2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在傳染病控制中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.下列哪個方程不屬于SIR模型的基本方程？(A)dS/dt=-βSI/N(B)dI/dt=βSI/N-γI(C)dR/dt=γI(D)dR/dt=-δR2.疾病的傳染率β與哪些因素有關(guān)？(A)易感者人數(shù)(B)感染者人數(shù)(C)病毒的傳染性(D)以上都是3.下列哪個指標(biāo)可以用來衡量疾病傳播的猛烈程度？(A)感染者人數(shù)(B)病死率(C)基本再生數(shù)R0(D)治愈率4.當(dāng)R0<1時，傳染病模型表明：(A)傳染病會迅速蔓延(B)傳染病會逐漸消失(C)傳染病會保持穩(wěn)定(D)無法判斷傳染病的趨勢5.下列哪個模型可以用來描述潛伏期？(A)SIR模型(B)SEIR模型(C)SIS模型(D)MSEIR模型二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）6.在SIR模型中，S代表__________，I代表__________，R代表__________。7.SEIR模型中，E代表__________，其含義是__________。8.基本再生數(shù)R0的公式為R0=_________/γ，其中β代表傳染率，γ代表__________。9.當(dāng)傳染病處于____________時，感染者的數(shù)量達(dá)到峰值。10.疫苗接種可以降低傳染病的傳播速度，其原理是減少了____________的數(shù)量。三、計算題（每小題10分，共30分）11.已知一個傳染病服從SIR模型，β=0.3，γ=0.1，初始時刻易感者人數(shù)為800，感染者人數(shù)為200，康復(fù)者人數(shù)為0。求3天后易感者、感染者和康復(fù)者的人數(shù)。12.某個傳染病的SEIR模型參數(shù)為：β=0.4，γ=0.1，α=0.05，δ=0.2。求該病的基本再生數(shù)R0。13.假設(shè)一個地區(qū)的人口總數(shù)為N=1萬人，某個傳染病的R0=2.5。如果該地區(qū)已經(jīng)有1000名感染者，為了將傳染病的傳播控制在可控范圍內(nèi)，該地區(qū)的疫苗接種率至少需要達(dá)到多少？四、證明題（15分）14.證明SIR模型中，當(dāng)R0<1時，感染者的數(shù)量最終會趨向于零。五、應(yīng)用題（20分）15.假設(shè)某城市發(fā)生了一場流感爆發(fā)，初期數(shù)據(jù)顯示該流感服從SEIR模型。已知該流感的基本再生數(shù)R0=1.8，潛伏期平均時間為2天，傳染期平均時間為5天。請簡要分析該流感的傳播特點(diǎn)，并提出相應(yīng)的防控建議。試卷答案一、選擇題1.(D)解析：SIR模型的基本方程包括：dS/dt=-βSI/N，dI/dt=βSI/N-γI，dR/dt=γI。選項(D)dR/dt=-δR不屬于SIR模型的基本方程，δ通常代表康復(fù)者向易感者轉(zhuǎn)變的率，但在標(biāo)準(zhǔn)SIR模型中，康復(fù)者被視為永久免疫，不轉(zhuǎn)回易感者群體。2.(D)解析：傳染率β是描述病毒從感染者傳播給易感者能力的參數(shù)，它與易感者人數(shù)、感染者人數(shù)以及病毒的傳染性都有關(guān)。β=β0*S*I/N，其中β0是病毒固有傳染率，S是易感者人數(shù)，I是感染者人數(shù)，N是總?cè)丝跀?shù)。3.(C)解析：基本再生數(shù)R0是衡量疾病傳播潛力的重要指標(biāo)，它表示在完全易感的人群中，一個感染者平均能傳染多少個新感染者。R0越大，疾病傳播越快，越猛烈。4.(B)解析：當(dāng)R0<1時，意味著每個感染者平均傳染不到一個新感染者，新增感染人數(shù)逐漸減少，最終導(dǎo)致感染人數(shù)趨于零，即傳染病會逐漸消失。5.(B)解析：SEIR模型是在SIR模型的基礎(chǔ)上增加了潛伏期(E)，E代表潛伏期人群，即已經(jīng)感染但尚未發(fā)病的人群。MSEIR模型則進(jìn)一步考慮了母嬰傳播等因素。二、填空題6.易感者，感染者，康復(fù)者解析：SIR模型將人群分為三類：易感者(S)在接觸感染者后可能被感染；感染者(I)能夠傳播疾??；康復(fù)者(R)被感染后康復(fù)并獲得永久免疫力。7.潛伏期人群，已經(jīng)感染病毒但尚未出現(xiàn)癥狀的人群解析：在SEIR模型中，E代表潛伏期人群，這部分人群已經(jīng)感染了病毒，但沒有表現(xiàn)出臨床癥狀，但具有傳染性。8.βN/γ，康復(fù)率（或移除率）解析：基本再生數(shù)R0的公式為R0=βN/γ，其中β是傳染率，N是總?cè)丝跀?shù)，γ是康復(fù)率，即感染者康復(fù)的速度。9.染病高峰（或流行高峰）解析：在傳染病流行過程中，感染者的數(shù)量會隨著時間變化，通常會在達(dá)到某個時間點(diǎn)后出現(xiàn)一個峰值，這個時間點(diǎn)被稱為感染高峰或流行高峰。10.易感者解析：疫苗接種的原理是通過模擬感染過程，使易感者產(chǎn)生免疫力，從而減少易感者的數(shù)量，降低病毒在人群中的傳播速度。三、計算題11.需要建立微分方程組并求解初值問題，具體步驟如下：解析：1.建立SIR模型的微分方程組：dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γIdR/dt=γI2.代入?yún)?shù)β=0.3，γ=0.1，初始條件S(0)=800，I(0)=200，R(0)=0。3.選擇合適的數(shù)值方法（如歐拉法、龍格-庫塔法等）求解微分方程組，計算t=3時的S(3),I(3),R(3)。4.計算結(jié)果（此處省略具體計算過程和數(shù)值解）。12.R0=(β+α)/(γ+δ)解析：1.SEIR模型的微分方程組為：dS/dt=-βSI/N-αSI/NdE/dt=βSI/N+αSI/N-γE-δEdI/dt=γE-δIdR/dt=δI2.基本再生數(shù)R0定義為潛伏期和傳染期人群對易感者的平均傳染數(shù)之和，即R0=(β+α)/(γ+δ)。13.需要計算臨界基本再生數(shù)Rc，然后利用Rc=R0*(1-疫苗接種率)求解。解析：1.計算臨界基本再生數(shù)Rc，即當(dāng)疫苗接種率達(dá)到100%時的基本再生數(shù)。Rc=β*N/(γ+δ)。2.已知R0=2.5，根據(jù)公式Rc=R0*(1-疫苗接種率)，可以求解疫苗接種率：疫苗接種率=1-Rc/R0=1-(β*N/(γ+δ))/R0。3.代入?yún)?shù)β=0.4，γ=0.1，δ=0.2，N=10000，R0=2.5，計算結(jié)果（此處省略具體計算過程和數(shù)值解）。四、證明題14.證明思路：解析：1.首先，求解SIR模型的平衡點(diǎn)。令dS/dt=0,dI/dt=0,dR/dt=0，解得平衡點(diǎn)為(0,0)和(S*,I*,R*)，其中S*=N(1-1/R0)。2.接下來，計算平衡點(diǎn)(0,0)和(S*,I*,R*)的特征值。對于(0,0)點(diǎn)，特征值滿足f(λ)=λ(λ+βγ/N)(λ-γ)=0，至少有一個特征值的實部為正，因此(0,0)點(diǎn)是不穩(wěn)定的。3.對于(S*,I*,R*)點(diǎn)，特征值滿足f(λ)=λ(λ+βγ/N-R0)(λ-γ)=0。當(dāng)R0<1時，βγ/N-R0<0，因此至少有一個特征值的實部為負(fù)。4.由于(S*,I*,R*)點(diǎn)是穩(wěn)定的，且(0,0)點(diǎn)是不穩(wěn)定的，因此當(dāng)R0<1時，感染者的數(shù)量I(t)最終會趨向于零。五、應(yīng)用題15.分析和防控建議：解析：1.分析：*R0=1.8說明該流感具有較強(qiáng)的傳播能力，因為R0>1。*潛伏期T=2天，傳染期T'=5天，意味著從感染到出現(xiàn)癥狀需要2天，從出現(xiàn)癥狀到失去傳染性需要5天。因此，流感在人群中傳播的窗口期較長，更容易造成傳播。*綜合來看，該流感具有較強(qiáng)的傳播能力和較長的傳播窗口期，容易造成大規(guī)模流行。2.防控建議：*加強(qiáng)監(jiān)測和預(yù)警：密切監(jiān)測流感疫情動態(tài)，及時掌握疫情發(fā)展趨勢，做好預(yù)警工作。*加強(qiáng)個人防護(hù)：倡導(dǎo)公眾養(yǎng)