1/12019-2021北京重點(diǎn)區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編古典概型一、單選題1．（2019·北京東城·高一期末）先后拋擲枚均勻的硬幣，至少出現(xiàn)一次反面的概率是A． B． C． D．2．（2019·北京東城·高一期末）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．3．（2021·北京朝陽·高一期末）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球，2個綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，則兩個球顏色相同的概率是（）A． B． C． D．a(chǎn)二、填空題4．（2019·北京西城·高一期末）從分別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為_____．三、解答題5．（2021·北京東城·高一期末）為開學(xué)生視野，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，某高校數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生會創(chuàng)辦了微信公眾號《數(shù)學(xué)樂園》，設(shè)定了“數(shù)學(xué)史料”“趣題妙解”等欄目，定期發(fā)布文章．為了擴(kuò)大微信公眾號的影響力，后臺統(tǒng)計了反映讀者閱讀情況的一些數(shù)據(jù)，其中閱讀跳轉(zhuǎn)率f(x)記錄了在閱讀某文章的所有讀者中，閱讀至該篇文章總量的x%時退出該頁面的讀者占閱讀此文章所有讀者的百分比．例如：閱讀跳轉(zhuǎn)率f（20）＝5%表示閱讀某篇文章的所有讀者中，閱讀量至該篇文章總量的20%時退出該頁面的讀者占閱讀此篇文章的所有讀者的5%．現(xiàn)從“數(shù)學(xué)史料”“趣題妙解”專欄中各隨機(jī)選取一篇文章．分別記為篇目A，B，其閱讀跳轉(zhuǎn)率的折線圖如圖所示．用頻率來估計概率．（1）隨機(jī)選取一名篇目A的讀者，估計他退出頁面時閱讀量大于文章總量的80%的概率；（2）現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，在閱讀量沒有達(dá)到30%的篇目B的讀者中抽取6人，任選其中2人進(jìn)行訪談，求這兩人退出頁面時閱讀量都為文章總量的10%的概率；（3）請依據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，比較篇目A和篇目B的閱讀情況，寫出一個結(jié)論，并選擇其中一個欄目提出你的優(yōu)化建議．7．（2020·北京西城·高一期末）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．為了解高一新生對數(shù)學(xué)選修課程的看法，采用分層抽樣的方法從高一新生中抽取5人進(jìn)行訪談．（Ⅰ）這5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）從這5人中隨即抽取2人完成訪談問卷，求2人中恰有1名女生的概率．8．（2019·北京西城·高一期末）為緩解交通運(yùn)行壓力，某市公交系統(tǒng)實(shí)施疏堵工程．現(xiàn)調(diào)取某路公交車早高峰時段全程運(yùn)輸時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，從疏堵工程完成前的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個數(shù)據(jù)，記為組；從疏堵工程完成后的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取5個數(shù)據(jù)，記為組．組：組：（Ⅰ）該路公交車全程運(yùn)輸時間不超過分鐘，稱為“正點(diǎn)運(yùn)行”．從，兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個數(shù)據(jù)，求這兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的兩次運(yùn)行中至少有一次“正點(diǎn)運(yùn)行”的概率；（Ⅱ）試比較，兩組數(shù)據(jù)方差的大?。ú灰笥嬎悖?，并說明其實(shí)際意義．9．（2019·北京朝陽·高一期末）某市從高二年級隨機(jī)選取1000名學(xué)生，統(tǒng)計他們選修物理、化學(xué)、生物、政治、歷史和地理六門課程（前3門為理科課程，后3門為文科課程）的情況，得到如下統(tǒng)計表，其中“√”表示選課，“空白”表示未選．科目方案人數(shù)物理化學(xué)生物政治歷史地理一220√√√二200√√√三180√√√四175√√√五135√√√六90√√√（Ⅰ）在這1000名學(xué)生中，從選修物理的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，求該學(xué)生選修政治的概率；（Ⅱ）在這1000名學(xué)生中，從選擇方案一、二、三的學(xué)生中各選取2名學(xué)生，如果在這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名，求這2名學(xué)生除選修物理以外另外兩門選課中有相同科目的概率；（Ⅲ）利用表中數(shù)據(jù)估計該市選課偏文（即選修至少兩門文科課程）的學(xué)生人數(shù)多還是偏理（即選修至少兩門理科課程）的學(xué)生人數(shù)多，并說明理由.10．（2019·北京海淀·高一期末）高一某班級在學(xué)校數(shù)學(xué)嘉年華活動中推出了一款數(shù)學(xué)游戲，受到大家的一致追捧.游戲規(guī)則如下：游戲參與者連續(xù)拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，記第i次得到的點(diǎn)數(shù)為，若存在正整數(shù)n，使得，則稱為游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字．（I）求游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為1的概率；（Ⅱ）求游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為2的概率，11．（2019·北京海淀·高一期末）某家電專賣店試銷A、B、C三種新型空調(diào)，連續(xù)五周銷售情況如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型數(shù)量/臺128152218B型數(shù)量/臺712101012C型數(shù)量/臺（I）求A型空調(diào)平均每周的銷售數(shù)量；（Ⅱ）為跟蹤調(diào)查空調(diào)的使用情況，從該家電專賣店第二周售出的A、B型空調(diào)銷售記錄中，隨機(jī)抽取一臺，求抽到B型空調(diào)的概率；（III）已知C型空調(diào)連續(xù)五周銷量的平均數(shù)為7，方差為4，且每周銷售數(shù)量互不相同，求C型空調(diào)這五周中的最大銷售數(shù)量．（只需寫出結(jié)論）

參考答案1．D【分析】先求得全是正面的概率，用減去這個概率求得至少出現(xiàn)一次反面的概率.【詳解】基本事件的總數(shù)為，全是正面的的事件數(shù)為，故全是正面的概率為，所以至少出現(xiàn)一次反面的概率為，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查正難則反的思想，屬于基礎(chǔ)題.2．C【詳解】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.3．B【分析】記兩個球顏色相同為事件，先求基本事件的總數(shù)，再計算事件包含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式即可求解.【詳解】從4個球中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，基本事件有種，記兩個球顏色相同為事件，事件包含的基本事件有種，所以兩個球顏色相同的概率是，故選：B.4．【分析】先求出別寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的個數(shù)，然后再求出抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的基本事件的個.數(shù)，運(yùn)用古典概型公式求出概率.【詳解】寫有1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的個數(shù)為，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的基本事件為：，共個，因此抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的計算公式，考查了有放回抽樣，屬于基礎(chǔ)題.5．（1）；（2）；（3）答案見解析．【分析】（1）由拆線圖中閱讀量是90%和100%的頻率相加；（2）求出閱讀量10%和20%的人數(shù)，并編號，用列舉法寫出所有基本事件并得出2人退出時閱讀量都是10%的基本事件，計數(shù)并計算出概率；（3）根據(jù)閱讀量與跳轉(zhuǎn)率的變化進(jìn)行說明．【詳解】（1）閱讀量大于文章總量的80%的概率為；（2）閱讀量沒有達(dá)到30%即為10%和20%的頻率相等，因此抽取的6人各有3人，分別編號10%的編號為，20%的編號為，任取2人的基本事件為：共15個，其中均為10%的有共3個，概率為；（3）由折線圖，閱讀量增大時，跳轉(zhuǎn)率也增大，特別是更需進(jìn)行優(yōu)化．建議：從文中（閱讀量50%）開始需優(yōu)化，因?yàn)樵酵筇D(zhuǎn)率越高，說明質(zhì)量問題較大，需提高特別是結(jié)尾質(zhì)量．6．（I）；（II）；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.【解析】（I）先求解出甲、乙兩組的數(shù)學(xué)平均成績，根據(jù)平均成績相同求解出的值；（II）先確定出的所有可取值，再求解出滿足條件的的取值，根據(jù)滿足條件的取值個數(shù)與總的可取值個數(shù)的比值求解出對應(yīng)概率；（III）根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況直接判斷出甲、乙兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大小.【詳解】（I）因?yàn)?，且，所以，所以；（II）記“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，因?yàn)橐医M平均成績超過甲組平均成績，所以，所以，所以的可取值有：，共個數(shù)，又因?yàn)?，集合中共有個元素，所以；（III）甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差大于乙組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差.（理由如下：因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以?．（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)利用分層抽樣按比例計算出這5人中男生人數(shù)和女生人數(shù)．(Ⅱ)記這5人中的3名男生為B1，B2，B3，2名女生為G1，G2，利用列舉法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【詳解】(Ⅰ)這5人中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為．(Ⅱ)記這5人中的3名男生為B1，B2，B3，2名女生為G1，G2，則樣本空間為：Ω＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(G1，G2)}，樣本空間中，共包含10個樣本點(diǎn)．設(shè)事件A為“抽取的2人中恰有1名女生”，則A＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)}，事件A共包含6個樣本點(diǎn)．從而所以抽取的2人中恰有1名女生的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，考查分層抽樣、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（Ⅰ）；（Ⅱ）組數(shù)據(jù)的方差小于組數(shù)據(jù)的方差．說明疏堵工程完成后，該路公交車全程運(yùn)輸時間更加穩(wěn)定，而且“正點(diǎn)運(yùn)行”率高，運(yùn)行更加有保障．.【分析】（Ⅰ）先求出從，兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個數(shù)據(jù)，不同的取法的種數(shù)，在求出兩個數(shù)據(jù)對應(yīng)的兩次運(yùn)行中至少有一次“正點(diǎn)運(yùn)行”的種數(shù)，最后利用古典概型計算公式，求出概率；（Ⅱ）可以通過數(shù)據(jù)的波動情況判斷出方差的大小，最后得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）解：從，兩組數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個數(shù)據(jù)，所有不同的取法共有種．從組中取到時，組中符合題意的取法為，共種；從組中取到時，組中符合題意的取法為，共種；因此符合題意的取法共有種，所以該路公交車至少有一次“正點(diǎn)運(yùn)行”的概率.（Ⅱ）解：組數(shù)據(jù)的方差小于組數(shù)據(jù)的方差．說明疏堵工程完成后，該路公交車全程運(yùn)輸時間更加穩(wěn)定，而且“正點(diǎn)運(yùn)行”率高，運(yùn)行更加有保障．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的計算方法，考查了用方差解決實(shí)際問題的能力.9．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）該市選課偏理的學(xué)生人數(shù)多【分析】（Ⅰ）根據(jù)古典概型公式求解；（Ⅱ）列出所有的情況，根據(jù)古典概型公式求解；（Ⅲ）根據(jù)樣本頻率估計概率判斷.【詳解】（Ⅰ）設(shè)事件為“在這名學(xué)生中，從選修物理的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，該學(xué)生選修政治”.在這名學(xué)生中，選修物理的學(xué)生人數(shù)為，其中選修政治的學(xué)生人數(shù)為，所以.故在這名學(xué)生中，從選修物理的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，該學(xué)生選修政治的概率為.（Ⅱ）設(shè)這六名學(xué)生分別為A1,A2,B1,B2,C1,C2，其中A1,A2選擇方案一，B1,B2選擇方案二，C1,C2選擇方案三.從這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名，所有可能的選取方式為：A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共有種選取方式.記事件為“這2名學(xué)生除選修物理以外另外兩門選課中有相同科目”.在種選取方式中，這2名學(xué)生除選修物理以外另外兩門選課中有相同科目的選取方式有A1A2，B1B2，C1C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，A1C1，A1C2，A2C1，A2C2，共11種，因此.（Ⅲ）在選取的1000名學(xué)生中，選修至少兩門理科課程的人數(shù)為人，頻率為.選修至少兩門文科課程的人數(shù)為人，頻率為.從上述數(shù)據(jù)估計該市選課偏理的學(xué)生人數(shù)多.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計與概率，屬于綜合題.概率的計算首先要識別是哪種概型，再根據(jù)相關(guān)計算公式求解.10．（I）；（Ⅱ）【分析】（I）先設(shè)“游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為1”為事件A，根據(jù)題意得到，且只拋了1次骰子，進(jìn)而可求出概率；（Ⅱ）設(shè)“游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為2”為事件B，根據(jù)題意得到，且拋擲了2次骰子，由題意得到總的基本事件個數(shù)，以及滿足條件的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】（I）設(shè)“游戲參與者的幸運(yùn)數(shù)字為1”為事件A，由題意知,拋擲了1次骰子，相應(yīng)的基本事件空間為，共有6個基本事件，而，只有1個