專題06解三角形考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)正弦定理和余弦定理（5年2考）2023年已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理及辨析2021年正弦定理解三角形、余弦定理解三角形填空題和解答題是主要考查形式，其中填空題側(cè)重基礎(chǔ)計(jì)算（如邊長(zhǎng)、角度），解答題則注重綜合應(yīng)用和邏輯推理。命題注重考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，逐漸從純理論計(jì)算轉(zhuǎn)向?qū)嶋H場(chǎng)景應(yīng)用。解三角形常與向量、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等結(jié)合。解三角形的實(shí)際應(yīng)用（5年2考）2024年余弦定理解三角形、角度測(cè)量問題、正弦定理解三角形2022年正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形考點(diǎn)01正弦定理和余弦定理1．（2023·上?！じ呖颊骖}）在中，已知，，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理及辨析【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得.【詳解】，A為的內(nèi)角，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.3．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知A、B、C為的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，﹒(1)若，求b、c；(2)若，求c．【答案】(1)1，；(2)﹒【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得、的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【詳解】（1）∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．（2）∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．考點(diǎn)02解三角形的實(shí)際應(yīng)用2．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則(精確到0.1度)【答案】【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、角度測(cè)量問題、正弦定理解三角形【分析】設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因?yàn)?，得，利用?jì)算器即可得，故答案為：.4．（2022·上?！じ呖颊骖}）在如圖所示的五邊形中，，O為AB中點(diǎn)，曲線CMD上任一點(diǎn)到O距離相等，角，P，Q關(guān)于OM對(duì)稱；(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求的大??；(2)求五邊形面積S的最大值，【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根據(jù)題意可得，則，設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】（1）解：若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，連接，，在中，，所以，因?yàn)椋?，所以；?）解：連接，因?yàn)榍€CMD上任一點(diǎn)到O距離相等，所以，因?yàn)镻，Q關(guān)于OM對(duì)稱，所以，設(shè)，則，則，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以五邊形面積S的最大值為.一、單選題1．（2025·上海·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中、均與水平面垂直.在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離、的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下列四組角中的一組角的度數(shù)，其中不能唯一確定與之間的距離的是（

）.A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】由已知條件有兩邊，再結(jié)合三個(gè)角，可解兩個(gè)直角三角形，求出高和斜邊，然后再用余弦定理求第三邊，這樣可逐一分析判斷，但對(duì)于B選項(xiàng)，可通過舉反例判斷即可.【詳解】記，，，，，，，，，，，，．對(duì)于A選項(xiàng)：已知，在中，由，可確定；同理，在中，即可確定，在中，由，可確定；在中，已知，由余弦定理可解三角形知，再在中，由勾股定理，可確定；再由直角梯形，結(jié)合勾股定理可得，即可確定，故A正確；對(duì)于C選項(xiàng)：已知，在中，由，可確定；同理，在中，可確定；在中，由及余弦定理，可確定，故C正確;對(duì)于D選項(xiàng)：已知，在中，由及余弦定理，可確定；在中，由，可確定；同理，在中，即可確定，由直角梯形，結(jié)合勾股定理可得，①即可確定，故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)：已知，同C，D選項(xiàng)，可確定，在中，由勾股定理，得，在中，由余弦定理，得，②聯(lián)立①②，得解此關(guān)于的二元方程組，可得，但此二元二次方程組可能有兩解，例如:若，得解得或故B錯(cuò)誤．故選：B.二、填空題2．（2025·上海松江·二模）在定向越野活動(dòng)中，測(cè)得甲在乙北偏東的方向，甲乙兩人間的距離為2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙兩人間的距離為，則乙丙兩人間的距離為km.【答案】1【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，利用余弦定理求解.【詳解】如圖，在中，，.由余弦定理，可得，即，解得，即乙丙兩人間的距離為1km.故答案為：1.3．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）在中，若，，，則的長(zhǎng)為.【答案】【分析】由余弦定理即可求解；【詳解】，所以,故答案為：4．（2025·上海奉賢·二模）已知，“、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列”是“是正三角形”的條件．【答案】充要【分析】根據(jù)給定條件，利用等差、等比數(shù)列的定義，結(jié)合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】在中，由、、成等差數(shù)列，得，而，則，由、、成等比數(shù)列，得，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形；若是正三角形，則，，因此、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列，所以“、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列”是“是正三角形”的充要條件.故答案為：充要.5．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）已知的角對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為，則.【答案】【分析】由余弦定理求解，再由反三角函數(shù)求得角.【詳解】根據(jù)余弦定理得，把代入可得，因?yàn)?，所?故答案為：.6．（2025·上海長(zhǎng)寧·二模）已知點(diǎn)D、E分別是三角形ABC的邊AC、BC的中點(diǎn)，且，則三角形ABC的面積的取值范圍是．【答案】【分析】如圖，利用補(bǔ)形可得，結(jié)合面積公式可求范圍.【詳解】如圖，過作，過作交的延長(zhǎng)線于，則四邊形、四邊形為平行四邊形，連接，則互相平分，故共線且為的中點(diǎn)，而，故，故，中，，，，故，故，故答案為：7．（2025·上海崇明·二模）在中，若，其面積為，則．【答案】【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出的值，再結(jié)合余弦定理求出的值，進(jìn)而求出的值.【詳解】已知，，代入面積公式可得：則，可得：.根據(jù)余弦定理為，可得則.即，把代入可得：，即.由于為邊長(zhǎng)，可得.故答案為：.8．（2025·上海浦東新·二模）如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為米．（保留一位小數(shù)）【答案】66.4【分析】先在和中，根據(jù)仰角分別用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立關(guān)于的方程，最后求解方程得到的值.【詳解】在中，已知從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，即.因?yàn)?，所?在中，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，即.因?yàn)?，且，所?在中，已知米，.根據(jù)余弦定理，將，代入可得：，即可得.則.故答案為：66.4.9．（2025·上海奉賢·二模）中企聯(lián)合大廈是奉賢區(qū)的第一高樓，是奉賢美奉賢強(qiáng)的一個(gè)縮影．某數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)們?nèi)?shí)地進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)過多次的測(cè)量，最終在平行于地面的同一水平面上選取三個(gè)點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)作為測(cè)量基點(diǎn)．設(shè)大廈的最高點(diǎn)為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，又測(cè)得米，，（見圖）．現(xiàn)作出以下幾個(gè)假設(shè)：

①直線垂直于平面；②平面到地面的距離等于測(cè)角儀高度，在計(jì)算過程中測(cè)角儀高度忽略不計(jì)；③其它次要因素等忽略不計(jì)．根據(jù)以上信息估算奉賢第一高樓的高度約米．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】【分析】在以及中，根據(jù)三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可.【詳解】設(shè)高度為，在中，根據(jù)正弦定理有：，即，在中，根據(jù)正弦定理有：，即，由余弦定理可知：，解得：.故答案為：10．（2025·上海金山·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)O是△ABC外接圓圓心，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且有，若，則實(shí)數(shù)λ的值為．【答案】3【分析】由已知結(jié)合余弦定理可得，設(shè)D為BC中點(diǎn)，可得，由，可得，計(jì)算可求解.【詳解】，又，則，則，設(shè)D為BC中點(diǎn)，則有，∴，由可得，∴，所以，所以，即又，所以，故．故答案為：.11．（2025·上?！と＃┮阎校?，且，，則的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出三角形外接圓半徑，確定點(diǎn)的軌跡，借助圓的性質(zhì)求出最大值.【詳解】以直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由，，得，外接圓半徑，令圓心為，則，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑所含圓周角為的圓弧（不含端點(diǎn)）上，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：12．（2025·上海楊浦·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別為角的對(duì)邊.已知是一個(gè)面積為的銳角三角形，且，則的周長(zhǎng)為.【答案】/【分析】先由面積求出正弦值，再用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，再用余弦定理得到，進(jìn)而得到周長(zhǎng).【詳解】由于三角形的面積為，所以,因?yàn)?，故（銳角三角形），當(dāng)時(shí)：，則的周長(zhǎng)為.故答案為：.13．（2025·上海黃浦·三模）三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A、B、C三點(diǎn)，且A、B、C在同一水平面上的投影、、滿足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A、C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為．（精確到1）【答案】373【分析】過C作，過B作，進(jìn)而，易知，在中，求得，進(jìn)而，在中，用正弦定理即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可知的長(zhǎng).【詳解】如圖，過C作，過B作，故，由題易知為等腰直角三角形，所以．所以.因?yàn)?，所?在中，由正弦定理得，，而，所以，所以.故答案為：373.14．（2025·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）雨天外出雖然有撐雨傘，時(shí)常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，熱愛探究數(shù)學(xué)問題的小明想通過數(shù)學(xué)建模的方法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小．為了簡(jiǎn)化問題小明做出下列假設(shè)：假設(shè)1：小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為，的矩形＂紙片人＂；假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為的直線；假設(shè)3：傘柄長(zhǎng)為，可繞矩形＂紙片人＂上點(diǎn)旋轉(zhuǎn)；假設(shè)4：傘面為被傘柄垂直平分的線段．如圖，在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時(shí)，求其＂褲腳＂被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)果精確到）；【答案】【分析】過作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，先求出，，在中，利用正弦定理求得，再根據(jù)，求得，從而可求得，再求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】如圖所示，過作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，由題意，，因?yàn)闉榈弥悬c(diǎn)，所以，又，所以，，又，，由正弦定理得，所以，又，所以，，所以，所以,所以陰影部分面積為.故答案為：三、解答題15．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求的值；(2)若，為鈍角，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理即可得；（2）由余弦定理結(jié)合重要不等式可得取值范圍，再由三角形的面積公式可求出面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即；?）由（1）可知，所以（不符合題意舍去）或，在中，由余弦定理得，因?yàn)榍遥?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，故的面積，即的面積最大值為.16．（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理角化邊結(jié)合勾股定理求解即可；（2）由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理求解即可；【詳解】（1）由正弦定理可得即，又，所以，即，解得，所以.（2）因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，最大值，所以的面積的最大值為.17．（2025·上海青浦·三模）在中，，.(1)求的值；(2)若，求的周長(zhǎng)和面積.【答案】(1)；(2)周長(zhǎng)32，面積24.【分析】（1）利用兩角和的正弦公式即可求得的值；（2）先利用正弦定理求得的的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的周長(zhǎng)和面積．【詳解】（1）在中，，又，則，則.（2），又，，則由正弦定理得，則的周長(zhǎng)為的面積為．18．（2025·上海松江·三模）已知函數(shù)的圖像相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為.(1)求的值及的解集；(2)在中，為的一個(gè)內(nèi)角，若滿足，，且，求周長(zhǎng).【答案】(1)2；(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有，即可得解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解方程即可；（2）根據(jù)已知可得，應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式得、，進(jìn)而可得，即可得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)，則，令或，，所以或，，故解集為．（2）由題設(shè)，即，，所以，，又是三角形內(nèi)角，故，由，即，由，則，所以，易得，所以周長(zhǎng)為．19．（2025·