2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——概率論中的抽樣和統(tǒng)計(jì)推斷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)總體X的分布未知，從中抽取樣本X1,X2,...,Xn，則統(tǒng)計(jì)量是A.X1+X2B.max(X1,X2,...,Xn)C.1/n*Σ(i=1ton)Xi2D.(1/(n-1))*Σ(i=1ton)(Xi-X?)22.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則統(tǒng)計(jì)量(n-1)S2/σ2服從A.N(0,1)B.t(n-1)C.χ2(n-1)D.F(n,1)3.設(shè)總體X的均值E(X)=μ，方差Var(X)=σ2，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本，X?為樣本均值。若Y=a1X1+a2X2+...+anXn，且Σ(i=1ton)ai=0，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)為A.μB.0C.Σ(i=1ton)aiμD.無法確定4.下列關(guān)于矩估計(jì)法的說法中，正確的是A.矩估計(jì)法總是能得到無偏估計(jì)量B.矩估計(jì)法得到的估計(jì)量一定是最有效的C.矩估計(jì)法是基于樣本矩和總體矩相等的思想D.矩估計(jì)法只適用于離散型分布5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記為α，犯第二類錯(cuò)誤的概率記為β，則A.α+β=1B.當(dāng)α減小時(shí)，β必然增大C.α是當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)的概率D.β是當(dāng)原假設(shè)為假時(shí)接受原假設(shè)的概率二、填空題6.設(shè)X1,X2,...,Xn是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)(σ2已知)的樣本，若要構(gòu)造總體均值μ的置信水平為1-α的置信區(qū)間，應(yīng)使用統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量服從分布，置信區(qū)間為。7.設(shè)總體X的分布密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0，其中θ為未知參數(shù)，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本，則θ的矩估計(jì)量為。8.設(shè)總體X~N(μ,16)，從中抽取容量為25的樣本，樣本均值為50。若要檢驗(yàn)H0:μ=52vsH1:μ≠52，采用檢驗(yàn)法，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為，當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)，拒絕域?yàn)椤?.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本，樣本方差為S2。若要構(gòu)造總體方差σ2的置信水平為1-α的置信區(qū)間，應(yīng)使用統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量服從分布，置信區(qū)間為。10.設(shè)總體X的均值μ未知，方差σ2已知，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本，要檢驗(yàn)H0:μ=μ0vsH1:μ>μ0，當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(X?-μ0)/(σ/√n)的分布為，p值是指。三、計(jì)算題11.設(shè)總體X~N(0,σ2)，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本。求樣本方差S2的期望E(S2)。12.設(shè)總體X的分布密度函數(shù)為f(x;θ)=θe^(-θx),x>0,θ>0，X1,X2,...,Xn為來自X的樣本。求參數(shù)θ的極大似然估計(jì)量。13.設(shè)總體X~N(μ,4)，從中抽取容量為16的樣本，樣本均值為5.5。檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=5vsH1:μ>5，采用顯著性水平α=0.05。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，并說明是否拒絕原假設(shè)。四、證明題14.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;θ)=1-e^(-θx),x>0,θ>0。證明：樣本均值X?的分布函數(shù)為F?(x;θ)=[1-e^(-θx)]^n,x>0。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.C5.D二、填空題6.(X?-μ)/(σ/√n);N(0,1);μ?±z_(α/2)*(σ/√n)7.1/(1+Σ(i=1ton)Xi)8.Z檢驗(yàn);Z=(X?-52)/(4/√25);Z>z_0.05=1.6459.(n-1)S2/σ2;χ2(n-1);[χ2_(α/2,n-1)*σ2/(n-1),χ2_(1-α/2,n-1)*σ2/(n-1)]10.N(0,1);小于等于該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值出現(xiàn)的概率三、計(jì)算題11.解：因?yàn)閄~N(0,σ2)，所以X?~N(0,σ2/n)。故(n-1)S2/σ2~χ2(n-1)。E(S2)=E[(n-1)S2/σ2]*(σ2/(n-1))=(n-1)*E[χ2(n-1)]/(n-1)=E[χ2(n-1)]=n-1。所以E(S2)=σ2。12.解：設(shè)樣本為X1,X2,...,Xn。似然函數(shù)為L(zhǎng)(θ)=Π(i=1ton)θe^(-θXi)=θ^n*exp(-θΣ(i=1ton)Xi)。對(duì)數(shù)似然函數(shù)為lnL(θ)=nlnθ-θΣ(i=1ton)Xi。似然方程為d(lnL)/dθ=n/θ-Σ(i=1ton)Xi=0，解得θ?=n/Σ(i=1ton)Xi=1/X?。所以θ的極大似然估計(jì)量為θ?=1/X?。13.解：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(X?-μ0)/(σ/√n)=(5.5-5)/(2/√16)=0.5/0.5=1。拒絕域?yàn)閆>z_0.05=1.645。因?yàn)?<1.645，所以不拒絕原假設(shè)H0。四、證明題14.證明：設(shè)樣本為X1,X2,...,Xn。根據(jù)題意，Xi~f(x;θ)=θe^(-θx),x>0,θ>0。X?=(1/n)*Σ(i=1ton)Xi。對(duì)于分布函數(shù)F?(x;θ)，有P(X?≤x)=P(Σ(i=1ton)Xi≤nx)。因?yàn)閄i是獨(dú)立同分布的，所以Σ(i=1ton)Xi服從參數(shù)為nθ的指數(shù)分布。P(Σ(i=1ton)Xi≤nx)=F_(nθ)(nx