eq\f(\r(5)－1,2).①寫出圖中所有的黃金三角形，并選一個(gè)說明理由．②求AD的長．③在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P(不與點(diǎn)A，B重合)，使△PDC是黃金三角形？若存在，請(qǐng)畫出點(diǎn)P，并簡要說明畫出點(diǎn)P的方法(不要求證明)；若不存在，請(qǐng)說明理由.圖2

詳解詳析[課堂達(dá)標(biāo)]1．[解析]C根據(jù)黃金分割的定義可知A，B，D正確；如果線段AB被點(diǎn)C黃金分割(AC＞BC)，那么AC與AB的比叫做黃金比，所以C錯(cuò)誤．故選C.2．[解析]Ceq\f(AB,AC)＝eq\f(2,\r(5)－1)＝eq\f(2（\r(5)＋1）,4)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，∴AB＝eq\f(\r(5)＋1,2)AC，①正確；AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB，②錯(cuò)誤；AB∶AC＝AC∶BC，③正確；AC＝eq\f(\r(5)－1,2)AB≈0.618AB，④正確．3．[答案](5eq\r(5)－5)[解析]設(shè)與它相鄰的邊的長為x厘米，由題意，得eq\f(x,10)＝eq\f(\r(5)－1,2)，解得x＝5eq\r(5)－5.故答案為(5eq\r(5)－5)．4．[答案]2eq\r(5)－4[解析]∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>BP，∴AP＝eq\f(\r(5)－1,2)AB＝eq\r(5)－1，則BP＝2－AP＝3－eq\r(5)，∴AP－BP＝(eq\r(5)－1)－(3－eq\r(5))＝2eq\r(5)－4.故答案為2eq\r(5)－4.5．解：∵點(diǎn)C和點(diǎn)D均為線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(BC,AB)，∴AD＝BC，∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.設(shè)AC＝BD＝xcm，則AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm.∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(x＋6,2x＋6)＝eq\f(\r(5)－1,2)，解得x＝3eq\r(5)＋3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3eq\r(5)＋3是上述方程的解．∴AB＝(6eq\r(5)＋12)cm.6．解：設(shè)小華媽媽的腳底到肚臍的距離為xm，由題意，得eq\f(x,1.60)＝0.60，解得x＝0.96.設(shè)她穿上ym的高跟鞋看起來才會(huì)更美，則eq\f(y＋0.96,1.60＋y)＝0.618，解得y≈0.075.經(jīng)檢驗(yàn)，y≈0.075是原方程的解．0．075m＝7.5cm.所以她應(yīng)選擇穿約7.5cm高的高跟鞋看起來才會(huì)更美．[素養(yǎng)提升]解：(1)∵DB＝DC＝AC，∴∠B＝∠DCB，∠CDA＝∠A.設(shè)∠B＝x，則∠DCB＝x，∠CDA＝∠A＝2x.∵∠ACE＝108°，∴∠B＋∠A＝108°，即x＋2x＝108°，∴x＝36°，∴∠B＝36°.(2)①有三個(gè)：△BDC，△ADC，△BAC.理由：(選△BDC)∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△BDC是黃金三角形；(選△ADC)∵CD＝CA，∠ACD＝180°－∠CDA－∠A＝36°，∴△ADC是黃金三角形；(選△BAC)∵∠ACE＝108°，∴∠ACB＝72°.又∠A＝2x＝72°，∴∠A＝∠ACB，∠B＝36°，∴BA＝BC，∴△BAC是黃金三角形．②∵△BAC是黃金三角形，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2).∵BC＝2，∴AC＝eq\r(5)－1.∵BA＝BC＝2，DB＝AC＝eq\r(5)－1，∴AD＝BA－DB＝2－(eq