期末總復(fù)習(xí)課件第一章

豐富的圖形世界，第六章

數(shù)據(jù)的收集與整理北師大版(2024）七年級上冊數(shù)學(xué)知識梳理典例講練目錄CONTENTS（第一章

豐富的圖形世界，第六章

數(shù)據(jù)的收集與整理）1.

幾何體的組成元素.幾何圖形都是由

、

、

、

組成的，其

中

、

、

是構(gòu)成圖形的基本元素，即點(diǎn)動

成

，線動成

，面動成

.面與面相交

得

，線與線相交得

?.2.

用一個平面去截正方體，截面的形狀按邊數(shù)分類為

?

、

、

、

?.點(diǎn)

線

面

體

點(diǎn)

線

面

線

面

體

線

點(diǎn)

三角

形

四邊形

五邊形

六邊形

3.

n

棱柱（

n

≥3，且

n

為整數(shù)）由

條棱、

?個頂

點(diǎn)、

個面組成.4.

幾何體的表面展開圖.（1）圓柱的側(cè)面展開圖是

?；（2）圓錐的側(cè)面展開圖是

?；3

n

2

n

（

n

＋2）

長方形

扇形

（3）將正方體沿不同的棱展開可得到不同的表面展開圖，共有

11種情形，可分為三類.①“一四一”型（共6種）：②或“二三一”型（共3種）：③“三三”型（1種）或“二二二”型（1種）：5.

我們可以從

、

、

?三個不同的方向

看物體，然后描述出所看到的形狀，這樣就可以把一個立體圖

形轉(zhuǎn)化為

圖形.正面

上面

左面

平面

6.

普查與抽樣調(diào)查.（1）普查：為某一特定目的而對所有考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查

叫作

，適用范圍為調(diào)查范圍

、調(diào)查不具有

?

、數(shù)據(jù)要求準(zhǔn)確

?；（2）抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱

為

，適用范圍為調(diào)查對象涉及面廣、范圍大，或

受條件限制，或具有破壞性.普查

小

破

壞性

全面

抽樣調(diào)查

7.

總體、個體、樣本、樣本容量.總體是指所要

的全體，個體是指組成總體

的

的對象，樣本是從總體中所抽取的

?

個體，而樣本容量則是指樣本中個體的

?.8.

扇形統(tǒng)計圖.（1）概念：利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，即用圓代

表

，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇

形的大小反映部分占總體的

的大小.考察的對象

每一個考察

一部

分

數(shù)目

總體

百分比

（2）制作步驟.①計算各部分占總體的

?；②計算各個扇形的

?；③畫出扇形統(tǒng)計圖，標(biāo)上名稱和

?.百分比

圓心角度數(shù)

百分比

9.

三種統(tǒng)計圖的特點(diǎn).（1）條形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出每個項(xiàng)目的具體數(shù)目；（2）折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況；（3）扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的

百分比.10.

繪制頻數(shù)直方圖的一般步驟.（1）計算所給數(shù)據(jù)

的差；（2）決定

和組數(shù)；（3）列頻數(shù)分布表；（4）畫頻數(shù)直方圖.最大值與最小值

組距

典例講練02類型一

認(rèn)識立體圖形

寫出下圖中各個幾何體的名稱，并按錐體和柱體把它們分

類.①②③④⑤⑥①

②

?

③

④

?

⑤

⑥

?

其中，柱體有：

；錐體有：

（填序號）.【思路導(dǎo)航】掌握常見幾何體的概念，并根據(jù)幾何體的形狀特

征進(jìn)行分類.圓柱

圓錐

四棱錐

五棱柱

三棱錐

四棱柱（或長方體）

①④⑥

②③⑤

【解析】觀察圖形可知，①是圓柱；②是圓錐；③是四棱錐；

④是五棱柱；⑤是三棱錐；⑥是四棱柱（或長方體），則柱體

有①④⑥，錐體有②③⑤.故答案為圓柱，圓錐，四棱錐，五棱柱，三棱錐，四棱柱（或

長方體），①④⑥，②③⑤.【點(diǎn)撥】熟練掌握柱體和錐體、球的形狀特征以及分類依據(jù).常

見分類方法有；①按柱體、錐體、球體的特征進(jìn)行劃分；②按

圍成幾何體的面是平面或曲面進(jìn)行劃分；③按幾何體有無頂點(diǎn)

進(jìn)行劃分.

1.

圓柱是由

個面組成的，其中

個平面，

?個

曲面；圓錐是由

個面組成的；三棱錐有

?個頂

點(diǎn)，

個面，

條棱；如果一個直棱柱共有21條棱，那

么這個直棱柱是

棱柱，有

個面，

個頂點(diǎn).三

兩

一

兩

4

4

6

七

9

14

2.

如圖，在長方形紙片

ABCD

中，邊

AB

的長為8cm，邊

BC

的

長為4cm.（1）若將該長方形紙片

ABCD

繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一

周，則形成的幾何體是

?；（1）【解析】若將該長方形紙片

ABCD

繞它的一邊所

在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則形成的幾何體是圓柱.故答案

為圓柱.圓柱

（2）若將這個長方形紙片

ABCD

繞邊

AB

所在直線旋轉(zhuǎn)一周，

求形成的幾何體的體積.（結(jié)果保留π）（2）解：由題意，得形成的圓柱的底面半徑為4cm，所以π×42×8＝128π（cm3）.故形成的幾何體的體積128πcm3.類型二

調(diào)查對象與調(diào)查過程

某校有4000名學(xué)生，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行體重調(diào)查，

下列說法錯誤的是（

B

）A.

總體是該校4000名學(xué)生的體重B.

個體是每一個學(xué)生C.

樣本是抽取的400名學(xué)生的體重D.

樣本容量是400【思路導(dǎo)航】根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的知識逐一

判斷.B【解析】A.

總體是該校4000名學(xué)生的體重，此選項(xiàng)正確，不符

合題意；B.

個體是每一個學(xué)生的體重，此選項(xiàng)錯誤，符合題

意；C.

樣本是抽取的400名學(xué)生的體重，此選項(xiàng)正確，不符合

題意；D.

樣本容量是400，此選項(xiàng)正確，不符合題意.故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查總體、個體、樣本、樣本容量的概念，

解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考察

的對象.總體、個體和樣本的考察對象是相同的，所不同的是范

圍的大小.樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)量，不能帶單位.

1.

為了解某市參加中考的32000名學(xué)生的體重情況，抽查了其

中1600名學(xué)生的體重進(jìn)行統(tǒng)計分析.下面敘述正確的是

（

B

）A.32000名學(xué)生是總體B.1600名學(xué)生的體重是總體的一個樣本C.

每名學(xué)生是總體的一個個體D.

此調(diào)查是普查B2.

為了解某校2000名師生對“消防知識”的了解情況，從中隨

機(jī)抽取了100名師生進(jìn)行問卷調(diào)查，這項(xiàng)調(diào)查中的樣本是

?

?.從中

抽取的100名師生對“消防知識”的了解情況

類型三

頻數(shù)直方圖

為了解某市去年乘坐地鐵的每個人的月均花費(fèi)情況，相關(guān)

部門隨機(jī)調(diào)查了1000人乘坐地鐵的月均花費(fèi)（單位：元），繪

制了如下頻數(shù)直方圖.根據(jù)圖中信息，下面三個推斷中，合理的

有

（填序號）.②③

①小明乘坐地鐵的月均花費(fèi)是75元，則在所調(diào)查的1000人中一定有超過一半的人月均花費(fèi)超過小明；②估計平均每人乘坐地鐵的月均花費(fèi)不低于60元；③若規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定數(shù)額可以享受折扣優(yōu)惠，并且享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)控制在20％左右，則乘坐地鐵的月均花費(fèi)達(dá)到120元的人可享受折扣.【思路導(dǎo)航】準(zhǔn)確讀出統(tǒng)計圖中的信息即可判斷.【解析】①因?yàn)?00＋100＋80＋50＋25＋25＋15＋5＝500，而

75～80元的人數(shù)不能確定，所以在所調(diào)查的1000人中一定有一

半或超過一半的人月均花費(fèi)超過小明，此結(jié)論正確；②根據(jù)圖

中信息，得大多數(shù)人乘坐地鐵的月均花費(fèi)在60～120元之間，估

計平均每人乘坐地鐵的月均花費(fèi)的范圍是60～120元，所以估計

平均每人乘坐地鐵的月均花費(fèi)的不低于60元，此結(jié)論正確；③

因?yàn)?000×20％＝200，而80＋50＋25＋25＋15＋5＝200，所以

乘坐地鐵的月均花費(fèi)達(dá)到120元的人可以享受折扣.此結(jié)論正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故答案為②③.【點(diǎn)撥】解答這類題目，觀察圖表要細(xì)致，讀懂統(tǒng)計圖，準(zhǔn)確

計算.

為了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)同年級50名學(xué)生進(jìn)行

1min跳繩測試，并將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出如圖所示的頻數(shù)直

方圖（各組只含最小值，不含最大值）.若圖中從左到右各組所

占百分比分別為

a

，30％，40％，20％，且跳繩次數(shù)不低于100

的學(xué)生有

b

人，則

a

＝

，

b

＝

?.10％

30

【解析】由題意，得

b

＝50×（40％＋20％）＝30，

a

＝1－

（30％＋40％＋20％）＝10％.故答案為10％，30.類型四

幾何體的表面展開圖

一個長方體的表面展開圖如圖所示.（1）將表面展開圖折疊成一個長方體，與點(diǎn)

N

重合的點(diǎn)有

哪幾個？【思路導(dǎo)航】（1）把展開圖折疊成一個長方體，找到與點(diǎn)

N

重合的點(diǎn)即可；解：（1）由圖可知，與點(diǎn)

N

重合的點(diǎn)有

H

，

J

兩個.（2）若

AG

＝

CK

＝14cm，

FG

＝2cm，則該長方體的表面積和

體積分別是多少？【思路導(dǎo)航】（2）先求出

BC

，

CL

的長，再根據(jù)長方體的表面

積和體積公式計算即可.解：（2）由題意，得

AB

＝

CD

＝

ED

＝

FG

＝2cm.所以

BC

＝

DG

＝（

AG

－2

AB

）÷2＝（14－2×2）÷2＝5

（cm）.所以

LK

＝

ML

＝

BC

＝5cm.所以

CL

＝

CK

－

LK

＝14－5＝9（cm）.所以長方體的表面積為2×（9×5＋2×5＋2×9）＝146（cm2），長方體的體積為5×9×2＝90（cm3）.【點(diǎn)撥】解答此題的關(guān)鍵是掌握長方體的平面展開圖與折疊成

長方體之間的關(guān)系.展開后的圖形是形狀和大小都相同的三組，

即前后面，左右面，上下面，根據(jù)長、寬、高得到展開后的圖

形的邊長，反之亦然.

1.

一個正方體的表面展開圖如圖所示，若將圖中的展開圖折

疊成正方體后，相對面上的兩個數(shù)字之和均為5，求

x

＋

y

＋

z

的值.解：將圖中表面展開圖折疊成正方體后，面“

z

”與面“3”相

對，面“

y

”與面“－2”相對，“

x

”與面“10”相對.所以

z

＋3＝5，

y

－2＝5，

x

＋10＝5.解得

z

＝2，

y

＝7，

x

＝－5.故

x

＋

y

＋

z

＝－5＋7＋2＝4.2.

已知一個邊長為10cm的正方形如圖1所示，按要求解答下列

問題：（1）如圖2，若將該正方形沿粗黑實(shí)線剪下4個邊長

為

cm的小正方形，拼成一個大正方形作為直四棱柱的

一個底面，余下部分按虛線折疊成一個無蓋直四棱柱，最后把

兩部分拼在一起，組成一個完整的直四棱柱，它的表面積等于

原正方形的面積；2.5

圖1圖2（1）【解析】設(shè)沿粗黑實(shí)線剪下4個邊長為

x

cm的小正方形.根據(jù)題意，得2

x

＝10÷2.解得

x

＝2.5.故答案為2.5.（2）若該正方形是一個圓柱的側(cè)面展開圖，求該圓柱的體積

（結(jié)果保留π）.圖1圖2

類型五

統(tǒng)計圖的綜合應(yīng)用

“安全教育平臺”是中國教育學(xué)會為方便家長和學(xué)生參與

安全知識活動、接受安全提醒的一種應(yīng)用軟件.某校為了解家長

和學(xué)生參與“安全出行”學(xué)習(xí)的情況，在本校學(xué)生中隨機(jī)抽取

部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，把收集的數(shù)據(jù)分為以下四類情形：A.

僅學(xué)

生自己參與；B.

家長和學(xué)生一起參與；C.

僅家長自己參與；

D.

家長和學(xué)生都未參與.并繪制了以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）在這次抽樣調(diào)查中，調(diào)查的目的是

?

?；了解家長和學(xué)生參與

“安全出行”學(xué)習(xí)的情況

【思路導(dǎo)航】（1）認(rèn)真讀題干即可從中獲取調(diào)查的目的；（1）【解析】由題意可知，在這次抽樣調(diào)查中，調(diào)查的目的是了解家長和學(xué)生參與“安全出行”學(xué)習(xí)的情況.故答案為了解家長和學(xué)生參與“安全出行”學(xué)習(xí)的情況.（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并在扇形統(tǒng)計圖中計算“C類”所對應(yīng)

扇形的圓心角的度數(shù)；【思路導(dǎo)航】（2）先求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，從而求出“B級”對應(yīng)的人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，用“C級”所占總?cè)藬?shù)的百分比即可求出對應(yīng)的圓心角；（2）解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)有40÷20％＝200，則“B類”的人數(shù)為

200－40－30－10＝120，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下：

（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計該校1000名學(xué)生中“家長和學(xué)生

都未參與”的人數(shù).【思路導(dǎo)航】（3）用樣本估計總量的方法進(jìn)行估計即可.

【點(diǎn)撥】處理雙統(tǒng)計圖問題，綜合利用各個統(tǒng)計圖的信息是解

題的關(guān)鍵.首先，理解每一個統(tǒng)計圖所表達(dá)的獨(dú)立意義，對于條

形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖，需理解它們的橫、縱軸分別代表的意

義.扇形統(tǒng)計圖一般以兩種形式出現(xiàn)：一種形式是以百分比的形

式出現(xiàn)，此時用1減去其他百分比，即可算出所求百分比；另

外一種形式是度數(shù)，則根據(jù)圓心角的度數(shù)除以360°，可算出所

求百分比.其次，根據(jù)所給統(tǒng)計圖讀出一些與題目相關(guān)的信息.

某學(xué)校決定開設(shè)籃球、足球、排球、乒乓球四種戶外的球類體

育選修課程.為了解學(xué)生需求，該校隨機(jī)對本校部分學(xué)生進(jìn)行了

“你選擇哪種球類課程”的調(diào)查（要求必須選擇且只能選擇其

中一門課程），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計表和

統(tǒng)計圖.課程人數(shù)籃球

m

足球21排球30乒乓球

n

根據(jù)圖表信息，解答下列問題：（1）分別求出表中

m

，

n

的值；

（2）求扇形統(tǒng)計圖中“足球”對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

（3）該校共有2000名學(xué)生，請你估計其中選擇“乒乓球”課程

的學(xué)生人數(shù).

類型六

從三個方向看物體的形狀

如圖，在平整的地面上，有一個由若干個完全相同的小立

方塊堆成的幾何體.（1）請畫出從正面、左面和上面看到的這個幾何體的形狀圖；【思路導(dǎo)航】（1）直接觀察即可；（1）解：如圖所示.（2）若在這個幾何體的表面（不包括底面）噴上黃色的漆，則

在所有的小立方塊中，有

個小立方塊只有一個面是黃色，

有

個小立方塊只有兩個面是黃色，有

?個小立方塊只

有三個面是黃色；1

2

3

【思路導(dǎo)航】（2）觀察幾何體中露在表面的面（除底面外）即可解答；（2）【解析】只有一個面是黃色的應(yīng)是第一列正方體中最底層

中間那個，共1個；有2個面是黃色的應(yīng)是第一列最底層最后面

那個和第二列最后面那個，共2個；只有三個面是黃色的應(yīng)是第

一列第二層最后面的那個，第二列最前面那個，第三列最底層

那個，共3個.故答案為1，2，3.（3）若現(xiàn)在你還有一些相同的小立方塊，為了保持從上面看和

從左面看到的形狀圖不變，則最多可以再添加幾個小立方塊？【思路導(dǎo)航】（3）保持從上面看到的形狀圖和從左面看到的形狀圖不變，考慮從幾何體的第二列入手.（3）解：最多可以再添加4個小立方塊.【點(diǎn)撥】在考慮添色面時注意考慮所有的小立方塊.

如圖，有一個由若干個完全相同的小立方塊堆成的一個幾何體

擺放在桌面上.從上面看從正面看從左面看（1）在下面方格紙中，分別畫出從這個幾何體三個不同的方向

（上面、正面和左面）看到的形狀圖；解：（1）如圖所示：從上面看從正面看從左面看從上面看從正面看從左面看（2）若小立方塊的棱長為2cm，求出該幾何體的表面積（包括

底面積）.解：（2）從上面看有4個面，從正面看有4個面，從左面看有3

個面，所以這個幾何體的表面積為（4×2＋4×2＋3×2）×22＝88

（cm2）.類型七

由部分形狀圖確定幾何體

已知一個幾何體是由若干個棱長為1的小立方塊堆積而成

的，從三個不同方向看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示：（1）在從上面看到的幾何體的形狀圖中標(biāo)出相應(yīng)位置小立方塊

的個數(shù)；【思路導(dǎo)航】（1）通過從正面、上面看幾何體得到的形狀圖可

以確定列數(shù)；通過從上面、左面看幾何體得到的形狀圖可以確

定行數(shù)；通過從正面、左面看幾何體得到的形狀圖可以確定行

與列中的最高層數(shù)，從而得出結(jié)果.解：（1）如圖所示.（2）求這個幾何體的表面積.【思路導(dǎo)航】（2）由從三個方向看到的形狀圖即可計算表面積.（2）這個幾何體的表面積為2×（6＋4＋5）＝30.【點(diǎn)撥】解決給出從三個方向看幾何體得到的形狀圖判定幾何

體的小立方塊的個數(shù)的題目，關(guān)鍵是要弄清楚這個幾何體圖形

共有多少行、多少列、每行每列中各有多少層.在從三個方向看

幾何得到的形狀圖中，通過從正面、上面看，得到的形狀圖可

以確定組合圖形的列數(shù)；通過從上面、左面看，得到的形狀圖

可以確定組合圖形的行數(shù)；通過從正面、左面看，得到的形狀

圖可以確定組合圖形的行與列中的最高層數(shù).

用若干個相同的小立方塊搭一個幾何體，使從正面和上面看

這個幾何體得到的形狀圖如圖所示.從上面看到的形狀圖中

的小正方形中的數(shù)字和字母表示該位置上小立方塊的個數(shù).

回答下列問題：（1）

x

，

z

各表示多少？解：（1）由圖，得

x

＝3，

z

＝1.（2）

y

可能是多少？這個幾何體最少由幾個小立方塊搭成？最

多呢？解：（2）由圖，得

y

＝1或2，所以最少由3＋2＋2＋1＋1＋1＋1＝

11（個）小立方塊搭成；最多由3＋2

＋2＋2＋1＋1＋1＝12（個）小立方

塊搭成.感謝聆聽期末總復(fù)習(xí)課件第二章

有理數(shù)及其運(yùn)算北師大版(2024）七年級上冊數(shù)學(xué)知識梳理典例講練目錄CONTENTS（第二章

有理數(shù)及其運(yùn)算）

1.

正數(shù)和負(fù)數(shù).（1）日常生活中，通常用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示

的量.（2）

既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).通常情況下，正數(shù)前的正

號“＋”可省略不寫.相反意義

0

2.

有理數(shù)的分類.（1）有理數(shù)可以分為

和

兩類.正整數(shù)、負(fù)整

數(shù)、零統(tǒng)稱為

；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為

?.（2）有理數(shù)可以分為正有理數(shù)、

、負(fù)有理數(shù)三類.3.

有理數(shù)的有關(guān)概念.（1）數(shù)軸：規(guī)定了

、正方向、單位長度的直線.（2）相反數(shù)：

a

的相反數(shù)是

，0的相反數(shù)是0.若

a

與

b

互為相反數(shù)，則

a

＋

b

＝

?.整數(shù)

分?jǐn)?shù)

整數(shù)

分?jǐn)?shù)

零

原點(diǎn)

－

a

0

原點(diǎn)

≥

0

0

（4）倒數(shù)：乘積為

的兩個數(shù)互為倒數(shù).

a

（

a

≠0）的倒數(shù)是

，0沒有倒數(shù).1

4.

科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成

的形式，

其中1≤

a

＜10，

n

為正整數(shù).5.

比較有理數(shù)的大小.（1）利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。孩僭跀?shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，

邊的數(shù)總比

?邊的

數(shù)大；②

都大于零，

都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；③所有的有理數(shù)從小到大在數(shù)軸上按從左到右的順序排列.a

×10

n

右

左

正數(shù)

負(fù)數(shù)

（2）利用絕對值比較有理數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.6.

有理數(shù)的運(yùn)算.（1）①有理數(shù)加法法則：先定符號，再計算.同號兩數(shù)相加，

取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，取絕對值較

大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；一個數(shù)

同0相加，仍得這個數(shù).②有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).（2）有理數(shù)的乘除法法則：兩個有理數(shù)相乘（除），同號

得

，異號得

，并把絕對值相乘（除）.注意：①0與任何數(shù)相乘的積為0；②0除以任何非零的數(shù)都得

0；③0不能作除數(shù).（3）數(shù)的乘方：

an

＝

，其中

a

叫作

?

，

n

叫作

?.正

負(fù)

底數(shù)

指數(shù)

（4）有理數(shù)的混合運(yùn)算：先算

，再算

，最后

算

；如果有括號，先算

里面的；同一級運(yùn)

算，按照從

到

的順序依次進(jìn)行.（5）有理數(shù)的運(yùn)算律：①加法的交換律：

a

＋

b

＝

b

＋

a

；②加法的結(jié)合律：

a

＋

b

＋

c

＝

?；③乘法的交換律：

a

·

b

＝

b

·

a

；④乘法的結(jié)合律：

a

·

b

·

c

＝

a

·（

b

·

c

）；⑤乘法對加法的分配律：

a

·（

b

＋

c

）＝

a

·

b

＋

a

·

c

.乘方

乘除

加減

括號

左

右

a

＋（

b

＋

c

）

典例講練02類型一

有理數(shù)的相關(guān)概念

給出下列各數(shù)：

（1）將上面各數(shù)填在相應(yīng)的集合里.整數(shù)集合：{

…}；分?jǐn)?shù)集合：{

…}；正數(shù)集合：{

…}；負(fù)數(shù)集合：{

…}.【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念填寫﹔解：（1）整數(shù)集合：{42，0，－32，…}；

【點(diǎn)撥】（1）解答本題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的相關(guān)概念.（2）按照從大到小的順序用“＞”把這些數(shù)連接起來.【思路導(dǎo)航】（2）先化簡各數(shù)，再比較大小.

【點(diǎn)撥】（2）比較數(shù)的大小時，要先化簡，再比較.

（2）以上7個數(shù)中，絕對值最大的數(shù)為

，絕對

值最小的數(shù)為

，有

對互為相反數(shù).3.5或－3.5

2

類型二

相反數(shù)與絕對值

（2）絕對值大于1而小于4的整數(shù)有

個；已知點(diǎn)

A

在數(shù)軸

上表示的數(shù)是－2，則與點(diǎn)

A

的距離等于3的點(diǎn)表示的數(shù)是

?

?.

－3

4

－5

或1

【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的概念求解即

可；（2）利用數(shù)軸，根據(jù)絕對值的概念、數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離分

類討論即可；【解析】（2）絕對值大于1而小于4的整數(shù)有±2，±3，共

有4個.若該點(diǎn)在點(diǎn)

A

的左邊，則為－2－3＝－5；若該點(diǎn)在點(diǎn)

A

的右邊，則為－2＋3＝1.故答案為4，－5或1.（3）若｜

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，且

a

＞

b

，則

a

－

b

＝

?.【思路導(dǎo)航】（3）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，結(jié)合

a

＞

b

得出

a

，

b

可

能的值，相減即可.7或1

【解析】（3）因?yàn)椋?/p>

a

｜＝3，｜

b

｜＝4，所以

a

＝±3，

b

＝±4.又因?yàn)?/p>

a

＞

b

，所以

a

＝±3，

b

＝－4.①當(dāng)

a

＝3，

b

＝－4時，

a

－

b

＝3－（－4）＝7；②當(dāng)

a

＝－3，

b

＝－4時，

a

－

b

＝－3－（－4）＝1.故答案為7或1.【點(diǎn)撥】求值計算時，當(dāng)給出的字母的值不唯一時，必須分情

況討論，一個絕對值分兩種情況，兩個絕對值分四種情況.

5

5

25

－2

－6

【解析】因?yàn)椋?/p>

a

－2｜≤

b

＋3，所以

b

＋3≥0.又因?yàn)椋?/p>

a

－2｜＋

b

＝－3，所以｜

a

－2｜＋

b

＋3＝0.所以

a

－2＝0，

b

＋3＝0，解得

a

＝2，

b

＝－3.所以

ab

＝2×（－3）＝－6.故答案為－6.類型三

有理數(shù)的混合運(yùn)算

計算：

（2）｜－45｜＋（－71）＋｜－5｜＋（－9）；解：（2）原式＝45－71＋5－9＝（45＋5）－（71＋9）＝50－80＝－30.

【點(diǎn)撥】進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)

合；同號的兩數(shù)先結(jié)合；同分母或易通分的分?jǐn)?shù)先結(jié)合；其和

為整數(shù)的小數(shù)先結(jié)合.同時可巧妙應(yīng)用運(yùn)算法則和運(yùn)算律，降低

運(yùn)算難度和減少運(yùn)算量.

計算：（1）－22－（－2）2－8＋（－2）3－42＋｜－4｜；解：（1）原式＝－4－4－8－8－16＋4＝－36.

類型四

數(shù)軸與絕對值

已知有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示，所對應(yīng)的

點(diǎn)分別為點(diǎn)

A

，

B

，

C

.

（1）在數(shù)軸上表示2的點(diǎn)與表示5的點(diǎn)之間的距離為

?；在數(shù)軸上表示－1的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離為

?；在數(shù)軸上表示－3的點(diǎn)與表示－5的點(diǎn)之間的距離為

?；由此可得，點(diǎn)

A

，

B

之間的距離為

，點(diǎn)

B

，

C

之間的

距離為

，點(diǎn)

A

，

C

之間的距離為

?.3

4

2

a

－

b

b

－

c

a

－

c

【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得答案；（（2）化簡：－｜

a

＋

b

｜＋｜

c

－

b

｜－｜

b

－

a

｜.【思路導(dǎo)航】（2）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，再合并同類項(xiàng)即可；解：（2）由數(shù)軸可知，

c

＜

b

＜0＜

a

，且｜

a

｜＞｜

b

｜.則

a

＋

b

＞0，

c

－

b

＜0，

b

－

a

＜0.所以原式＝－（

a

＋

b

）＋（

b

－

c

）－（

a

－

b

）＝－

a

－

b

＋

b

－

c

－

a

＋

b

＝－2

a

＋

b

－

c

.（3）若

c2＝4，－

b

的倒數(shù)是它本身，

a

的絕對值的相反數(shù)是－

2，求－

a

＋2

b

－

c

－（

a

－4

c

－

b

）的值.【思路導(dǎo)航】（3）求出

a

，

b

，

c

的值，再將其代入化簡后的代數(shù)式即可.解：（3）因?yàn)?/p>

c2＝4，－

b

的倒數(shù)是它本身，

a

的絕對值的相反數(shù)是－2，所以

c

＝－2，

b

＝－1，

a

＝2.所以原式＝－2

a

＋3

b

＋3

c

＝－2×2＋3×（－1）＋3×（－2）＝－4－3－6＝－13.【點(diǎn)撥】（1）｜

a

一

b

｜可表示數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離；（2）去絕

對值符號時，要考慮絕對值符號里面部分的正負(fù)性，若不能確

定，則需分類討論.

已知有理數(shù)

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上的位置如圖所示.解答下列問題：（1）比較

a

，｜

b

｜，

c

的大?。ㄓ谩埃肌边B接）；解：（1）根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置，

得

a

＜

c

＜｜

b

｜.（2）若

m

＝｜

a

＋

b

｜－｜

b

－1｜－｜

a

－

c

｜，試化簡等式的

右邊；解：（2）根據(jù)數(shù)軸可知，

a

＋

b

＜

0，

b

－1＜0，

a

－

c

＜0.所以

m

＝－

a

－

b

＋

b

－1＋

a

－

c

＝

－1－

c

.

解：（3）原式＝－1－1＋1－

2024×（－1）2024＝－1－2024＝－2025.類型五

數(shù)軸上的動態(tài)問題

已知

b

是最小的正整數(shù)，且

a

，

b

，

c

滿足｜

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，請解答下面問題：（1）求

a

，

b

，

c

的值.【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)有理數(shù)的分類，偶次冪和絕對值的非負(fù)

性求解；（1）解：因?yàn)?/p>

b

是最小的正整數(shù)，所以

b

＝1.因?yàn)椋?/p>

c

－5｜＋（

a

＋

b

）2＝0，所以

c

－5＝0，

a

＋

b

＝0.所以

c

＝5，

a

＝－

b

＝－1.即

a

＝－1，

b

＝1，

c

＝5.（2）

a

，

b

，

c

在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為點(diǎn)

A

，

B

，

C

，點(diǎn)

P

為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為

x

，點(diǎn)

P

在0到1之間運(yùn)動時（即

0＜

x

＜1時），則｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜的值

為

?.10

【思路導(dǎo)航】（2）由0＜

x

＜1可知，

x

＋1，

x

－1，

x

－5的正負(fù)，再根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行化簡計算；（2）【解析】因?yàn)?＜

x

＜1，所以

x

＋1＞0，

x

－1＜0，

x

－5＜0.所以｜

x

＋1｜－｜

x

－1｜＋2｜

x

－5｜＝

x

＋1－（1－

x

）＋2（5－

x

）＝

x

＋1－1＋

x

＋10－2

x

＝10.故答案為10.（3）在（2）的條件下，點(diǎn)

A

，

B

，

C

開始在數(shù)軸上運(yùn)動，點(diǎn)

A

以每秒1個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時，點(diǎn)

B

和點(diǎn)

C

分別以

每秒2個單位長度和每秒5個單位長度的速度向右運(yùn)動.假設(shè)

t

秒

過后，點(diǎn)

B

與點(diǎn)

C

之間的距離表示為

BC

，點(diǎn)

A

與點(diǎn)

B

之間的距

離表示為

AB

.

請問：

BC

－

AB

的值是否隨著時間

t

的變化而改

變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.【思路導(dǎo)航】（3）先分別表示出點(diǎn)

A

，

B

，

C

在運(yùn)動過程中所表示的數(shù)，然后利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式列式計算.（3）解：不變.根據(jù)題意可知，

t

秒時，點(diǎn)

A

對應(yīng)的數(shù)為－1－

t

，點(diǎn)

B

對應(yīng)的數(shù)

為2

t

＋1，點(diǎn)

C

對應(yīng)的數(shù)為5

t

＋5.所以

BC

＝（5

t

＋5）－（2

t

＋1）＝3

t

＋4，

AB

＝（2

t

＋1）－（－1－

t

）＝3

t

＋2.所以

BC

－

AB

＝（3

t

＋4）－（3

t

＋2）＝2.所以

BC

－

AB

的值不隨著時間

t

的變化而改變，且

BC

－

AB

＝2.【點(diǎn)撥】解決這類問題的關(guān)鍵是用字母表示出運(yùn)動的點(diǎn)所表示

的數(shù)，再根據(jù)條件列出方程求解.

如圖，已知

A

，

B

，

C

三個點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為

a

，

b

，

c

，且｜

a

＋16｜＋｜

b

＋6｜＋（

c

－8）2＝0.動點(diǎn)

P

從點(diǎn)

B

出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)

C

運(yùn)動.（1）求

a

，

b

，

c

的值.解：（1）因?yàn)椋?/p>

a

＋16｜＋｜

b

＋6｜

＋（

c

－8）2＝0，所以

a

＋16＝0，

b

＋6＝0，

c

－8＝0.所以

a

＝－16，

b

＝－6，

c

＝8.（2）點(diǎn)

P

運(yùn)動到點(diǎn)

C

前，若點(diǎn)

P

到點(diǎn)

A

距離是到點(diǎn)

C

距離的3

倍，求點(diǎn)

P

運(yùn)動的時間.

所以點(diǎn)

P

表示的數(shù)為8－6＝2.所以

BP

＝2－（－6）＝8.因?yàn)辄c(diǎn)

P

以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，所以當(dāng)點(diǎn)

P

的運(yùn)動時間為8÷1＝8（秒）時，點(diǎn)

P

到點(diǎn)

A

距離

是到點(diǎn)

C

距離的3倍.（3）若點(diǎn)

P

運(yùn)動的同時，點(diǎn)

Q

從點(diǎn)

A

出發(fā)，以每秒3個單位長度

的速度向點(diǎn)

C

運(yùn)動，點(diǎn)

Q

到達(dá)點(diǎn)

C

后，再立即以同樣的速度返

回，運(yùn)動到終點(diǎn)

A

，在點(diǎn)

P

開始運(yùn)動后，

P

，

Q

兩點(diǎn)之間的距離

能否為2個單位長度？如果能，請求出此時點(diǎn)

P

表示的數(shù)；如果

不能，請說明理由.

感謝聆聽期末總復(fù)習(xí)課件第三章

整式及其加減北師大版(2024）七年級上冊數(shù)學(xué)知識梳理典例講練目錄CONTENTS（第三章

整式及其加減）

1.

代數(shù)式.用運(yùn)算符號把

和

連接而成的式子叫作代數(shù)式.數(shù)

字母

乘積

一個數(shù)或字

母

數(shù)字因數(shù)

字母指數(shù)的

3

3.

多項(xiàng)式.（1）幾個單項(xiàng)式的

叫作多項(xiàng)式；（2）在多項(xiàng)式中，

叫作多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中，

不含字母的項(xiàng)叫作

?；（3）多項(xiàng)式里，

?是這個多項(xiàng)式的

次數(shù).例如：6

x2－2

x

＋7是

次

項(xiàng)式，二次項(xiàng)為

?，

一次項(xiàng)為

，常數(shù)項(xiàng)為

?.和

每一個單項(xiàng)式

常數(shù)項(xiàng)

次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)

二

三

6

x2

－2

x

7

4.

整式.

和

統(tǒng)稱為整式.5.

同類項(xiàng).所含

相同，并且

也相同的項(xiàng)，叫

作同類項(xiàng).特別地，所有常數(shù)都是同類項(xiàng).單項(xiàng)式

多項(xiàng)式

字母

相同字母的指數(shù)

6.

去括號的法則.（1）括號前是“＋”，把括號和它前面的“＋”去掉后，原括

號里各項(xiàng)的符號都

?；（2）括號前是“－”，把括號和它前面的“－”去掉，原括號

里各項(xiàng)的符號都

?.注：去括號與添括號是互逆過程.7.

合并同類項(xiàng)法則.（1）把

合并成

就叫作合并同類項(xiàng)；不改變

要改變

同類項(xiàng)

一項(xiàng)

8.

整式加減運(yùn)算法.（1）如果遇到括號要先去括號，然后再合并同類項(xiàng)；（2）整式的加減實(shí)質(zhì)就是將整式中的

進(jìn)行合并.9.

探索與表達(dá)規(guī)律.有兩種形式：數(shù)字變化規(guī)律和圖形變化規(guī)律.特別注意：變化規(guī)

律體現(xiàn)了由特殊到

的思想.同類項(xiàng)

一般

典例講練02類型一

整式的化簡求值

先化簡，再求值：（1）2

m2＋2

n2＋3－6

m2－

n2－1，其中

m

＝1，

n

＝－2；解：（1）2

m2＋2

n2＋3－6

m2－

n2－1＝（2

m2－6

m2）＋（2

n2－

n2）＋（3－1）＝－4

m2＋

n2＋2.當(dāng)

m

＝1，

n

＝－2時，原式＝－4＋4＋2＝2.

【點(diǎn)撥】整式的加減關(guān)鍵是掌握同類項(xiàng)的定義、合并同類項(xiàng)法

則和去括號法則.去括號時，當(dāng)括號前面是負(fù)號，括號內(nèi)各項(xiàng)都

要變號；括號前的系數(shù)要乘遍括號里的每一項(xiàng)；合并同類項(xiàng)時

把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變.

類型二

“無關(guān)”及“不含”問題

【思路導(dǎo)航】先化簡原式，根據(jù)代數(shù)式的值與字母

x

的取值無

關(guān)，可得關(guān)于

a

，

b

的方程，求出

a

，

b

的值，再代入求解代數(shù)

式的值.

【點(diǎn)撥】解此類題的關(guān)鍵是明確若與某指定字母的取值無關(guān)，

則不含哪些項(xiàng)，進(jìn)而這些項(xiàng)的系數(shù)為0.即0乘任何數(shù)都為0.（2）若關(guān)于

x

的四次三項(xiàng)式

ax4－（

a

－12）

x3－（

b

＋3）

x2－

bx

＋11中不含

x3及

x2項(xiàng)，試寫出這個多項(xiàng)式，并求當(dāng)

x

＝－1

時，這個多項(xiàng)式的值.【思路導(dǎo)航】根據(jù)不含

x3及

x2項(xiàng)，可以求得

a

，

b

的值，從而可

以寫出這個多項(xiàng)式，進(jìn)而可求得

x

＝－1時，這個多項(xiàng)式的值.解：因?yàn)殛P(guān)于

x

的四次三項(xiàng)式

ax4－（

a

－12）

x3－（

b

＋3）

x2

－

bx

＋11中不含

x3及

x2項(xiàng)，所以

a

－12＝0，

b

＋3＝0.所以

a

＝12，

b

＝－3.所以把四次三項(xiàng)式

ax4－（

a

－12）

x3－（

b

＋3）

x2－

bx

＋11化

簡得12

x4＋3

x

＋11.當(dāng)

x

＝－1時，12

x4＋3

x

＋11＝12×（－1）4＋3×（－1）＋11

＝12－3＋11＝20.

1.

若多項(xiàng)式2

x3＋4

x2＋

x

－1與多項(xiàng)式3

x3＋2

mx2－5

x

＋7相減后

不含二次項(xiàng)，求

m

的值.解：2

x3＋4

x2＋

x

－1－（3

x3＋2

mx2－5

x

＋7）＝2

x3＋4

x2＋

x

－1－3

x3－2

mx2＋5

x

－7＝－

x3＋（4－2

m

）

x2＋6

x

－8.因?yàn)橄鄿p后不含二次項(xiàng)，所以4－2

m

＝0.所以

m

＝2.2.

已知

A

＝

a2－

ab

－3

b2，

B

＝2

a2＋

ab

－6

b2.若代數(shù)式（2

x2＋

ax

－

y

＋6）－（2

bx2－3

x

＋5

y

－1）的值與字母

x

的取值無關(guān)，

求代數(shù)式2

A

－

B

的值.解：（2

x2＋

ax

－

y

＋6）－（2

bx2－3

x

＋5

y

－1）＝2

x2＋

ax

－

y

＋6－2

bx2＋3

x

－5

y

＋1＝（2－2

b

）

x2＋（

a

＋3）

x

－6

y

＋7.因?yàn)榇鷶?shù)式（2

x2＋

ax

－

y

＋6）－（2

bx2－3

x

＋5

y

－1）的值與

字母

x

的取值無關(guān)，所以2－2

b

＝0，

a

＋3＝0.所以

a

＝－3，

b

＝1.故2

A

－

B

＝2（

a2－

ab

－3

b2）－（2

a2＋

ab

－6

b2）＝2

a2－2

ab

－6

b2－2

a2－

ab

＋6

b2＝－3

ab

＝－3×（－3）×1＝9.類型三

“看錯”及“遮擋”問題

（1）某天數(shù)學(xué)課上，老師講了整式的加減.放學(xué)后，小明

回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真地復(fù)習(xí)老師課堂上講的內(nèi)容，他突

然發(fā)現(xiàn)一道題：

【思路導(dǎo)航】設(shè)出被墨水弄污的數(shù)字，根據(jù)整式的運(yùn)算法則即

可求出這兩處數(shù)字，即可得出答案.8

則有3－

a

＝－1，2＝

b

.所以

a

＝4，

b

＝2.所以這兩處被墨水弄污的數(shù)字之積為4×2＝8.故答案為8.【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的

運(yùn)算法則，解題方法是將污染的數(shù)字用字母表示，根據(jù)多項(xiàng)式

相等則對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等建立方程.（2）有一道題：“先化簡，再求值：17

x2－（8

x2＋5

x

）－（4

x2＋

x

－3）＋（－5

x2＋6

x

－1）－3，其中

x

＝－2024.”小明做題時把“

x

＝－2024”錯抄成了“

x

＝2024”，但他計算的結(jié)果卻是正確的，請你說明理由.【思路導(dǎo)航】對代數(shù)式化簡即可知道原因.解：原式＝17

x2－8

x2－5

x

－4

x2－

x

＋3－5

x2＋6

x

－1－3＝－1.所以代數(shù)式17

x2－（8

x2＋5

x

）－（4

x2＋

x

－3）＋（－5

x2＋6

x

－1）－3的值與

x

無關(guān).故小明做題時把“

x

＝－2024”錯抄成了“

x

＝2024”，但他計

算的結(jié)果卻是正確的.【點(diǎn)撥】此題主要考查了整式的加減運(yùn)算，熟練掌握去括號法

則，合并同類項(xiàng)法則是解此題的關(guān)鍵.此類題目要注意對題目的

理解，通過化簡發(fā)現(xiàn)結(jié)果為常數(shù)，與字母的取值無關(guān)，進(jìn)而解

釋代入錯誤數(shù)據(jù)計算結(jié)果也正確的原因.

小麗放學(xué)回家后準(zhǔn)備完成下面的題目：化簡（□

x2－6

x

＋8）＋

（6

x

－5

x2－2），發(fā)現(xiàn)系數(shù)“□”印刷不清楚.（1）小麗把“□”猜成3，請你化簡（3

x2－6

x

＋8）＋（6

x

－5

x2－2）；解：（1）（3

x2－6

x

＋8）＋（6

x

－5

x2－2）＝3

x2－6

x

＋8＋6

x

－5

x2－2＝－2

x2＋6.（2）小麗媽媽說：“你猜錯了，我看到該題的標(biāo)準(zhǔn)答案是6.”

通過計算說明原題中“□”是幾？解：（2）設(shè)原題中“□”是

a

.則原式＝（

ax2－6

x

＋8）＋（6

x

－5

x2－2）＝

ax2－6

x

＋8＋6

x

－5

x2－2＝（

a

－5）

x2＋6.因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)答案是6，所以

a

－5＝0，解得

a

＝5.故原題中“□”是5.類型四

探究規(guī)律

“書法藝術(shù)課”開課后，某同學(xué)買了一些宣紙練習(xí)毛筆書

法，且每逢星期幾就寫幾張，即每星期一寫1張，每星期二寫2

張，…，每星期日寫7張.若該同學(xué)從某年的5月1日開始練習(xí)，

到5月30日練習(xí)完后累積寫完的宣紙總數(shù)超過120張，則可算得5

月1日到5月28日他一共用去宣紙

張，并可推斷出5月30

日應(yīng)該是星期

?.【思路導(dǎo)航】首先得出5月1日～5月30日，包括四個完整的星

期，分別分析5月30日為星期一到星期天時所有的可能，進(jìn)而得

出答案.112

五、六或日

若5月30日為星期三，則用去宣紙112＋2＋3＝117（張）＜120（張）；若5月30日為星期四，則用去宣紙112＋3＋4＝119（張）＜120（張）；若5月30日為星期五，則用去宣紙112＋4＋5＝121（張）＞120（張）；若5月30日為星期六，則用去宣紙112＋5＋6＝123（張）＞120（張）；若5月30日為星期日，則用去宣紙112＋6＋7＝125（張）＞120（張）.所以5月30日可能為星期五、六或日.故答案為112，五、六或日.【點(diǎn)撥】（1）探索數(shù)式中的規(guī)律常見的類型：①探索數(shù)字排列

規(guī)律；②探索數(shù)位規(guī)律；③探索數(shù)數(shù)規(guī)律；④探索數(shù)陣規(guī)律；

⑤探索某數(shù)在一列數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)；⑥探索算式中的規(guī)律.

（2）探索和表達(dá)規(guī)律可從以下三個層次來突破：一是尋找數(shù)量

關(guān)系；二是用式子表示出規(guī)律；三是