專題03函數(shù)的概念與性質(zhì)考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢考點(diǎn)1函數(shù)及其表示（5年4考）2025年已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量2024年求分段函數(shù)值2023年分段函數(shù)的值域或最值2022年根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍上海高考數(shù)學(xué)試卷結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，函數(shù)的概念與性質(zhì)相關(guān)內(nèi)容在填空題、選擇題和解答題中均有出現(xiàn)。在填空題和選擇題中，通常會有對函數(shù)基本概念，如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等的考查，一般難度適中，主要考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握程度。在解答題中，可能會將函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識相結(jié)合，以綜合題的形式出現(xiàn)，難度相對較大，考查考生的綜合運(yùn)用能力和邏輯思維能力考點(diǎn)2函數(shù)的基本性質(zhì)（5年5考）2025年利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域2024年由奇偶性求參數(shù)2023年由奇偶性求參數(shù)2022年由奇偶性求參數(shù)2021年函數(shù)對稱性的應(yīng)用；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值考點(diǎn)01函數(shù)及其表示1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，是平面內(nèi)三個不同的單位向量．若，則的取值范圍是．【答案】【知識點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式、垂直關(guān)系的向量表示【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.【詳解】若，則，又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量兩兩垂直，顯然不成立；故.不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，，則，則，則，由，，則，故.故答案為：.2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知則．【答案】【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)值【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.【詳解】因?yàn)楣?，故答案為?3．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，則的值域是；【答案】【知識點(diǎn)】求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域、分段函數(shù)的值域或最值【分析】分段討論的范圍即可.【詳解】當(dāng)時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)時,.綜上:的值域?yàn)?故答案為：.4．（2022·上海·高考真題）設(shè)函數(shù)滿足，定義域?yàn)?，值域?yàn)锳，若集合可取得A中所有值，則參數(shù)a的取值范圍為.【答案】，，【知識點(diǎn)】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍【分析】由可得，可判斷當(dāng)時，；當(dāng)時，；從而可得，，時，參數(shù)的最小值為，從而求得．【詳解】令得，或（舍去）；當(dāng)時，，故對任意，都存在，，，故，故，，，而當(dāng)時，，故當(dāng)，，時，參數(shù)的最小值為，故參數(shù)的取值范圍為，，故答案為：，．考點(diǎn)02函數(shù)的基本性質(zhì)5．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，C在上，則的面積（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【知識點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，到的距離為：，設(shè)，由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A6．（2024·上?！じ呖颊骖}）若函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù).【答案】0【知識點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解．【詳解】是奇函數(shù)，則恒成立，所以，解得故答案為：0．7．（2022·上?！じ呖颊骖}）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為．【答案】1【知識點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，而，故即，故答案為：1.8．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，下列是無最大值的充分條件是（

）A．為偶函數(shù)且關(guān)于直線對稱 B．為偶函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)對稱C．為奇函數(shù)且關(guān)于直線對稱 D．為奇函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】D【知識點(diǎn)】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、判斷命題的充分不必要條件【分析】根據(jù)對稱性可判斷函數(shù)的周期，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)對稱性可得，據(jù)此可判斷D的正誤.【詳解】對于A，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，而的圖像關(guān)于直線對稱，故，故，故為周期函數(shù)且周期為2，而在必有最大值，故必有最大值，故A錯誤.對于B，而的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故，故，故，故故為周期函數(shù)且周期為4，而在必有最大值，故必有最大值，故B錯誤.對于C，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，而的圖像關(guān)于直線對稱，故，故，所以故為周期函數(shù)且周期為4，而在必有最大值，故必有最大值，故C錯誤.對于D，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，而的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故，故，設(shè)，則，故無最大值，故選：D9．（2023·上海·高考真題）函數(shù)(1)當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)c，使得為奇函數(shù)；(2)若函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸有兩個不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)不存在(2)且【知識點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍、由奇偶性求參數(shù)【分析】（1）將代入得，先考慮其定義域，再假設(shè)為奇函數(shù)，得到方程無解，從而得以判斷；（2）先半點(diǎn)代入求得，從而得到，再利用二次函數(shù)的根的分布得到關(guān)于的不等式組，解之可得，最后再考慮的情況，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，假設(shè)為奇函數(shù)，則，而，則，此時無實(shí)數(shù)滿足條件，所以不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）圖像經(jīng)過點(diǎn)，則代入得，解得，所以，定義域?yàn)椋?，則的圖像與軸負(fù)半軸有兩個交點(diǎn)，所以，即，解得，若，即是方程的解，則代入可得，解得或.由題意得，所以實(shí)數(shù)的取值范團(tuán)且.10．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、公式法解絕對值不等式【分析】（1）解絕對值不等式即可得答案；（2）利用有兩個不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個根，利用換元法可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）分與兩類情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的取值范圍.【詳解】解：（1），∴，解得；所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題知有2個不同實(shí)數(shù)根，所以，，設(shè)，∴有2個不同實(shí)數(shù)根，∴整理得，有2個不同實(shí)數(shù)根，同時，∴；（3）當(dāng)，，在遞減，此時需滿足，即時，函數(shù)在上遞減；當(dāng)，，在上遞減，∵，∴，即當(dāng)時，函數(shù)在上遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減.所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為，有2個不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而求解，第三問解題的關(guān)鍵在于分類討論求解.一、單選題1．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，則（

）A．28 B．33 C．38 D．43【答案】A【知識點(diǎn)】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性列出等式，然后根據(jù)的值求出的值.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：A.2．（2025·上海松江·二模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)的奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】對于A，是偶函數(shù)，不符合奇函數(shù)要求，故A錯誤；對于B，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，是非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，，其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，是奇函數(shù)，同時在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故D正確.故選：D.3．（2025·上海奉賢·二模）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)新定義【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后逐個選項(xiàng)驗(yàn)證是否成立即可得出結(jié)果.根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)二倍角正弦公式和三角函數(shù)的有界性可判斷選項(xiàng)B；解出方程的根可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)題意令，整理得，分正負(fù)分析，并結(jié)合放縮法可知此方程無解，從而否定D.【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以，而，所以，，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以.令，解得：，，即存在實(shí)數(shù)，使得成立，所以函數(shù)具有性質(zhì)，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以.令，顯然，化簡得：.下面證明方程（*）無解.當(dāng)時，，方程（*）無解當(dāng)時，，而：令，，則，所以單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，即，所?綜上，方程(*)無解.所以不存在實(shí)數(shù)，使得成立，故選項(xiàng)D錯誤.故選：C.4．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對于任意，都有，則稱為＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，對于＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，有以下四個結(jié)論：①＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂一定在上嚴(yán)格增；②＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂一定是＂－嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中，且）③函數(shù)是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中表示不大于的最大整數(shù)）④函數(shù)不是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂（其中表示不大于的最大整數(shù)）其中，正確的結(jié)論個數(shù)有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性的定義與求解、函數(shù)周期性的應(yīng)用、函數(shù)新定義【分析】根據(jù)函數(shù)新定義及特殊函數(shù)判斷①②③，由函數(shù)解析式得，即是周期為1的周期函數(shù)，利用周期性并討論、且判斷④.【詳解】①，對于，定義域?yàn)镽，存在，對于任意，都有，但在上不單調(diào)遞增，錯誤．②，是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，存在，對任意，都有，因?yàn)?，所以，故，即存在?shí)數(shù)，使得對任意，都有，所以是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，正確．③，，定義域?yàn)椋?dāng)時，對任意的，都有，即，所以函數(shù)，＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，正確．④，對于函數(shù)，，所以是周期為1的周期函數(shù)，，若，則，不符合題意．因?yàn)榈闹芷跒?，故不妨設(shè)，設(shè)，則，而，此時，矛盾；所以函數(shù)不是＂嚴(yán)格增函數(shù)＂，正確．故選：C二、填空題5．（2025·上海寶山·二模）已知函數(shù)則=.【答案】【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值【分析】由分段函數(shù)的解析式，代入已知值，可得答案.【詳解】由題意可得.故答案為：.6．（2025·上海·三模）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【知識點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域【分析】根據(jù)被開根數(shù)非負(fù)及分母不為零列不等式組求解.【詳解】，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：7．（2025·上?！つM預(yù)測）設(shè)，已知，若，則的取值范圍為.【答案】【知識點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量、解分段函數(shù)不等式【分析】討論、，結(jié)合函數(shù)解析式求不同區(qū)間上對應(yīng)的參數(shù)范圍，即可得答案.【詳解】若，即時，，可得；若，即時，，可得，不符合前提；綜上，的取值范圍為.故答案為：8．（2025·上海松江·三模）已知函數(shù)，則的值域?yàn)?【答案】【知識點(diǎn)】復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、分段函數(shù)的值域或最值【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出時的值域，再根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求出時的值域，然后利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故，綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?．（2025·上?！つM預(yù)測）設(shè)，，記的導(dǎo)數(shù)為.若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為.【答案】【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、由奇偶性求參數(shù)【分析】求導(dǎo)，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解；【詳解】由，得，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，所以，即，，滿足；所以，故答案為：10．（2025·上海寶山·三模）已知，函數(shù)的定義域是，且滿足.記函數(shù)的值域?yàn)椋舸嬖?，使得對于任意符合要求的函?shù)，均滿足：，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義【分析】設(shè)，得到方程，解出，再轉(zhuǎn)化為不動點(diǎn)問題，再結(jié)合蛛網(wǎng)圖即可得到范圍.【詳解】設(shè)，，對求導(dǎo)得，則這是一個“吸引不動點(diǎn)”.由蛛網(wǎng)圖可知，，，使得，故，有因此.①另一方面，當(dāng)時，，又，所以.②結(jié)合①②可知，故.當(dāng)時，取滿足題意.當(dāng)時，任取的實(shí)數(shù)，滿足題意.故的取值范圍為故答案為：.11．（2025·上海閔行·二模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識點(diǎn)】二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過程、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【分析】先結(jié)合題意由等差和等比數(shù)列的基本量法求出兩數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)而求出，再構(gòu)成函數(shù)，分析單調(diào)性和根即可.【詳解】由題意可得等差數(shù)列的公差為，所以，所以，等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)椋?，即，設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，再由二分法確定當(dāng)時，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.12．（2025·上海金山·二模）已知函數(shù)的圖象是折線段，且，則函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形面積為.【答案】【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、畫出具體函數(shù)圖象【分析】根據(jù)題意，求出的表達(dá)式，進(jìn)而得到的表達(dá)式，利用圖象分割求解面積.【詳解】由題可得，，，設(shè)函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形面積為，如圖，由二次函數(shù)和可知，曲邊三角形的面積等于曲邊三角形的面積，所以.故答案為：.13．（2025·上海松江·三模）若不等式對恒成立，則.【答案】【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象分析與判斷、利用cosx（型）函數(shù)的對稱性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】先分析當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸，零點(diǎn)及函數(shù)值的變化情況，再分析二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸，結(jié)合不等式恒成立可得關(guān)于，的方程，求解即可．【詳解】當(dāng)時，函數(shù)的對稱軸為，零點(diǎn)為，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且對稱軸為，所以要使不等式恒成立，于是，，，解得，，故.故答案為：．14．（2025·上海浦東新·三模）對于函數(shù)，若關(guān)于的方程，（，）恰有個實(shí)數(shù)根，則稱函數(shù)為“”函數(shù).①函數(shù)的定義域且；②函數(shù)是“2”函數(shù)，也是“3”函數(shù)；那么同時滿足條件①②的函數(shù)共有個.【答案】18【知識點(diǎn)】排列組合綜合、函數(shù)新定義【分析】根據(jù)題目所給條件，先根據(jù)定義域確定關(guān)鍵的函數(shù)值，然后根據(jù)計(jì)數(shù)原理將不能確定的幾個函數(shù)值進(jìn)行排列即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)楹秃瘮?shù)的值域均為：，可知自變量和函數(shù)值是一一對應(yīng)的關(guān)系；的定義域?yàn)?，根?jù)題目給出的“3”函數(shù)的新定義：有，即：，，.可得：，只能是，，，這樣在值域當(dāng)中只剩下是的倍，故，.因?yàn)楹瘮?shù)是“2”函數(shù)，根據(jù)題意恰有2個根，結(jié)合，，，，；剩余的不能確定的個函數(shù)值中，只需要，不同的分配方法有種.故答案為：15．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值是．【答案】44【知識點(diǎn)】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及新定義的等式，構(gòu)造函數(shù)，分類討論，結(jié)合絕對值函數(shù)求和的性質(zhì)列出不等式，得到，從而求出，時不合要求，舍去，最終求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，構(gòu)造函數(shù)，則的圖像與直線至少有5個公共點(diǎn)，假設(shè)，故5個公共點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，根據(jù)絕對值函數(shù)求和的性質(zhì)知：當(dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)有最小值，此時與最多有2個交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)為偶數(shù)時，若，則函數(shù)圖象在上是一條水平的線段，若，則函數(shù)圖象在上是一條水平的線段，故與可以有5個交點(diǎn)，若，此時有，若，此時有，且，故，即，所以故，，故．當(dāng)時，，故舍去，綜上，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值為44.故答案為：44.三、解答題16．（2025·上海浦東新·二模）已知函數(shù)的表達(dá)式．(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)最值與不等