專題07立體幾何

考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢

2025天津卷：三棱錐體積的計(jì)算

2024天津卷：柱體體積的計(jì)算；1.立體幾何在高

考點(diǎn)1幾何體體積

2023天津卷：錐體體積的有關(guān)計(jì)算證明線面垂直；考的考查主要包

（5年5考）

2022天津卷：柱體體積的有關(guān)計(jì)算求組合體的體積；含了，幾何體的

2021天津卷：錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算；體積問題，通常

考點(diǎn)2線面位置關(guān)2025天津卷：線面位置關(guān)系的判斷；運(yùn)用割補(bǔ)法進(jìn)行

系的判定2024天津卷：線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷；求解。

（5年2考）2.立體幾何線面

2024天津卷：證明線面平行面面角的向量求法點(diǎn)到平面距離關(guān)系的判斷，主

的向量求法；要考查了判定定

2023天津卷：證明線面平行求點(diǎn)面距離求二面角；理與性質(zhì)定理的

考點(diǎn)3線面位置關(guān)

2022天津卷：空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法面靈活運(yùn)用

系的證明

面角的向量求法；3.立體幾何解答

（5年4考）

2021天津卷：空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法面題主要考查了，

面角的向量求法；線線，線面與面

面的位置關(guān)系的

2024天津卷：證明線面平行面面角的向量求法點(diǎn)到平面距離證明，線面與面

考點(diǎn)4距離問題

的向量求法；面的夾角以及距

（5年2考）

2023天津卷：證明線面平行求點(diǎn)面距離求二面角；離問題

2025天津卷：求二面角4.立體幾何的外

2023天津卷：證明線面平行求點(diǎn)面距離求二面角；接球通?？疾?/p>

2022天津卷：空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法面了，外接球的表

考點(diǎn)5角度問題

面角的向量求法；面積、體積與外

（5年4考）

2021天津卷：空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法面接球半徑問題.

面角的向量求法；

考點(diǎn)01幾何體體積

1.（2024·天津·高考真題）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知

，，．則該五面體的體??積?為?（???）??∥??∥??

??=1??=2??=3

A．B．C．D．

33313331

2．（62023·天津·高考真題）在4三+棱2錐中，點(diǎn)M,2N分別在棱PC,PB上，且4?2，，

12

則三棱錐和三棱錐的體??積?之?比?為（）??=3????=3??

A．?????B．?????C．D．

1214

3．（92022·天津·高考真題）如9圖，“十字歇山”是由兩3個(gè)直三棱柱重疊后的景象，9重疊后的底面為正方

形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

120°

A．23B．24C．26D．27

4．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，

32?

兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）3

A．1:3B．C．D．

3?4考?點(diǎn)02線面位置9?關(guān)系的判定12?

5．（2025·天津·高考真題）若m為直線，,為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A．若m//,n，則m//nB．若m,m，則

C．若m//,m，則D．若m,，則m

6．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

?,??

A．若，//，則B．若////，則//

C．若?//???，則?⊥?D．若?//?,??，則?與?相交

??,?⊥??⊥?考點(diǎn)03線面位置?的?,證?⊥明???

7．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為

的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中?點(diǎn)??．??1?1?1??1=??=??=2,??1⊥??,??⊥???1?1

??1??

(1)求證：//平面；

(2)求直線??與平面???所成角的正弦值；

(3)求平面??與平?面?1?夾角的余弦值．

8．（2021·?天1?津?·高考?真?題1?）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱

CD的中點(diǎn)．??????1?1?1?1

（I）求證：平面；

（II）求直線?1?/與/平面?1??1所成角的正弦值．

（III）求二面?角?1?1??1的正弦值．

11

??????考點(diǎn)04距離問題

9．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面

，，其中??????1．?1?是1?1的中點(diǎn)?，???是的中?點(diǎn)?/．/???1?⊥

??????⊥????=??1=2,??=??=1??1?1???1

(1)求證平面；

(2)求平面?1?//與平??面1?的夾角余弦值；

(3)求點(diǎn)到??平1面?的?距?1離??．1

10．（202?3·天津·??高1?考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面

，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，?????1?1?1?1?⊥???,??⊥??,??=??=??1=

2,?1?1=1???

(1)求證：//平面；

(2)求平面?1?與平面???1所成夾角的余弦值；

111

???????考點(diǎn)05角度問題

11.（2025·天津·高考真題）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，E、F分別為A1D1,C1B1中點(diǎn)，CG3GC1．

(1)求證：GF平面FBE；

(2)求平面FBE與平面EBG夾角的余弦值；

(3)求三棱錐DFBE的體積．

3

1．（2025·天津河?xùn)|·二模）已知正方體的邊長為a，其外接球體積與內(nèi)切球表面積的比值為，則a的值為

2

（）

A．3B．2C．5D．3

2．（2025·天津和平·二模）已知a，b是空間兩條不同的直線，，，為三個(gè)不同的平面，則下列命題

正確的為（）

A．若∥，a，b，則a∥bB．若aP，a，則

C．若a，Ib，a∥b，則∥D．若，a，則a

3．（2025·天津?yàn)I海新·三模）已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確

的是（）

A．若m//，n，則m//nB．若m//，m//n，則n//

C．若m，n，mn，則D．若，l，ml，則m

4．（2025·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測）如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上

r

盒蓋．可放小球的最大半徑為r．若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長為a，則（）

a

33

A．22B．22C．21D．21

22

5．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為4，側(cè)棱長為2，點(diǎn)E是棱B1C1的中

點(diǎn)，P為上底面A1B1C1D1內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足DP∥平面ACE，DP的軌跡把該正四棱柱截

成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（）

9

A．12πB．9πC．πD．43π

2

6．（2025·天津河北·二模）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種

正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面

角都相等），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二

面體、正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內(nèi)切球的表面積的比為（）

4

A．B．2C．3D．4

3

1

7．（2025·天津·模擬預(yù)測）已知正方體ABCDABCD體積為V，BMMB，CN2NC，則四面體

1111211

AMND1體積為（）

1111

A．VB．VC．VD．V

12869

8．（2025·天津·二模）已知在三棱錐ABCD中，ADBC5,ABCD10，ACBD13，則三棱

錐ABCD的體積為（）

A．1B．2C．3D．4

9．（2025·天津·二模）如圖，在正四棱錐SABCD中，記其體積為V，且SM2MA，2SNNB，SP2PC，

V

過M，N，P的平面將四棱錐切出一個(gè)五棱錐SMNPQR，記其體積為V，則1的值為（）

1V

42345

A．B．C．D．

272799

二、填空題

32π

10．（2022·天津紅橋·二模）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一個(gè)截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，

3

兩個(gè)圓錐的高之比為1:3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為.

11．（2025·天津紅橋·二模）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別

，，

為S甲,S乙體積分別為V甲,V乙，若S甲

:S乙2V甲

:V乙

.

三、解答題

12．（2025·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PD底面

ABCD,PDDC2AD4,E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PB上靠近P的四等分點(diǎn).

(1)求證：PA//平面EDB；

(2)求直線BF與平面EDB所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)F到直線AB的距離.

13．（2025·天津?yàn)I海新·三模）在如圖所示的幾何體中，AE平面ABC，CD//AE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，

ACBC2，ACB90，AE2CD4．

(1)求證：DF//平面ABC；

(2)求平面ACDE與平面EBD所成夾角的余弦值；

(3)求點(diǎn)A到平面EBD的距離．

14．（2025·天津南開·二模）如圖，在幾何體ABCDEFG中，四邊形ADFE為邊長為2的正方形，四邊形ABCD

和四邊形CDFG為矩形，且DC4,M為棱FG上一點(diǎn)．

(1)求證：BMED；

(2)當(dāng)點(diǎn)M為棱FG的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)M到平面BEG的距離；

(3)當(dāng)FM1時(shí)，求平面BEM與平面ABC夾角的余弦值．

15．（2025·天津紅橋·二模）如圖，已知四棱錐PABCD的底面ABCD為矩形，PA平面

ABCD,AB3,AD23，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn).

(1)證明：DE平面PAF

(2)若AP2，

①求平面PED與平面ABCD夾角的余弦值；

②求點(diǎn)A到平面PED的距離；

16．（2025·天津河北·二模）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，AA14，M是

BB1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作與平面ACC1A1平行的直線PN，交A1B1于點(diǎn)P．

(1)證明：C1M平面AMN；

(2